《新新教案系列高中数学2.3直线、平面垂直的判定及其性质教案pdf新人教A必修2.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《新新教案系列高中数学2.3直线、平面垂直的判定及其性质教案pdf新人教A必修2.pdf（15页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、新新教案高中数学必修 人教实验 版 教 学 札记 即 的面积为 图 已知 如图 面 面 直线 求证 直线 与平面 必相交 证明 假设直线 与平面 不相交 则 或 若 因为 所以 与已知矛盾 若 过 作平面 与 相交于 因为 所以平面 与平面 一定相交 设 且 因为 与 相交 所以 和 不重合 由两平面平行的性质知 若 由直线和平面 平行的性质定理知 那么 与 矛 盾 所以直线 与平面 必相交 直直线线 平平面面垂垂直直的的判判定定及及其其性性质质 直线与平面垂直的判定 课标解读 课标要求学习目标 从实际背景出发 让学生了解 感 受直线和平面垂直的概念 体会探究 判定直线和平面垂直的方法 掌握线
2、 面垂直 的 判 定 定 理 并 能 进 行 简 单 应用 加深对转化思想的认识 进一步熟 悉将空间问题转化为平面问题的基 本方法 正确理解直线和平面所成角的概 念 掌握求线面角的基本方法 准确叙述直线和平面垂直 的定义 并能画图予以表示 能准确说出直线与平面垂 直的判定定理 并能用图形 符号语 言 予 以 表 示 会 用 判 定定理解决有关问题 初步掌握将空间问题转化 为平面问题的方法 教学策略 重点难点 重点 直线和平面垂直的概念及判定定理 难点 归纳发现直线和平面垂直的判定定理 教学建议 从实际背景出发 直观感知直线与平面垂直的位置关 系 从而突破直线与平面垂直的判定定理 由图形入手 完
3、善直线与平面斜交的位置关系 从而 解决直线与平面所成角的问题 直线与平面垂直的判定定理不要求证明 只要通过实 例感知 确认 并能应用即可 情境创设 同学们 你们见过中华世纪坛坛体上方的 时空探 针 吗 图 如图 中华世纪坛坛 体上方耸立着一根高达 米 的时空探针 造型如一枚飞向太 空的火箭 是时空永恒延展的象 征 体现了中国人民勇于探索的 创新精神 探针的顶端与内部旋 转体的中心在一条垂直线上 从 理论上说 这个点静止不动 做到了主体建筑动静呼应 气势 雄浑 英国发明家瓦特 获得了蒸汽机专利后 从一个大学实验员一跃成为波士顿 瓦特公司的老板 还成 为英国皇家学会的会员 引起了许多旧贵族的不满
4、据说 在 一次皇家音乐会上 有个贵族故意嘲讽地对瓦特说 乐队指 挥手里拿的东西在物理学家眼里仅仅是根棒子而已 瓦特 回答道 是的 那的确是棒子 但是我可以用这 根棒子组 成 个直角 而你却不能做到 那个贵族不服气地用 根 指挥棒在桌上摆来摆去 可始终无法摆出 个角 你能摆出 个直角吗 生活中处处都有线面垂直的例子 如帆船的桅杆与海 平面 操场上的旗杆和地面 马路两边的路灯杆与地面 教室 中的墙缝和地板面等等 那么如何判断一条直线与一个平面 垂直呢 合作探究 探究一 直线与平面垂直的定义 想一想 中华世纪坛的 时空探针 与地面是什么关系 能否再举几个这样的例子 由图片感性认识时空探针与地面垂直
5、日常生活中 旗 杆与地面的位置关系 大桥的桥柱与水面的位置关系等 都 给我们以直线与平面垂直的形象 图 议一议 如何定义一条直线与一 个平面垂直呢 如图 在阳光下观察直立 于地面的旗杆 及它在地面的影子 旗杆所在的直线与影子所在直线 的位置关系是什么 探究 随着时间的变化 尽管影 子 的位置在移动 但是旗杆 所在直线始终与 所 在的直线垂直 也就是说 旗杆 所在直线与地面内任意 一条过点 的直线垂直 事实上 旗杆 所在的直线与地 面内任意一条不过点 的直线 也是垂直的 点 直线 平面之间的位置关系第二章 教 学 札记 提升总结 直线和平面垂直的定义 如果直线 与平面 内的任意一条直线都垂直 我
