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1、9.3 直线与平面垂直知识梳理1.如果一条直线与平面相交并且与平面内的所有直线都垂直，那么就说这条直线与这个平面垂直.2.直线与平面垂直的判定：如果一条直线与平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线与这个平面垂直.3.直线与平面垂直的性质：如果两条直线都与同一个平面垂直，那么这两条直线平行.点击双基1.“直线l垂直于平面内的无数条直线”是“l”的A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件答案：B2.给出下列命题，其中正确的两个命题是直线上有两点到平面的距离相等，则此直线与平面平行 夹在两个平行平面间的两条异面线段的中点连线平行于这两个平面 直线m平面，直线nm，则n a、b是
2、异面直线，则存在唯一的平面，使它与a、b都平行且与a、b距离相等A. B. C. D.解析：错误.如果这两点在该平面的异侧，则直线与平面相交.正确.如下图，平面，A，C，D，B且E、F分别为AB、CD的中点，过C作CGAB交平面于G，连结BG、GD.设H是CG的中点，则EHBG，HFGD.EH平面，HF平面.平面EHF平面平面.EF，EF.错误.直线n可能在平面内.正确.如下图，设AB是异面直线a、b的公垂线段，E为AB的中点，过E作aa，bb，则a、b确定的平面即为与a、b都平行且与a、b距离相等的平面，并且它是唯一确定的.答案：D3.在正方形SG1G2G3中，E、F分别是G1G2、G2G3
3、的中点，D是EF的中点，沿SE、SF及EF把这个正方形折成一个四面体，使G1、G2、G3三点重合，重合后的点记为G，那么，在四面体SEFG中必有A.SG平面EFG B.SD平面EFGC.FG平面SEFD.GD平面SEF解析：注意折叠过程中，始终有SG1G1E，SG3G3F，即SGGE，SGGF，所以SG平面EFG.选A.答案：A4.在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，当底面四边形ABCD满足条件_时，有A1CB1D1.（注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况）答案：A1C1B1D1或四边形A1B1C1D1为菱形等5.设正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，则（1）A点到
4、CD1的距离为_；（2）A点到BD1的距离为_；（3）A点到面BDD1B1的距离为_；（4）A点到面A1BD的距离为_；（5）AA1与面BB1D1D的距离为_.答案：（1） （2） （3） （4） （5）典例剖析【例1】 已知直线a平面，直线b平面，O、A为垂足.求证：ab.证明：以O为原点直线a为z轴，建立空间直角坐标系，i、j、k为坐标向量，直线a、b的向量分别为a、b.设b=（x，y，z），b，bi=x=0，bj=y=0，b=（0，0，z）=zk.bk，ab.评述：因证明两直线平行，也就是证明其方向向量共线，所以，利用两向量共线的充要条件证明两直线平行是新教材基本的数学方法，应做到熟练运
5、用.【例2】 已知PAO所在的平面，AB是O的直径，C是O上任意一点，过A点作AEPC于点E，求证：AE平面PBC.证明：PA平面ABC，PABC.又AB是O的直径，BCAC.而PCAC=C，BC平面PAC.又AE在平面PAC内，BCAE.PCAE，且PCBC=C，AE平面PBC.思考讨论证明直线与平面垂直的常用方法有：利用线面垂直的定义；利用线面垂直的判定定理；利用“若直线a直线b，直线a平面，则直线b平面”.【例3】 在直三棱柱ABCA1B1C1中，B1C1=A1C1，A1BAC1，求证：A1BB1C.证明：取A1B1的中点D1，连结C1D1.B1C1=A1C1，C1D1ABB1A1.连结
6、AD1，则AD1是AC1在平面ABB1A1内的射影，A1BAC1，A1BAD1.取AB的中点D，连结CD、B1D，则B1DAD1，且B1D是B1C在平面ABB1A1内的射影.B1DA1B，A1BB1C.思考讨论证明异面直线垂直的常用方法有：证明其中一直线垂直于另外一直线所在的平面；利用三垂线定理及其逆定理.闯关训练夯实基础1.PA垂直于以AB为直径的圆所在的平面，C为圆上异于A、B的任一点，则下列关系不正确的是A.PABC B.BC平面PACC.ACPBD.PCBC解析：由三垂线定理知ACPB，故选C.答案：C2.ABC的三个顶点A、B、C到平面的距离分别为2 cm、3 cm、4 cm，且它们
