《绿色通道数学总复习75直线平面垂直的判定与性质课件新人教A.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《绿色通道数学总复习75直线平面垂直的判定与性质课件新人教A.ppt（56页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1 直线与平面垂直 1 判定直线和平面垂直的方法 定义法 利用判定定理 一条直线和一个平面内的两条直线都垂直 则该直线和此平面垂直 推论 如果在两条平行直线中 有一条垂直于一个平面 那么另一条直线也这个平面 相交 垂直 2 直线和平面垂直的性质 直线垂直于平面 则垂直于平面内直线 垂直于同一个平面的两条直线 垂直于同一直线的两平面 任意 平行 平行 2 斜线和平面所成的角斜线和它在平面内的射影所成的锐角 叫斜线和平面所成的角 3 平面与平面垂直 1 平面与平面垂直的判定方法 定义法 利用判定定理 一个平面过另一个平面的 则这两个平面垂直 2 平面与平面垂直的性质两平面垂直 则一个平面内垂直于的
2、直线垂直于另一个平面 一条垂线 交线 4 二面角的平面角从二面角棱上的一点 在两个半平面内分别作与棱的射线 则两射线所成的角叫做二面角的平面角 垂直 1 给出下列四个命题 若直线垂直于平面内的两条直线 则这条直线与平面垂直 若直线与平面内的任意一条直线都垂直 则这条直线与平面垂直 若直线垂直于梯形的两腰所在的直线 则这条直线垂直于两底边所在的直线 若直线垂直于梯形的两底边所在的直线 则这条直线垂直于两腰所在的直线 A 1个B 2个C 3个D 4个解析 与线面垂直的定义及判定定理相对照 为真 中两线可能不相交 中两线不相交 故不正确 应选B 答案 B 2 如果一个二面角的两个半平面分别垂直于另一
3、个二面角的两个半平面 则这两个二面角的大小关系是 A 相等B 互补C 相等或互补D 大小不确定 解析 如右图所示 l 为直二面角 a 为另一个二面角 且 把 平面固定不动 使 平面绕a转动时 满足条件 但 a 的度数不能确定 应选D 答案 D 3 已知直线m n和平面 满足m n m 则 A n B n 或n C n D n 或n 解析 n与 的位置关系各种可能性都有 A B都不对 当n 时 作n n 且n m O 则n 与m确定平面 设 l 则有m l 又m n 所以l n l n n 当n 时 显然成立 故C不对 D正确 答案 D 4 已知a b是两条不重合的直线 是三个两两不重合的平面
4、给出下列四个命题 若a a 则 若 则 a b 则a b 若 a b 则a b 其中正确命题的序号是 A B C D 解析 根据线面 面面平行与垂直的判定与性质可知 正确 答案 D 证明 1 由题意知 C O 平面ABD C O 平面ABC 平面ABC 平面ABD 又 AD AB 平面ABC 平面ABD AB AD 平面ABC AD BC 2 BC C D BC AD BC 平面ADC 又 BC 平面DBC 平面DBC 平面ADC 例1 直角三角形 ABC所在平面外一点S 且SA SB SC D为斜边AC中点 1 求证 SD 面ABC 2 若AB BC 求证 BD 面SAC 证明 1 如右图
5、取AB中点E 连结SE DE 在Rt ABC中 D E分别为AC AB的中点 故DE BC 且DE AB SA SB SAB为等腰三角形 SE AB SE AB DE AB SE DE E AB 面SDE 而SD 面SDE AB SD 在 SAC中 SA SC D为AC中点 SD AC SD AC SD AB AC AB A SD 面ABC 2 若AB BC 则BD AC 由 1 可知 SD 面ABC 而BD 面ABC SD BD SD BD BD AC SD AC D BD 面SAC 线面垂直的定义 拓展了线线垂直的范围 线垂直于面 线就垂直于面内所有直线 这也是线面垂直的必备条件 利用这个
6、条件可将线线垂直与线面垂直互相转化 就完成了空间问题与平面问题的转化 变式迁移1如右图所示 P为 ABC所在平面外一点 PA 平面ABC ABC 90 AE PB于E AF PC于F 求证 1 BC 平面PAB 2 AE 平面PBC 3 PC EF 证明 1 PA 平面ABC BC 平面ABC PA BC AB BC AB PA A BC 平面PAB 2 BC 平面PAB AE 平面PAB BC AE PB AE BC PB B AE 平面PBC 3 AE 平面PBC PC 平面PBC AE PC AF PC AE AF A PC 平面AEF 而EF 面AEF PC EF 思路分析 1 因为两
7、平面垂直与M点位置无关 所以在平面MBD内一定有一定直线垂直于平面PAD 考虑证明BD 平面PAD 2 四棱锥底面为一梯形 高为P到面ABCD的距离 解 1 在 ABD中 AD 4 BD 8 AB AD2 BD2 AB2 AD BD 又 面PAD 面ABCD 面PAD 面ABCD AD BD 面ABCD BD 面PAD 又BD 面BDM 面MBD 面PAD 2 过P作PO AD 面PAD 面ABCD PO 面ABCD 即PO为四棱锥P ABCD的高 又 PAD是边长为4的等边三角形 PO 在底面四边形ABCD中 AB DC AB 2DC 四边形ABCD为梯形 当两个平面垂直时 常作的辅助线是在
