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1、数学问题解答 2005年12月号问题解答 解答由问题提供人给出 1586 求正整数x 使x2 615是2的正整数次幂 江苏省方城县博望二中 向中军 473254 解 x2的个位数只能是0 1 4 9 6 5 2 m m 为 正整数 的个位数只能是2 4 8 6 故欲使x2 615 2 m x2的个位数只能是1或9 从而2 m的个位数必 是4或6 故易知m必为偶数 令m 2n 则x2 615 22n 2 n 2 故 2 n 2 x2 2 n x 2 n x 615 3 5 41 故 2 n x 205 2 n x 3 1 或 2 n x 123 2 n x 5 2 或 2 n x 41 2 n
2、x 15 3 或 2 n x 615 2 n x 1 4 由 1 得2 n 104 矛盾 由 2 得2 n 64 n 6 由 3 得2 n 28 矛盾 由 4 得2 n 308 矛盾 从而n 6 x 59 1587 设a1 a2 an是实常数 x是实变数 且 f x sin a 1 x 1 2 sin a 2 x 1 4 sin a 3 x 1 2n 1sin a n x 若f a f b 0 求a b 湖南省常德英语实验中学 李晓渊 415000 解 首先证明 f x 不恒为0 事实上 f 2 a1 1 1 2 1 4 1 2 n 1 1 2 n 0 即 f x 不恒为0 然后求a b 因为
3、f x n k 1 1 2 k 1 sinakcosx cosaksin x n k 1 1 2 k 1sinak cosx n k 1 1 2 k 1cosak sinx Acosx Bsin x 其中A n k 1 1 2 k 1sinak B n k 1 1 2 k 1cosak 由 f x 不恒为0即知 A B不全为0 再由f a f b 0得 Acosa Bsina 0 Acosb Bsinb 0 有非零解 从而行列式 cosa sina cosb sinb 必为0 所以sinacosb cosasinb 0 即sin a b 0 故a b m m Z 1588 数列 xn 中 xn
4、 1 xn 2 xn 1 xn 3 n 4 n N 且x1 x2 x3均为正数 求证 该数列是周期数 列 湖南省武冈市第二中学 庾昌学 422400 证明 因为xn 1 xn 2 xn 1 xn 3 1 xn 1 1 xn 3 xn 2 xn 4 n 2 2 以 2 代入 1 整理 得 xn 1 xn 4 xn 3 xn 2 xn 2xn 4 xn 3xn 4 xn 2xn 5 xn 2 xn 2xn 4 xn 3xn 4 xn 2 1 xn 5 xn 4 xn 3xn 4 xn 2xn 3xn 6 xn 3xn 4 即xn xn 2xn 6 xn 4 3 同理xn 2 xn 4xn 8 xn
5、 6 4 以 4 代入 3 得xn xn 8 也就是xn 8 xn n 1 2 3 所以数列 xn 是以8为周期的周期数列 1589 ABC的三边长BC a CA b AB c D 是AB边上的一点 ACD与 BCD有相等的内切 圆 求CD之长 山东省招远市西苑中学 曹海波 265400 解 设CD AD x BD y 则 ACD的内 切圆半径为 ACD的面积 1 2 b x 26数学通报 2006年 第45卷 第1期 1 2 bxsinA 1 2 b x bxsinA b x 同理 BCD的内切圆半径 aysinB a y 由题设 bxsinA b x aysinB a y 由正弦定理知si
6、nA a sinB b 于是上式可写成 x b x y a y 即 x b y a 将x y c代入 解得 x c b a b 2 又由余弦定理知 2 b2 x2 2bxcosA 将x及cosA b2 c2 a2 2bc 代入 得 2 b2 c2 b 2 a b 2 2 b 2 c2 a2 b a b 2 1 a b 2 2 ab a b 2 c2 a b a b 2 c2 2a2 2b2 c2 2 记 1 4 a b 2 c2 则 2 a b 2 2 4ab 4 a b 2a2 2b2 c2 2 a b 2 2 a b 2 2 4ab a b 2 4 2 2a2 2b2 c2 2 a b 2
