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1、2 3 1数学归纳法 归纳推理是合情推理 它可以帮助我们发现规律 但是不能用来证明数学结论 数学归纳法是已知证明方法 专门用来证明与自然数相关的命题 1 数学归纳法 对于某些与自然数n有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性 先证明当n取第一个值n0时命题成立 然后假设当n k k N k n0 时命题成立 证明当n k 1时命题也成立这种证明方法就叫做数学归纳法 2 数学归纳法的基本思想 即先验证使结论有意义的最小的正整数n0 如果当n n0时 命题成立 再假设当n k k n0 k N 时 命题成立 这时命题是否成立不是确定的 根据这个假设 如能推出当n k 1时 命题也成立 那么就可
2、以递推出对所有不小于n0的正整数n0 1 n0 2 命题都成立 例如在本章2 1节的练习中 同学们用归纳推理猜想到 这个猜想是一个与自然数相关的命题 其正确性有待证明 要证明公式 成立 原则上要对每一个正整数n实施证明 但是这个证明步骤是无限的 无法实施 需要另寻方法 数学归纳法可以用有限的步骤 完成这个命题的证明 其步骤如下 1 当n 1时 式左端等于1 右端也等于1 因此 式对n 1成立 2 假设当n k时 式成立 即假设 在此前提下 可推出 而 由此可见在假设 式对n k成立的前提下 推出 式对n k 1成立 于是可以断定 式对一切正整数n成立 由步骤 1 可知 式对n 1成立 由 式对
3、n 1成立及步骤 2 可知对n 1 1 2 式成立 再由 式对n 2成立及步骤 2 可知对n 2 1 3 式成立 继续上述步骤 可知 式对n 3 1 4 n 4 1 5 n 5 1 6 n k 1 1 k 都成立 于是 式对一切正整数n成立 数学归纳法 一个与自然数相关的命题 如果 那么可以断定 这个命题对n取第一个值后面的所有正整数成立 1 当n取第一个值n0时命题成立 2 在假设当n k k N 且k n0 时命题成立的前提下 推出当n k 1时命题也成立 例1 用数学归纳法证明 如果 an 是一个等差数列 公差是d 那么an a1 n 1 d对一切n N 都成立 证明 1 当n 1时 左
4、边 a1 右边 a1 等式是成立的 2 假设当n k时 等式成立 即ak a1 k 1 d 那么ak 1 ak d a1 k 1 d d a1 kd 这就是说 当n k 1时 等式也成立 由 1 和 2 可以断定 等式对任何n N 都成立 例2 用数学归纳法证明 1 3 5 2n 1 n2 证明 1 当n 1时 左边 1 右边 1 等式成立 2 假设当n k时 等式成立 即1 3 5 2k 1 k2 那么1 3 5 2k 1 2 k 1 1 k2 2 k 1 1 k2 2k 1 k 1 2 这就是说 当n k 1时 等式也成立 由 1 和 2 可以断定 等式对任何n N 都成立 例3 用数学归纳法证明 证明 1 当n 1时 左边 4 右边 4 因为左边 右边 所以等式是成立的 2 假设当n k时 等式成立 即 这就是说 当n k 1时 等式也成立 由 1 和 2 可以断定 等式对任何n N 都成立