8、其中一个面内作交线的垂线 把面面垂直转化为线面垂直 进而可以证明线线垂直 构造二面角的平面角或得到点到面的距离等 变式迁移2 2009 浙江高考 如下图 在长方形ABCD中 AB 2 BC 1 E为DC的中点 F为线段EC 端点除外 上一动点 现将 AFD沿AF折起 使平面ABD 平面ABC 在平面ABD内过点D作DK AB K为垂足 设AK t 则t的取值范围是 例3 三棱锥P ABC中 PC AC BC两两垂直 BC PC 1 AC 2 E F G分别是AB AC AP的中点 1 证明 平面GFE 平面PCB 2 求二面角B AP C的正切值 3 求直线PF与平面PAB所成角的正弦值 思路
9、分析 1 利用三角形的中位线性质 2 利用定义作出二面角B AP C的平面角 3 利用线面垂直构造直线与平面所成角 解 1 因为E F G分别是AB AC AP的中点 所以EF BC GF CP 因为EF GF 平面PCB 而BC CP 平面PCB 所以EF 平面PCB GF 平面PCB 又EF GF F 所以平面GFE 平面PCB 2 过点C在平面PAC内作CH PA 垂足为H 连接HB 因为BC PC BC AC 且PC AC C 所以BC 平面PAC 所以HB PA 所以 BHC是二面角B AP C的平面角 3 如右图 设PB的中点为K 连接KC AK 因为 PCB为等腰直角三角形 所以
10、KC PB 又AC PC AC BC 且PC BC C 所以AC 平面PCB 所以AK PB 又因为AK KC K 所以PB 平面AKC 又PB 平面PAB 所以平面AKC 平面PAB 变式迁移3如右图 四面体ABCS中 SA SB SC两两垂直 SBA 45 SBC 60 M为AB的中点 求 1 BC与平面SAB所成的角 2 SC与平面ABC所成的角的正切值 解 1 SC SB SC SA SB SA S SC 平面SAB BC在平面SAB上的射影为SB SBC为BC与平面SAB所成的角 又 SBC 60 故BC与平面SAB所成的角为60 2 连接MC 在Rt ASB中 SBA 45 ASB
11、为等腰直角三角形 SM AB 又AB SC AB 平面SMC 平面SMC 平面ABC 过点S作SO MC于点O SO 平面ABC SCM为SC与平面ABC所成的角 由 1 知SC 平面SAB 例4 如右图 四棱锥P ABCD中 底面ABCD是 DAB 60 的菱形 侧面PAD为正三角形 其所在平面垂直于底面ABCD 1 求证 AD PB 2 若E为BC边的中点 能否在棱PC上找到一点F 使平面DEF 平面ABCD 并证明你的结论 解 如右图 1 取AD的中点G 连结PG BG BD PAD为等边三角形 PG AD 又 平面PAD 平面ABCD PG 平面ABCD 在 ABD中 DAB 60 A
12、D AB ABD为等边三角形 BG AD AD 平面PBG AD PB 2 连结CG DE 且CG与DE相交于H点 在 PGC中作HF PG 交PC于F点 连结DF FH 平面ABCD 平面DHF 平面ABCD H是CG的中点 F是PC的中点 在PC上存在一点F 即为PC的中点 使得平面DEF 平面ABCD 近年来开放型问题不断在高考试题中出现 这说明高考对学生的能力要求越来越高 这也符合新课标的理念 因而在复习过程中要善于对问题进行探究 立体几何中结合垂直关系 设计开放型试题将是新课标高考命题的一个动向 变式迁移4如下图 在正四棱柱ABCD A1B1C1D1中 侧棱是底面边长的2倍 P是侧棱
13、CC1上的一点 1 求证 不论P在侧棱CC1上的任何位置 总有BD AP 2 当P点在侧棱CC1上何处时 AP在平面B1AC上的射影是 B1AC的平分线 解 1 依题意 不论P在侧棱CC1上的什么位置 AP在底面ABCD内的射影都是AC 因为BD AC BD CC1 又AC CC1 C 所以BD 平面ACC1 又AP 平面ACC1 所以BD AP 1 垂直关系的转化 在证明两平面垂直时一般先从现有的直线中寻找平面的垂线 若这样的直线图中不存在 则可通过作辅助线来解决 如有平面垂直时 一般要用性质定理 在一个平面内作交线的垂线 使之转化为线面垂直 然后进一步转化为线线垂直 使之转化为线线垂直 故熟练掌握 线线垂直 面面垂直 间的转化条件是解决这类问题的关键 3 证明线线垂直的方法 1 定义 两条直线所成的角为90 2 平面几何中证明线线垂直的方法 3 线面垂直的性质 a b a b 4 三垂线定理及其逆定理 5 线面垂直的性质 a b a b 4 证明面面垂直的方法 1 利用定义 两个平面相交 所成的二面角是直二面角 2 判定定理 a a
