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1、天水市一中2015级2017-2018学年度第二学期第二次模拟考试数学试卷（理科） 第I卷（共60分）1、 选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1 已知集合， ，则（ ）2 A. B. C. D. 2设为虚数单位， ，若是纯虚数，则A. 2 B. C. 1 D. 3已知条件： ，条件： ，则是成立的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件4已知是锐角，若，则A. B. C. D. 5已知数列是公比为的等比数列，且， ， 成等差数列，则公比的值为（ ）A. B. C. 或 D. 或6设向量满
2、足，则 ( )A. 6 B. C. 10 D. 7某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 A. 64 B. 32 C. 96 D. 488已知随机变量服从正态分布，且， （ ）A. B. C. D. 9九章算术上有这样一道题：“今有垣厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢，各穿几何？”题意是：“有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半.”假设墙厚尺，现用程序框图描述该问题，则输出（ ） A. B. C. D. 10函数的图象大致为（ ）A. B. C. D. 11在ABC中，a，b，c分别
3、为内角A，B，C所对的边，且满足b=c， =，若点O是ABC外一点，AOB=（0），OA=2，OB=1，则平面四边形OACB面积的最大值是（ ）A B C3 D12设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线上任意一点，M是线段PF上的点，且=2,则直线OM的斜率的最大值为（ ）A. B. C. D.1 第II卷（非选择题）本卷包括必考题和选考题两部分.第13题21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题23题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上）13设实数， 满足则的取值范围是_.14的展开式中，的系数是_.（用数字作答）15甲、乙
4、、丙三位同学中有一人申请了北京大学的自主招生考试，当他们被问到谁申请了北京大学的自主招生考试时，甲说：丙没有申请；乙说：甲申请了；丙说：甲说对了.如果这三位同学中只有一人说的是假话，那么申请了北京大学的自主招生考试的同学是_.16如图，圆形纸片的圆心为，半径为cm，该纸片上的正方形的中心为， ， ， ， 为圆上的点， ， ， ， 分别以， ， ， 为底边的等腰三角形，沿虚线剪开后，分别以， ， ， 为折痕折起， ， ， ，使得， ， ， 重合，得到一个四棱锥，当该四棱锥的侧面积是底面积的倍时，该四棱锥的外接球的体积为_ 三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17（本小题满分12
5、分）已知在中，角， ， 的对边分别为， ， ，且有.（1）求角的大小；（2）当时，求的最大值. 18（本小题满分12分）四棱锥中,底面是边长为的菱形,侧面底面, , 是中点,点在侧棱上. （）求证: ;（）若是中点,求二面角的余弦值;（）是否存在,使平面?若存在,求出的值;若不存在,说明理由. 19（本小题满分12分）第23届冬季奥运会于2018年2月9日至2月25日在韩国平昌举行，期间正值我市学校放寒假，寒假结束后，某校工会对全校教职工在冬季奥运会期间每天收看比赛转播的时间作了一次调查，得到如下频数分布表：收看时间（单位：小时）收看人数143016282012 （1）若将每天收看比赛转播时间
6、不低于3小时的教职工定义为“体育达人”，否则定义为“非体育达人”，请根据频数分布表补全列联表：男女合计体育达人40非体育达人30合计 并判断能否有的把握认为该校教职工是否为“体育达人”与“性别”有关；（2）在全校“体育达人”中按性别分层抽样抽取6名，再从这6名“体育达人”中选取2名作冬奥会知识讲座.记其中女职工的人数为，求的分布列与数学期望.附表及公式：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828 . 20（本小题满分12分）在平面直角坐标系中，点，圆，点是圆上一动点，线段的中垂线与线段交于点.（1）求