7、 2 a b 2 2 a b 2 1 a b 2 2 a b 2 2 于是 2 1 a b 2 a b 2 2 0 显然1 a b 2 a b 2 2 0 故 1 4 a b 2 c2 1590 已知x y z R 且x y z xyz 0 求 t 1 x 1 y 1 z 的值域 湖北省南漳县第一中学 刘光清 441500 解 由xyz 0知有以下两种情况 x y z都 为正数 x y z中有一个为正数 另两个为负数 当x y z都为正数时 已知化为x y z xyz 1 则有 1 xy 1 yz 1 xz 1 所以t2 1 x 1 y 1 z 2 1 x2 1 y2 1 z2 2 1 xy
8、1 yz 1 xz 1 xy 1 yz 1 xz 2 1 xy 1 yz 1 xz 3 所以t 3 且 成立时有x y z 3 当x y z中一个为正 两个为负时 不妨设x 0 y 0 因为x y z xy 1 0 则0 xy 1 又可得 1 z xy 1 x y 因为x y x y 2xy 所以t 1 x 1 y 1 z x y xy xy 1 x y 2xy xy xy 1 2xy 2 xy xy 1 2xy 令m xy 知0 m 4 所以 1 2 m 3 m 2 所以t 2 当x y 1时 1 z x2 1 2x 0 知t 2且可无限接近 综合以上两种情况 知t的值域为 2 3 2006
9、年1月号问题 来稿请注明出处 编者 1591 ABC中 CD AB于D ACD BCD的 内切圆分别切AC BC于E F 求证 1 若 ACB 90 则 EDF 90 2 若 EDF 90 则 ACB 90 江苏省无锡市硕放中学 邹黎明 214142 下转第61页 362006年 第45卷 第1期数学通报 四面体中的Cosnita2Turtoiu不等式 周永国 湖南沅陵一中 419600 设 ABC三边上的高和内切圆半径分别为ha hb hc r 则Cosnita2Turtoiu不等式 1 是 h1 r h1 r h2 r h2 r h3 r h3 r 6 最近 文 2 给出了 的上界 即 h
10、1 r h1 r h2 r h2 r h3 r h3 r 7 本文将不等式 推广到三维空间的四面 体 定理 设四面体A1A2A3A4的内切球半径为r 过顶点Ai的高为hi i 1 2 3 4 则 20 3 4 i 1 hi r hi r 8 当且仅当A1A2A3A4为等面四面体时 式左 边取等号 证明 设四面体A1A2A3A4的顶点Ai所对的侧 面面积为Si i 1 2 3 4 记S 4 i 1 Si 则 hi r S Si i 1 2 3 4 于是 H 4 i 1 hi r hi r 4 i 1 hi r 1 hi r 1 4 i 1 S Si 1 S Si 1 4 2 4 i 1 Si S
11、 Si 由Cauchy不等式 有 4 i 1 Si S Si 1 3 4 i 1 S Si 4 i 1 1 S Si 4 1 3 4 i 1 S Si 1 S Si 2 4 16 3 4 4 3 将 式代入 式 即知 式左边的不等式成 立 当且仅当A1A2A3A4为等面四面体时 式左边 取等号 为了证明 式右边的不等式 我们不妨设S1 S2 S3 S4 且进一步设S1 x1S4 S2 x2S4 S3 x3S4 由S1 S2 S3 S4 有1 x3 x2 x1 x2 x3 1 将S1 S2 S3 S4 代入 式 化简后 可得 H 4 2 x1 x2 x3 1 x2 x1 x3 1 x3 x1 x
12、2 1 1 x1 x2 x3 4 2 x2 x3 1 x2 x3 1 x2 x2 x3 1 x3 x2 x3 1 1 x2 x3 1 8 故 式右边的不等式成立 定理证毕 参考文献 1 O Bottema等著 单译 几何不等式 M 北京 北京大学出 版社 1991 2 田正平 有关高线的一个不等式 J 中学数学月刊 2003 9 上接第63页 1592 一个无穷等差数列 它的每一项都是正整 数 若其中有一项是一个正整数的m次幂 m 2 m N 试证明该数列中有无数多项是某个正整 数的m次幂 四川省西昌市凉山民族中学 熊昌进 615000 1593 设0 x y z 0 n 2 n N 求证 1 a b 1 a 2b 1 a nb n a 1 2 b a 2n 1 2 b 安徽师范大学数学系 郭要红 241000 162006年 第45卷 第1期数学通报
