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1、高三数学参考答案及评分建议 第 1 页 共 10 页 开始 结束 01Sn 1 SS n 2nn 输出S Y N n a 2014 届高三期末测试数学参考答案及评分建议 一 填空题 本大题共 14 小题 每小题 5 分 共 70 分 1 复数 i 2i z 其中 i 是虚数单位 的虚部为 2 某同学在 7 天内每天参加体育锻炼的时间 单位 分钟 用茎叶图表 示如图 图中左列表示时间的十位数 右列表示时间的个位数 则这 7 天该同学每天参加体育锻炼时间 单位 分钟 的平均数为 3 函数 2 2 1 4 xx f x 的值域为 4 分别在集合 A 1 2 3 4 和集合B 5 6 7 8 中 各取
2、一个数相乘 则积为偶数的概率为 5 在平面直角坐标系 xOy 中 双曲线 C 的中心在原点 焦点 在 y 轴上 一条渐近线方程为30 xy 则双曲线 C 的 离心率为 6 如图是计算 10 1 1 21 k k 的值的一个流程图 则常数 a 的取 值范围是 7 函数 y sin 2 3 x 的图象可由函数 y sin x 的图象作两次变换得到 第一次变换是针对函数 y sin x 的图象而言的 第二次变换是针对第一次变换所得图象而言的 现给出下列四个变换 A 图象上所有点向右平移 6 个单位 B 图象上所有点向右平移 3 个单位 C 图象上所有点的横坐标变为原来的 2 倍 纵坐标不变 D 图象
3、上所有点的横坐标变为原来的1 2 倍 纵坐标不变 请按顺序写出两次变换的代表字母 只要填写一组 8 记 max a b 为 a 和 b 两数中的较大数 设函数 f x 和 g x 的定义域都是 R 则 f x 和 g x 都是偶函数 是 函数 max F xf xg x 为偶函数 的 条件 在 充分不必要 必要不充分 充分必要 和 既不充分也不必要 中选填一个 9 在平面直角坐标系 xOy 中 圆 C1 22 48190 xyxy 关于直线 l 250 xy 对称的圆 C2的方程为 10 给出以下三个关于 x 的不等式 2 430 xx 22 20 xm xm 若 的解 6 7 8 5 5 6
4、 3 4 0 1 高三数学参考答案及评分建议 第 2 页 共 10 页 集非空 且满足 的 x 至少满足 和 中的一个 则 m 的取值范围是 11 设 0 2 且 113 coscos 714 则tan 的值为 12 设平面向量 a b 满足32 ab 则 a b 的最小值为 13 在平面直角坐标系 xOy 中 曲线 22 49 1 xy 上的点到原点 O 的最短距离为 14 设函数 yf x 是定义域为 R 周期为 2 的周期函数 且当 1 1x 时 2 1f xx 已知 函数 lg 0 10 xx g x x 则函数 f x 和 g x 的图象在区间 510 内公共点的个数为 填空题答案
5、1 2 5 2 72 3 04 4 3 4 5 2 6 1921 7 BD DA 8 充分不必要 9 22 1xy 10 10 11 3 12 5 13 1 6 14 15 二 解答题 本大题共 6 小题 共 90 分 15 设向量 a cossin b cossin 其中0 1 若 ab 求3 ab 的值 2 设向量 c 03 且 a b c 求 的值 解 1 因为 a cossin b cossin 所以11 ab 2 分 因为 ab 所以 a b 0 4 分 于是 2 22 332 34 ababa b 故32 ab 6 分 2 因为 a b coscossinsin03 所以 cosc
6、os0 sinsin3 8 分 由此得 coscos 由0 得0 又0 故 10 分 代入sinsin3 得 3 sinsin 2 12 分 而0 焦距为 2c 离心率为 e 于是2b 设椭圆的右焦点为 F 椭圆上点 P 到右准线距离为d 则 AF eAFe d d 于是当 d 最小即 P 为右顶点时 PF 取得最小值 所以51ac 3 分 因为 222 515 22 1 aca bb c abc 所以椭圆方程为 22 1 54 xy 5 分 2 设原点O到直线 AB 的距离为 h 则由题设及面积公式知 OA OB h AB 当直线OA的斜率不存在或斜率为0 时 5 2 OA OB 或 5 2
7、 OB OA 于是 2 52 5 3 45 d 7 分 当直线OA的斜率k 存在且不为0 时 则 22 222 1 154 54 xy xk x ykx 解得 2 2 2 2 2 1 1 54 1 54 A A x k k y k 同理 2 2 2 2 2 1 11 5 4 1 11 5 4 B B x k k y k 9 分 在 Rt OAB 中 2222 2 222 OAOBOAOB h ABOAOB 则 222 22 2 22222222 2 11 111 111 5 5445454 1 111 1 kkk OAOB k hOAOBOAOBkkk k 高三数学参考答案及评分建议 第 6
8、页 共 10 页 2 2 1111 4545119 4520 1 k k 所以 2 5 3 h 综上 原点O到直线 AB 的距离为定值 2 5 3 11 分 另解 22 2 2 2222 2 222 2 22 22 2 2 1 1 1 111 1 11 5 544 1 1111 1 11 1554 4 11 1 5 544 kk k k OAOBkk h OAOBk k kk kk k k 2 2 2 2 1 2 9 99920 2010 20 k k k k 所以 2 5 3 h 因为 h 为定值 于是求 AB 的最小值即求OA OB 的最小值 22 OAOB 2 2 22 2 2 2 2
