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1、第一章 绪论一 本章的学习要求（1）会求有效数字。（2）会求函数的误差及误差限。（3）能根据要求进行误差分析。二 本章应掌握的重点公式（1）绝对误差：设为精确值，为的一个近似值，称为的绝对误差。（2）相对误差：。 （3）绝对误差限：。（4）相对误差限：。（5）一元函数的绝对误差限：设一元函数（6）一元函数的相对误差限：。（7）二元函数的绝对误差限：设一元函数（8）二元函数的相对误差限：。三 本章习题解析1. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似值，（1）试指出它们有几位有效数字，（2）分别估计及的相对误差限。解：（1）有5位有效数字，有2位有效数字，有4位有效数字，有5位有效数字。（2）由题可知
2、：为的近似值，分别为近似值。所以 同理有为的近似值，为，的近似值，代入相对误差限公式： 2. 正方形的边长大约为100cm，怎样测量才能使其面积误差不超过?解：设正方形的边长为，则面积为，在这里设为边长的近似值，为面积的近似值：由题可知：即： 推出：。3. 测得某房间长约=4.32m，宽约为=3.12m，且长与宽的误差限均为0.01m，试问房间面积S=Ld的误差限和相对误差限分别为多少？解：设 则有：，。在这里分别为，的近似值： 相对误差限为：。4. 下列公式如何计算才比较准确：(1)当x的绝对值充分小时，计算；（2）当N的绝对值充分大时，计算；（3）当x的绝对值充分大时，计算。解：（1）当时
3、，=（2）当时，=(3)当时，=。5. 列满足递推关系=10-1，n=1,2,，若=，计算到时误差有多大？这个计算数值稳定吗？解：已知准确值，近似值，设他们的误差为，则有：= 以此类推所以=6. 计算，取1.4，直接计算和用来计算，哪一个最好？解：依题意构造函数，则，由绝对误差公式=0.0030727. 求二次方程-16x+1=0的较小正根，要求有3位有效数字。解：由求根公式：。所以。，对比可知：较小的根为，由相近数相减原理则有：8. 如果利用四位函数表计算，试用不同方法计算并比较结果的误差。解：9. 设x的相对误差限为，求的相对误差限。解：由题意可知：设，则有在这里设为的近似值， 为的近似值
4、，由已知的相对误差限为。所以： 10. 已知三角形面积S=absinc,其中c为弧度，满足0c，且a,b,c,的误差分别为 ,，。证明面积误差满足+。解：由误差定义：，又因为：，代入上式可得：两边同除以可得：，约分可得：， 因为：0cc0.，所以命题成立。第二章 插值法一 本章的学习要求（1）会用拉格朗日插值和牛顿插值求低阶插值多项式。（2）会应用插值余项求节点数。（3）会应用均差的性质。二 本章应掌握的重点公式（1）线性插值：。（2）抛物插值：。（3）次插值：。（4）拉格朗日插值余项：。（5）牛顿插值公式：。 （6）。（7）。（8）牛顿插值余项：。三 本章习题解析1. 给定的一系列离散点（1
5、，0），（2，5），（3，6），（4，3），试求Lagrange插值多项试。解：设所求插值多项式为，且已知：，代入插值基函数公式：可得：= = 化简代入得: 2. 若，求，。解: 由 ，所以: ! ，.由均差的性质(三)可知: ，3. 给定函数表012345-7-452665128（1） 试用Lagrange插值法求一个三次插值多项式，并由此求的近似值。（2） 试用Newton插值公式求一个三次插值多项式，并由此求的近似值。解：(1) ，取0.5附近的4个点为宜。故取，。则，按照习题1求出插值基函数。代入。可得：，所以： （2）设牛顿插值多项式为 ，列差商表：一阶插商二阶插商三阶插商0-71-
6、4325933262161所以：=-5.8754. 设为互异节点（j=0,1,2,n）求证：，=0,1,2,其中为次插值基函数。证明：根据题意：设，所以有 ，结合上式所以有：=，由余项定理可知：，且由定理二可知，当时，所以就有。在这里令变量，所以命题：，成立。5. 设且，求证：。证明：由题可知：，故可构造线性插值多项式即为下式：，记为（1）式，因为，记为（2）式，其中，记为（3）式，将（1）（3）代入（2）整理：所以：这里取代入，可推出：再放缩得6. 若有个不同实零点证明：证明：由题可知：有个不同实零点，故还可以表示成根形式的多项式，即：；由导数的定义可知： =在此设：； ，记为（1）式当时，