7、动点的轨迹的方程；（2）若直线与曲线相交于两点，且存在点（其中不共线），使得被轴平分，证明：直线过定点. 21（本小题满分12分）已知函数.（1）当时，试判断函数的单调性；（2）若，求证：函数在上的最小值小于. 请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，曲线的极坐标方程为，以极点为原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线的参数方程为（为参数）.（1）写出曲线的参数方程和直线的普通方程；（2）已知点是曲线上一点，求点到直线的最小距离. 23（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数.（1）求
8、不等式的解集；（2）若不等式对于恒成立，求实数的取值范围. 参考答案1C2C3A4D5C6D7A8C9D10C11B12C【解析】试题分析：设（不妨设），则，故选C.【考点】抛物线的简单几何性质，平面向量的线性运算【名师点睛】本题考查抛物线的性质，结合题意要求，利用抛物线的参数方程表示出抛物线上点的坐标，利用向量法求出点的坐标，是我们求点坐标的常用方法，由于要求最大值，因此我们把斜率用参数表示出后，可根据表达式形式选用函数或不等式的知识求出最值，本题采用基本不等式求出最值13 14 15乙16 【解析】如图：连接OE交AB于点I，设E，F，G，H重合于点P，正方形的边长为x，则OI=， .因为
9、该四棱锥的侧面积是底面积的2倍，所以，解得设该四棱锥的外接球的球心为Q，半径为R，则， ，解得，外接球的体积 17(1) ；(2) .解析：（1）由及正弦定理，得，即，即.因为在中， ， ，所以，所以，得.（2）由余弦定理，得，即，故，当且仅当时，取等号.所以，即的最大值为.18（）见解析;（）.（）.解析：（）取中点,连接.因为,所以.因为菱形中, ,所以.所以.因为,且平面,所以平面.所以.（）由（）可知, ,因为侧面底面,且平面底面,所以底面.以为坐标原点,如图建立空间直角坐标系.则,因为为中点,所以.所以,所以平面的法向量为.因为,设平面的法向量为,则,即.令,则,即.所以.由图可知,
10、二面角为锐角,所以余弦值为.（）设由（）可知.设,则,又因为,所以,即.所以在平面中, ,所以平面的法向量为,又因为平面,所以,即,解得.所以当时, 平面.19（1）见解析；（2）见解析.【解析】试题分析：（1）根据题意填写列联表，计算观测值，对照临界值得出结论；（2）由题意知抽取的6名“体育达人”中有4名男职工，2名女职工，所以的可能取值为0，1，2.计算概率值得到分布列与数学期望.试题解析：（1）由题意得下表：男女合计体育达人402060非体育达人303060合计7050120的观测值为 .所以有的把握认为该校教职工是“体育达人”与“性别”有关.（2）由题意知抽取的6名“体育达人”中有4名
11、男职工，2名女职工，所以的可能取值为0，1，2.且 ， ， ，所以的分布列为012 .20（1）；（2）试题解析：（1）由已知， ，圆的半径为依题意有： ， 故点P的轨迹是以为焦点，长轴长为4的椭圆，即故点P的轨迹E的方程为 （2）令，因A，B，D不共线，故的斜率不为0，可令的方程为： ，则由得则 被轴平分， 即，亦即 而 代入得： 代入得： 时得： 此时的方程为： 过定点（1，0）时 ， 亦满足，此时的方程为： 综上所述，直线恒过定点（1，0）21(1) 函数在上单调递増(2)见解析试题解析：（1）由题可得，设，则，所以当时， 在上单调递增，当时， 在上单调递减，所以，因为，所以，即，所以函
12、数在上单调递増.（2）由（1）知在上单调递増，因为，所以，所以存在，使得，即，即，所以函数在上单调递减，在上单调递増，所以当时，令，则恒成立，所以函数在上单调递减，所以，所以，即当时，故函数在上的最小值小于.点睛：本题的难点在后，要证明f(t) .这时，要再构造函数，求它的单调性和最值，从而找到突破口.在导数解答里，构造函数是一个常规技巧，我们要理解掌握和灵活运用.22（1）曲线的直角坐标方程为: ，直线的普通方程为： ；（2）.试题解析：(1)由曲线的极坐标方程得： ，曲线的直角坐标方程为: ，曲线的参数方程为,（为参数）；直线的普通方程为： . (2)设曲线上任意一点为，则点到直线的距离为.23（1）；（2）【解析】试题分析：（1）绝对值函去绝对值得到分段函数，得的解集为；（2）由题意得， ，即，解得。试题解析：（1）依题意， 故不等式的解集为（2）由（1）可得，当时， 取最小值， 对于恒成立，即，解之得，实数的取值范围是14