9、11 12 1 114111 1 204005 54204 k k kk k k kk 令 2 2 1 tk k 则2t 于是 22 OAOB 220401 2020 1 14120412041 20400 tt tt t 14 分 因为2t 所以 2211600 20 1 8181 OAOB 当且仅当2t 即1k OA OB 取得最小值 40 9 因而 min 40 4 5 9 3 2 5 3 AB 所以 AB 的最小值为 4 5 3 16 分 20 设函数 2 lnf xaxbx 其图象在点 22Pf 处切线的斜率为 3 1 求函数 f x 的单调区间 用只含有b 的式子表示 2 当2a
10、时 令 g xf xkx 设 1 x 2 x 12 xx 是函数 0g x 的两个根 0 x 是 1 x 2 x 的等差中项 求证 0 0g x g x 为函数 g x 的导函数 解 1 函数 f x 的定义域为 0 2 a fxbx x 则 243 2 a fb 即86ab 高三数学参考答案及评分建议 第 7 页 共 10 页 于是 2 286bxb fx x 2 分 当0b 时 6 0fx x f x 在 0 上是单调减函数 当0b 时 若 3 0 4 b 则 0fx 令 0fx 得 43b x b 负舍 所以 f x 在 43 0 b b 上单调增函数 在 43b b 上单调减函数 综上
11、 若0b f x 的单调增区间为 43 0 b b 单调减区间为 43b b 8 分 2 因为286aab 所以1b 即 2 2lng xxxkx 因为 g x 的两零点为 1 x 2 x 则 2 111 2 222 2ln0 2ln0 xxkx xxkx 相减得 22 121212 2 lnln0 xxxxk xx 因为 12 xx 所以 12 12 12 2 lnlnxx kxx xx 于是 12 00 01212 2 lnln24 2 xx g xxk xxxxx 1 12 21 12 12121212 2 21 2 22 lnlnln 1 x xxxx xx xxxxxxxx x 14
12、 分 令 1 2 0 1 x tt x 214 ln2ln 11 t ttt tt 则 2 22 141 0 11 t t t tt t 又 12 2 0 xx 则 0 0g x 命题得证 16 分 高三数学参考答案及评分建议 第 8 页 共 10 页 A D C B O 21A 如图 AB 是圆 O 的直径 D 为圆 O 上一点 过 D 作圆 O 的 切线交 AB 的延长线于点 C 若 DA DC 求证 AB 2 BC 证 连结 OD BD 因为 AB 是圆 O 的直径 所以902ADBABOB 因为 DC 是圆 O 的切线 所以90CDO 因为 AD DC 所以AC 于是 ADB CDO
13、从而 AB CO 即 2OB OB BC 得 OB BC 故 AB 2 BC 21B 已知矩阵 A 的逆矩阵 A 2 1 2 1 4 3 4 1 1 求矩阵 A 的特征值 解 因为 A 1 A E 所以 A A 1 1 因为 A 2 1 2 1 4 3 4 1 1 所以 A A 1 1 12 32 于是矩阵 A 的特征多项式为 f 12 32 2 3 4 令 f 0 解得 A 的特征值 1 1 2 4 21C 在平面直角坐标系 xOy 中 求过椭圆 5cos 3sin x y 为参数 的左焦点 且与直线 42 3 xt yt t 为参数 平行的直线的普通方程 解 椭圆的普通方程 22 1 25
14、9 xy 左焦点 40 F 直线的普通方程 220 xy 设过焦点 40 F 且与直线220 xy 平行的直线为20 xy 将 40 F 代入20 xy 4 所求直线的普通方程为240 xy 21D 已知实数 x y 满足 x y 3 1 1 2 6 xy 求证 y 5 18 证 3 3 2 2 2 2 yyxyxyxyxy 由题设知 x y 3 1 1 2 6 xy 从而 115 3 2 366 y 故 y 5 18 高三数学参考答案及评分建议 第 9 页 共 10 页 22 从棱长为 1 的正方体的 8 个顶点中任取不同 2 点 设随机变量 是这两点间的距离 1 求概率 2P 2 求 的分
15、布列 并求其数学期望 E 解 1 从正方体的 8 个顶点中任取不同 2 点 共有 2 8 C28 种 因为正方体的棱长为 1 所以其面对角线长为2 正方体每个面上均有两条对角线 所以共有2612 条 因此 123 2 287 P 3 分 2 随机变量 的取值共有 1 2 3 三种情况 正方体的棱长为 1 而正方体共有 12 条棱 于是 123 1 287 P 5 分 从而 331 31121 777 PPP 7 分 所以随机变量 的分布列是 1 2 3 P 3 7 3 7 1 7 8 分 因此 33 23331 123 7777 E 10 分 23 在平面直角坐标系 xOy 中 已知抛物线 C
16、 2 4yx F 为其焦点 点 E 的坐标 为 2 0 设 M 为抛物线 C 上异于顶点的动点 直线 MF 交抛物线 C 于另一点 N 链接 ME NE 并延长分别交抛物线 C 与点 P Q 1 当 MN Ox 时 求直线 PQ 与 x 轴的交点坐标 2 当直线 MN PQ 的斜率存在且分别记为 k1 k2时 求证 12 2kk 解 1 抛物线 C 2 4yx 的焦点 F 1 0 当 MN Ox 时 直线 MN 的方程为 1x 将1x 代入抛物线方程 2 4yx 得2y 不妨设 12 M 12 N 则直线 ME 的方程为2 4yx 由 2 24 4 yx yx 解得1x 或4x 于是得 44 P 高三数学参考答案及评分建议 第 10 页 共 10 页 同理得 44 Q 所以直线PQ的方程为4x 故直线 PQ 与 x 轴的交点坐标 4 0 2 设直线 MN 的方程为1xmy 并设 11223344 M xyN xyP xyQ xy 由 2 2 1 440 4 xmy ymy yx 得 于是 12 4y y 从而 22 12 12 1 44 yy x x 设直线 MP 的方程为2xt y