7、则（1）变为；当，则（1）式变为0，综上所述：7. 给定函数表-2-10123-5111725 已知以上数据取自一个多项式，试确定这个多项式的次数；并求出这个多项式。解：用牛顿法：+，列插商表：一阶插商二阶插商三阶插商四阶插商五阶插商-2-5-116010-311001276310325186100，为三次。8. 对函数，及任意常数a,b,证明：。证明：由高等数学的知识，我们构造函数，于是就有下式成立：由分式法则： =，所以命题成立。10. 给定函数表0.00.20.40.60.81.000001.221401.491821.822122.22554试分别用Newton前插值公式和Newton
8、后插值公式计算的近似值。分析：基于本题内容为教材中的选讲部分，考试不做任何要求。故只给出习题结果，有兴趣的同学可自行解答，分别代入Newton前插值公式和Newton后插值公式可得=1.05126.11. 若要给出，的一张按等距步长h分布的函数表，并按线性插值计算任何的的值。问当h取多大才能保证其截断误差的绝对值不超过。分析：基于本题内容为教材中的选讲部分，考试不做任何要求。故只给出习题结果，有兴趣的同学可自行解答，代入余项公式，即可求出。12. 设，采用Lagrange插值余项的证明方法，证明：埃尔米特插值余项。分析：基于本题内容为教材中的选讲部分，考试不做任何要求。故只给出习题结果，有兴趣
9、的同学可自行解答，将定理2代入余项公式即可求得，在此不做说明。13. 求不超过3次的多项式，使其满足。分析：基于本题内容为教材中的选讲部分，考试不做任何要求。故只给出习题结果，有兴趣的同学可自行解答，设所求多项式为：，代入条件，即可求得：。14. 求不超过4次的多项式，使其满足，。分析：基于本题内容为教材中的选讲部分，考试不做任何要求。故只给出习题结果，有兴趣的同学可自行解答，设所求多项式为分析，代入条件，即可求得：。15. 给定函数表012300.521.5（1） 在边界条件，下求三次样条插值函数；（2） 在边界条件，下求三次样条插值函数。分析：基于本题内容为教材中的选讲部分，考试不做任何要
10、求。故只给出习题结果，有兴趣的同学可自行解答，代入样条插值函数公式，即可求得，在此不做说明。结果为：（1）（2）第三章 函数逼近及最小二乘法一 本章的学习要求（1）会用最小二乘法求拟合曲线。（2）会将非线性函数转化成线性函数。二 本章应掌握的重点公式线性曲线拟合公式：，。三 本章习题解析1. 设是区间0,1上带权的最高项系数为1的正交多项式序列，其中=1，求及和。分析：基于本题内容为教材中的选讲部分，考试不做任何要求。故只给出习题结果，有兴趣的同学可自行解答，在这里只给出结果。结果为：；。2. 判断函数=1，=x,，在上带权正交，并求使其在-1，1上带权与，正交。分析：基于本题内容为教材中的选
11、讲部分，考试不做任何要求。故只给出习题结果，有兴趣的同学可自行解答，在这里只给出结果。结果为：。3. 证明：若函数组是在a,b上带权正交的函数组，则必然是线性无关的函数组。分析：基于本题内容为教材中的选讲部分，考试不做任何要求。故只给出习题结果，有兴趣的同学可自行证明。4. 已知点列，及权函数，利用公式（47）和（48）构造对应的正交多项式分析：基于本题内容为教材中的选讲部分，考试不做任何要求。故只给出习题结果，有兴趣的同学可自行解答，在这里只给出结果。结果为：，。5. 已知数据表 012341.003.856.509.3512.05求拟合这些数据的直线方程。解：设所要拟合的直线方程为：，这里
12、，所以可得到以下方程组：解得：，所以所求方程为。 6. 已知数据表1234567833455667求拟合这些数据的直线方程。解：设所要拟合的直线方程为：，这里，所以可得到以下方程组：解得：，所以所求方程为：。7. 某发射源的发射强度公式为，现测得与的一组数据如下表0.20.30.40.50.60.70.83.162.381.751.341.000.740.56试用最小二乘法根据以上数据确定参数和的值。解：先将线性化，即两边取以10为底的对数，变为，设，所以上式变为。这里，代入公式得：，所以可得到以下方程组，解得：，相应的。8. 试用最小二乘法根据以下数据表1.001.251.501.752.0
13、05.105.796.537.458.46求的最小二乘拟合曲线。解：先将线性化，即两边取以10为底的对数，变为，设，所以原式变为：。这里，代入公式得，所以可以得到以下方程组：，解得：，代回求得，,故方程为。9. 用最小二乘法求形如的经验公式，使它拟合以下数据。192531384419.032.349.073.397.8解：先将线性化，设，则原式变为，这里，代入公式得，所以可以得到以下方程组：，解得：，所求方程为：。第四章 数值积分和数值微分一 本章的学习要求（1）会求各种插值型求积公式。（2）会应用求积公式分析代数精度。（3）掌握梯形公式，辛甫生公式及其误差余项。（4）掌握复化梯形公式，复化辛甫生公式及其误差余项。二 本章应掌握的重点公式