7、在的同侧，则ABC的重心到平面的距离为_.解析：如下图，设A、B、C在平面上的射影分别为A、B、C，ABC的重心为G，连结CG交AB于中点E，又设E、G在平面上的射影分别为E、G，则EAB，GCE，EE=（AA+BB）=，CC=4，CGGE=21，在直角梯形EECC中可求得GG=3.答案：3 cm3.RtABC在平面内的射影是A1B1C1，设直角边AB，则A1B1C1的形状是_三角形.解析：根据两平行平面的性质及平行角定理，知A1B1C的形状仍是Rt.答案：直角4.如下图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M为CC1的中点，AC交BD于点O，求证：A1O平面MBD.证明：连结MO. DBA1
8、A，DBAC，A1AAC=A，DB平面A1ACC1.又A1O平面A1ACC1，A1ODB.在矩形A1ACC1中，tanAA1O=，tanMOC=，AA1O=MOC，则A1OA+MOC=90.A1OOM.OMDB=O，A1O平面MBD.5.在三棱锥SABC中，N是S在底面ABC上的射影，且N在ABC的AB边的高CD上，点MSC，截面MAB和底面ABC所成的二面角MABC等于NSC，求证：SC截面MAB.证明：CD是SC在底面ABC上的射影，ABCD，ABSC.连结MD.MDC=NSC，DMSC.ABDM=D，SC截面MAB.培养能力6.如下图，在ABC中，ACB=90，AB=8，BAC=60，P
9、C平面ABC，PC=4，M为AB边上的一个动点，求PM的最小值.解：P是定点，要使PM的值最小，只需使PMAB即可.要使PMAB，由于PC平面ABC，只需使CMAB即可. BAC=60，AB=8，AC=ABcos60=4.CM=ACsin60=4=2.PM=2.7.如下图，P为ABC所在平面外一点，PA平面ABC，ABC=90，AEPB于E，AFPC于F，求证：（1）BC平面PAB；（2）AE平面PBC；（3）PC平面AEF.证明：（1）PA平面ABCBC平面PAB.PABCABBCPAAB=A AE平面PBC.（2）AE平面PAB，由（1）知AEBC AEPB PBBC=BPC平面AEF.（
10、3）PC平面PBC，由（2）知PCAE PCAF AEAF=A8.在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，AB=2，BC=a，又侧棱PA底面ABCD.（1）当a为何值时，BD平面PAC?试证明你的结论.（2）当a=4时，求证：BC边上存在一点M，使得PMDM.（3）若在BC边上至少存在一点M，使PMDM，求a的取值范围.分析：本题第（1）问是寻求BD平面PAC的条件，即BD垂直平面PAC内两相交直线，易知BDPA，问题归结为a为何值时，BDAC，从而知ABCD为正方形.（1）解：当a=2时，ABCD为正方形，则BDAC.又PA底面ABCD，BD平面ABCD，BDPA.BD平面PAC.故当a=
11、2时，BD平面PAC.（2）证明：当a=4时，取BC边的中点M，AD边的中点N，连结AM、DM、MN.ABMN和DCMN都是正方形，AMD=AMN+DMN=45+45=90，即DMAM.又PA底面ABCD，由三垂线定理得，PMDM，故当a=4时，BC边的中点M使PMDM.（3）解：设M是BC边上符合题设的点M，PA底面ABCD，DMAM.因此，M点应是以AD为直径的圆和BC边的一个公共点，则AD2AB，即a4为所求.评述：本题的解决中充分运用了平面几何的相关知识.因此，立体几何解题中，要注意有关的平面几何知识的运用.事实上，立体几何问题最终是在一个或几个平面中得以解决的.探究创新9.正方形AB
12、CD中，AB=2，E是AB边的中点，F是BC边上一点，将AED及DCF折起（如下图），使A、C点重合于A点.（1）证明：ADEF；（2）当F为BC的中点时，求AD与平面DEF所成的角；（3）当BF=BC时，求三棱锥AEFD的体积.（1）证明：ADAE，ADAF，AD平面AEF.ADEF.（2）解：取EF的中点G，连结AG、DG.BE=BF=1，EBF=90，EF=.又AE=AF=1，EAF=90，AGEF，得AG=.AGEF，ADEF，AGAD=A，EF平面ADG.平面DEF平面ADG.作AHDG于H，得AH平面DEF，ADG为AD与平面DEF所成的角.在RtADG中，AG=，AD=2，ADG
13、=arctan.（3）解：AD平面AEF，AD是三棱锥DAEF的高.又由BE=1，BF=推出EF=，可得S=，VAEFD=VDAEF=SAD=2=.思悟小结1.直线与平面垂直是直线与平面相交的一种特殊情况，应熟练掌握直线与平面垂直的定义、判定定理、性质定理，并能依据条件灵活运用.2.注意线面垂直与线线垂直的关系和转化.3.运用三垂线定理及其逆定理的关键在于确定斜线在平面上的射影，而确定射影的关键又是“垂足”，如果“垂足”定了，那么“垂足”和“斜足”的连线就是斜线在平面上的射影.教师下载中心教学点睛1.使学生熟练掌握线面垂直的判定定理及性质定理.2.通过例题的讲解给学生总结归纳证明线面垂直的常见方法：（1）证直线与平面内的两条相交直线都垂直；（2）证与该线平行的直线与已知平面垂直；（3）借用面面垂直的性质定理；（4）同一法.拓展题例【例1】 （2003年全国）下列五个正方体图形中，l是正方体的一条对角线，点M、N
