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1、 发表 特级教师 发表 特级教师 定积分及其应用备考聚焦定积分及其应用备考聚焦 湖南长沙 邓永生 QQ 4474986 定积分及其应用是新课标教材新增内容 从 2009 年高考命题来看尚处于起步阶段 但可以预见 这一 考点必将受命题者的青睐 一 备考导学 定积分在平面几何中的应用 理解定积分的几何意义 求曲线围城的平面图形的面积 利用定积分解 决简单的物理问题题 结合物理学中的相关内容 将物理意义转化为定积分解决 二 聚焦热点 考点一 定积分的计算考点一 定积分的计算 1 2 例例 1 设 则 2 01 2 1 xx f x xx 2 0 f x dx A 3 4 B 4 5 C 5 6 D
2、不存在 答案答案 C 解析解析 21223 22 0011 11 2 2 32 f x dxx dxx dxxxx 2 1 5 6 选 C 点评 点评 对于定积分的计算 主要是考查学生对牛顿 莱布利兹公式的理解和运用 其关键在于求出被积函数 的原函数 对于被积函数是分段函数问题 应充分利用性质 bcb aac f x dxf x dxf x dx 根据定 义域将积分区间分成若干部分 选择不同的条件下函数表达式进行积分运算 再相加 变式变式1 已知 0 sin cos 2 0 dxxx则当取最大值时 答案答案 4 解析解析 因 0 0 cossin sincos sincos12sin 1 4
3、xx dxxx 所以 4 时取 最大值 考点二考点二 求曲线围成的平面图形的面积求曲线围成的平面图形的面积 例例 2 求抛物线 2 2yx 与直线4yx 围成的平面图形的面积 解析解析 先求出抛物线 2 2yx 与直线4yx 的交点确定积分区间 再求定积分 由方程组求得交点为和 2 2 4 yx yx 2 2 8 4 画出图像 法一 选x作为积分变量 由图可知平面图形可分为两部分求解 在部分 上边界曲线为 1 A2yx 下边界曲线为2yx 故 22 1 00 2 2 2x dx 2Axxdx 3 2 2 0 21 2 2 33 x 6 2 x在部分 上边界曲线为 下边界曲线为 2 A4y 2y
4、x 故 8 2 2 4 2 Axx dx 3 28 2 2 12 2 23 xxx 4 38 3 于是 12 1638 18 33 SAA 法二 选作为积分变量 将曲线方程写为y 2 2 y x 及4xy 故 2 2 4 4 2 y Sy dy 23 2 4 4 30 12 26 yy y 18 点评点评 对于求平面图形面积的问题 首先应根据题意画出平面图形 然后根据图形特点 选择相应的 积分变量以确定积分区间 写出图形面积的积分表达式进行积分运算 值得提醒的是 当平面图形在x轴 上方时 可以直接利用定积分求出面积 当平面图形的一部分在x轴下方时 其对应的定积分为负值 应 取其相反数 变式变式
5、 2 函数 2 27f xx 6x g x与x 的图象所围成的封闭 图形的面积为 A 2 3 B C 2 8 3 D 3 答案 答案 C 解析 解析 由 2 276xxx 得 1 1x 2 3x 作出函数的图象如 图所示 则所求封闭图形的面积为 3 232 1 1 28 286 3 6 33 Sxxdxxxx 4 考点三 考点三 与几何概型概率相合考查与几何概型概率相合考查 例 3 例 3 如图 在一个边长为 1 的正方形AOBC内 曲线y x 2和曲线 y 2 x 围成一个叶形图 阴影部分 向正方形AOBC内随机投一点 该点落在正方形AOBC内任何一点是 等可能的 则所投的点落在叶形图内部的
6、概率是 A 1 2 B 1 3 C 1 4 D 1 6 答案答案 B 解析解析 阴影部分的面积为 3 1 23 2 10 0 21 33 sxxdxxx 1 1 3 而正方形 AOBC 的面积为 1 故所求的概率为 1 3 选 B 点评点评 此类题体现 高考命题立足知识交汇点 的命题特色 在考查几何概型概率计算的同时 考查了用 定积分求曲边图形的面积方法 要求对学生对定积分能灵活应用 变式变式 3 在平面区域 2 2 0 x y yxxy 且内任意取一点 则所取的点恰是平面区域PP 2 x yyx xyy 且0内的点的概率为 答案答案 3 4 3 解析解析 2 2 0 1 2 1 3 2 4
7、2 P A xx dx 评析评析 本题经过了多层包装 在集合背景下考查二元不等式表示的平面区域 在考查几何概型概率计算的 同时兼顾考查了定积分的求法 考点四 定积分在物理中的应用考点四 定积分在物理中的应用 例例 4 已知 A B 两地相距 400m 甲 乙两物体都沿直线从 A 运动到 B 甲物体的速度为 乙物体的速度为 2 vt m s 2 1 5 6 vtm s 若甲 2 乙先出发 5 秒钟 问 甲 乙两物体从 A 到 B 的运动过程中 能否相遇 并说明理由 解析解析 设乙出发x秒后两人相遇 则相遇时甲运动的路程 乙运动的路程 5 2 0 2 5 x Stdtx 甲 233 SS 0 11
8、 5 5 5 618 x Stdtx 乙 由 乙甲 得 2 5 x 33 1 5 5 18 x 化简得 32 310518 250 xxx 令 则 32 310518 25f xxxx 10 0 15 0ff 故方程 在 1内必有根 记为0 15 0 x 因此时 所以甲 乙两物体从 A 到 B 的运动过程中能相遇 22 0 5 155 400SSx 乙甲 点评点评 这是一个物理学中的追及问题 由于是变速运动 可以借助定积分来求相应的路程 利用路程关系 判断能否追及相遇 变式变式 4 已知如果1能拉长弹簧 1 为了将弹簧拉长 6 所耗费的功为 Ncmcm A 0 18J B 0 26J C 0 12J D 0 28J 来源 Z xx k Com 答案 答案 A 解析 解析 由物理学知识Fkx 可得 J 100k 0 06 2 0 06 0 0 10050 50 0 00360 18Wxdxx