6、们就 说直线 与平面 互相垂直 记作 直线 叫做平面 的 垂线 平面 叫做直线 的垂面 温馨提示 直线与平面垂直不是直线与平面位置关 系的一种 而是直线与平面相交的一种特殊情况 定义都具有双重作用 判定和性质 判定是指 如果 一条直线和一个平面内的任意一条直线都垂直 那么这条直 图 线就与此平面垂直 这是判定直线与平面垂 直的一种方法 性质是指 如果一条直线垂 直于一个平面 那么这条直线就垂直于这个 平面内的任意一条直线 即 画直线与平面垂直时 通常把直线 画成与表示平面的平行四边形的一边垂直 如图 例 直线 与平面 内的无数条直线垂直 则 和平面 相互平行 和平面 相互垂直 在平面 内 不能
7、确定 解 析 直线 和平面 相互平行 或直线 和平面 相互 垂直 或直线 在平面 内都有可能 如图 图 答案 点 拨 考查直线与平面的位置关系以及直线与平面垂 直的定义 跟踪练习 直线 平面 则 与 的关系为 且 与 相交 且 与 不相交 与 不一定垂直 解 析 因为 所以在 中必有一条直线 与 平行 因为 所以 所以 答案 探究二 直线和平面垂直的判定定理 准备一块 三 角 形 的 纸 片 过 的 顶 点 翻 折 纸片 得一折痕 然后将翻折后的纸片竖起放在桌面 上 与 桌 面 接 触 折 痕 是 不 是 与 桌 面 垂 直呢 想一想 容易发现 只有当折痕 与原三角形的边 垂 直时 折痕 才与
8、桌面垂直 当 与 垂直时 将纸片翻折 以后 线段 被折成两条线段 和 与 都与折痕 图 垂直 由此可以发现 当折痕 垂直 于桌面内的两条相交直线 和 时 折痕 才垂直于桌面 提升总结 一般地 判断直线与平面 垂直有下面的判定定理 一条直线与一 个平面内的两条相交直线都垂直 则该 直线与此平面垂直 如图 即 烍 烌 烎 温馨提示 判定定理的条件中 平面内的两条相交 直线 是关键性词语 一定要抓牢 要判定一条已知直线和一个平面是否垂直 取决于 在这个平面内能否找出两条相交直线和已知直线垂直 至于 这两条相交直线是否和已知直线有公共点是无关紧要的 例 下列命题中正确的是 若一条直线和平面内的一条直线
9、垂直 则这条直线 和这个平面垂直 若平面外的一条直线与平面内的两条直线垂直 则 这条直线和这个平面垂直 若平面外的一条直线与平面内的无数条直线垂直 则这条直线与这个平面垂直 和一个三角形两边同时垂直的直线也和第三边垂直 解 析 由直线与平面垂直的定义和判定定理可知 直线 与平面垂直有两种判断方法 直线垂直于平面内的任意 一条直线 直线垂直于平面内的两条相交直线 所以和一 个三角形两边同时垂直的直线 必定垂直于这个三角形所在 的平面 从而也和第三边垂直 故选 答案 跟踪练习 如果一条直线垂直于一个平面内的 三角形的两边 梯形的两边 圆的两条直径 正六边形的两条边 则能 保证该直线与平面垂直的是
10、解 析 能保证这条直线垂直于该平面内的两条相交直 线 中的两直线有可能是平行的 答案 探究三 直线与平面所成的角 议一议 直线与平面垂直时 直线与平面所成的角是 多少 直角 直线和平面平行或直线在平面内时 直线与平面所 成的角是多少 想一想 直线与平面相交且不与平面垂直时所成的角是 多少 图 提升总结 相关概念 点到平面的垂线段 自点向平面 引垂线 垂足叫做这个点在这个平面上 的射影 这个点与垂足间的线段叫做这 个点到这个平面的垂线段 如图 平面 垂足为 则线段 叫做 点 到平面 的垂线段 斜线 一条直线和一个平面相交 但不和这个平面垂 直 这条直线叫做这个平面的斜线 斜线和平面的交点叫做 斜
11、足 斜线上的一点和斜足间的线段叫做这个点到这个平面 的斜线段 如图 与平面 不垂直 则 直线 叫平面 的斜线 线段 叫做点 到平面 的斜 线段 新新教案高中数学必修 人教实验 版 教 学 札记 射影 过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线 过斜足和 垂足的直线叫做斜线在这个平面上的射影 垂足与斜足间的线段 叫做这点到平面的斜线段在这个平面上的射影 如图 点 是点 在平面 上的射影 直线 叫做斜线 在平面 内的 射影 线段 叫做斜线段 在平面 内的射影 图 直线与平面所成的角 平面的一条斜线和它在平面上的射 影所成的锐角 叫做这条直线和这个平面 所成的角 如图 所示的 即为 直线 与平面 所成的角
