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1、河南省名校2018届高三数学压轴第二次考试试题 理第卷（共60分）一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若（为虚数单位），则复数的共轭复数在复平面内对应的点在（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限2.已知集合，若，则实数的取值范围是（ ）A B C D3.各项都是正数的等比数列的公比，且，成等差数列，则的值为（ ）A B C D或 4.甲乙二人争夺一场围棋比赛的冠军，若比赛为“三局两胜”制，甲在每局比赛中获胜的概率均为，各局比赛结果相互独立且没有平局，则在甲获得冠军的情况下，比赛进行了三局的概率为（ ）A B
2、C. D5.将曲线上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线，则在上的单调递增区间是（ ）A B C. D6.若不等式组表示的平面区域经过所有四个象限，则实数的取值范围是（ ）A B C. D7.如图，“大衍数列”：来源于乾坤谱中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生过程中曾经经历过的两仪数量总和.下图是求大衍数列前项和的程序框图.执行该程序框图，输入，则输出的（ ）A64 B68 C.100 D1408.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A B C. D9.如图，半径为2的圆内有两条半圆弧，一质点自点开始
3、沿弧匀速运动，则其在水平方向（向右为正）的速度的图像大致为（ ）ABC. D10.已知抛物线的焦点为，点为上一动点，且的最小值为，则等于（ ）A B5 C. D4 11.正三棱柱的各条棱长均相等，为的中点.分别是线段和线段上的动点（含端点），且满足.当运动时，下列结论中不正确的是（ ）A平面平面 B三棱锥的体积为定值 C. 可能为直角三角形 D平面与平面所成的锐二面角范围为12.定义在上的函数满足，当时，函数.若对任意，存在，不等式成立，则实数的取值范围是（ ）A B C. D第卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.设平面向量与向量互相垂直，且，若，则 14
4、.已知，则二项式的展开式中的系数为 15.过双曲线的右焦点且垂直于轴的直线与双曲线交于两点，为虚轴的一个端点，且为钝角三角形，则此双曲线离心率的取值范围为 16.在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新的数列，这样的操作叫做该数列的一次“扩展”将数列进行“扩展”，第一次得到数列；第二次得到数列；.设第次“扩展”后得到的数列为，并记，其中，则数列的前项和为 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 如图，在锐角中，为边的中点，且，,为外接圆的圆心，且.（1）求的值；（2）求的面积.18.某地高中数学学业水平考试的原始成绩采用百分制，发布成绩使
5、用等级制.各等级划分标准：85分及以上，记为等级；分数在内，记为等级；分数在内，记为等级；60分以下，记为等级.同时认定等级为的学生成绩合格，等级为的学生成绩为不合格.已知甲、乙两所学校学生的原始成绩均分布在内，为了比较两校学生的成绩，分别抽取50名学生的原始成绩作为样本进行统计，按照，分组作出甲校样本的频率分布直方图（如图1所示），乙校的样本中等级为的所有数据的茎叶图（如图2所示）.（1）求图1中的值，并根据样本数据比较甲、乙两校的合格率；（2）在选取的样本中，从甲、乙两校等级的学生中随机抽取3名学生进行调研，用表示所抽取的3名学生中甲校的学生人数，求随机变量的分布列和数学期望.19.如图，
6、在空间几何体中，平面平面，与都是边长为2的等边三角形，点在平面上的射影在的平分线上，已知和平面所成角为.（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值.20.已知椭圆的上、下焦点分别为，上焦点到直线的距离为3，椭圆的离心率.（1）求椭圆的方程；（2）椭圆，设过点斜率存在且不为0的直线交椭圆于两点，试问轴上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.21. 已知函数.（1）设，若函数恰有一个零点，求实数的取值范围；（2）设，对任意，有成立，求实数的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，以原点为极
7、点，轴的正半轴为极轴建立坐标系，已知曲线，直线（为参数）与曲线相交于两点.（1）求曲线与直线的普通方程；（2）点，若成等比数列，求实数的值.23.选修4-5：不等式选讲已知函数.（1）当时，求不等式的解集；（2）若二次函数与函数的图像恒有公共点，求实数的取值范围.试卷答案一、选择题1-5:ADBAD 6-10:ABCBC 11、12：CA二、填空题13.5 14. -160 15. 16.三、解答题17.解：（1）由题设知，.（2）延长至，使，连接，则四边形为平行四边形，在中，由余弦定理得，即，解得，.18.解析：（1）由题意，可知，.甲学校的合格率为，乙学校的合格率为.甲、乙两校的合格率均为
8、.（2）样本中甲校等级的学生人数为，乙校等级的学生人数为4.随机抽取3名学生中甲校学生人数的可能取值为.，.的分布列为0123数学期望.19.解析：（1）证明：由题意知，与都是边长为2的等边三角形，取中点，连接，则，.又平面平面，平面，作平面，那么，根据题意，点落在上，和平面所成角为，.，四边形是平行四边形，平面，平面，平面.（2）由已知，两两互相垂直，故以为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，得，.，设平面的一个法向量为.，.令，取，又平面的一个法向量，.又由图知，所求二面角的平面角为锐角， 二面角的余弦值为.20.解析：（1）由已知椭圆方程为，设椭圆的焦点，由到直线的距离为3，得，又椭
9、圆的离心率，所以，又，求得，.椭圆方程为.（2）存在.理由如下：由（1）得椭圆，设直线的方程为，联立，消去并整理得.设，则，.假设存在点满足条件，由于，所以平分.易知直线与直线的倾斜角互补，.即，即.（*）将，代入（*）并整理得，整理得，即，当时，无论取何值均成立. 存在点使得.21.解析：（1）函数的定义域为，.当时，所以在上单调递增，取，则，（或：因为且时，所以.）因为，所以，此时函数有一个零点.当时，令，解得.当时，所以在上单调递减；当时，所以在上单调递增.要使函数有一个零点，则，即，.综上所述，若函数恰有一个零点，则或.（2）因为对任意，有成立，因为，所以.所以，所以.当时，当时，所以函数在上单调递减，在上单调递增，与，所以.设，则，所以在上单调递增，故，所以.从而.所以即,设，则.当时，所以在上单调递增.又，所以，即，解得.因为，所以的取值范围为.22.解析：（1）因为，所以，即曲线的普通方程为，由，得直线的普通方程为.（2）直线的参数方程为（为参数），代入，得到，.设点分别对应参数，恰为上述方程的根，则有，则.又，.因为，所以，得，或.因为时，所以.23.解析：（1）当时，由得不等式的解集为.（2）由二次函数，该函数在取得最小值2，因为，在处取得最大值，所以要使二次函数与函数的图像恒有公共点，只需，即 - 12 -