12、例 若斜线段 是它在平面 图 内射影长的 倍 则 与平面 所成 的角是 解 析 斜线 垂线以及射影构成直 角三角形 如图 所示 即 是斜 线 与 平 面 所 成 的 角 又 所以 所以 故选 答案 温馨提示 斜线与平面所成角的范围为 直线与 平面所成角的范围为 两者不同 要注意区分 跟踪练习 如图 在正三棱柱 中 侧棱长为 槡 底面三角形的边长为 则 与侧面 所成的 角是 图 图 解 析 取 中点 连接 易证 即是 所求角 在 中 槡 槡 槡 槡 槡 槡 答案 探究四 直线与平面垂直的判定与应用 图 例 如 图 在 正 方 体 中 为 的 中点 为四边形 的中心 求证 平面 分 析 要证 平面
13、 只 需证 垂直于平面 中的两 条相交直线 证明 连接 设 槡 连接 又 平面 点 拨 线面垂直可转化为线线垂直 应用勾股定理的逆 定理 通过计算得出垂直也是证明垂直的常用手段 跟踪练习 图 在空间四边形 中 分别是 的中点 若 槡 求 证 平面 证明 如图 取 的中 点 连接 则 因为 槡 所以 所以 因为 所以 又因为 所以 又 所以 平面 备选例题 图 例 如图 所示 为 圆 的直径 为圆 上的一点 平面 于点 于点 求证 平面 分 析 要证 平面 可 转化为证 垂直于平面 内的两条相交直 线 已 知 再找出 就可以了 证明 平面 为圆 的直径 平面 平面 平面 点 拨 应用直线与平面垂
14、直的判定定理是证明直线与 平面垂直的重要方法 例 如图 已知 在平面 内 是平 面 的斜线 且 槡 求 与平面 所成的角 分 析 先找斜线 在面 内的射影 再找出线面角 解 直角三角形求得结果 点 直线 平面之间的位置关系第二章 教 学 札记 图 解 为正三角形 槡 为直角三角形 同理 也为直角三角形 过 作 垂直平面 于 连接 为 的外心 在 上 且 为 的中点 为直线 与平面 所成的角 在 中 槡 槡 即 与平面 所成的角为 点 拨 确定点在平面内的射影的位置是解题的关键 反思感悟 通过本节学习 你学会了哪些判断直线与平面垂直的 方法 方法 定义法 任一直线 判定定理 线线垂直 线面垂直
15、上述判断直线与平面垂直的方法体现了什么数学 思想 体现了转化与化归的数学思想方法 线面垂直的定义具有判定和性质的双重作用 要注意 灵活运用 斜线段 垂线段及射影构成了一个直角三角形 直线与平面所成的角的取值范围是 课后作业 下列条件中 能使直线 平面 的是 解 析 如果两条平行线中的一条垂直于一个平面 那 么另一条也垂直于这个平面 答案 若直线 与直线 异面 则过 且与 垂直的平 面 有且仅有一个 若存在 则唯一 可能有无数个 不存在 解 析 在正方体 中 与 异 面 且 平面 故可排除 但当 不垂直 于 时 符合条件的平面不存在 若符合条件的平面 有无数个 则与过一点和已知直线垂直的平面只有
16、一 个相矛盾 答案 图 空间四边形的四条边相等 那么它的对角线 相交且垂直 既不相交 也不垂直 相交 但不垂直 不相交 但垂直 解 析 如 图 连 接 取 的 中 点 连接 则 又 平 面 平 面 故应选 答案 在空间四边形 中 若 分别是 的中点 则四边形 的形状是 平行四边形 长方形 菱形 正方形 解 析 先证四边形 为菱形 再证 答案 浙 江 在三棱柱 中 各 棱 长 相 等 侧棱垂直于底面 点 是侧面 的中心 则 与平面 所成角的大小是 图 解 析 如图 所示 取 的中 点 连 接 则 平 面 故 为直线 与平 面 所成的角 设各棱长为 则 槡 槡 答案 图 如图 所示 在底面边长为 的 正 三 棱 锥 中 是 的中点 若 的面积是 则侧棱 与底面 所 成角的正切值为 解 析 如图 作 由 正 三 棱 锥 得 为 的中心 则 槡 槡 槡 又由 得 槡 答案 设三棱锥 的顶点 在平面 上的射影是 给出下列命题 若 则 是 的垂心 新新教案高中数学必修 人教实验 版 教 学 札记 若 两两互相垂直 则 是 的垂心 若 是 的中点 则 若 则 是 的外心 请把正确命题的序号填在横线上
