《数学复习第五章平面与空间向量1至6节人教.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数学复习第五章平面与空间向量1至6节人教.ppt（69页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第1节向量与向量的加减法 第五章平面与空间向量 要点 疑点 考点 1 向量的有关概念 1 既有大小又有方向的量叫向量 长度为0的向量叫零向量 长度为1个单位长的向量 叫单位向量 2 方向相同或相反的非零向量叫平行向量 也叫共线向量 规定零向量与任一向量平行 3 长度相等且方向相同的向量叫相等向量 课前热身 1 B C C B 能力 思维 方法 解题回顾 本例主要复习向量的基本概念 向量的基本概念较多 因而容易遗忘 为此 复习时一方面要构建良好的知识结构 另一方面要善于与物理中 生活中的模型进行类比和联想 引导学生在理解的基础上加以记忆 解题回顾 解法1系应用向量加 减法的定义直接求解 解法2则
2、运用了求解含有未知向量x y的方程组的方法 3 如果M是线段AB的中点 求证 对于任意一点O 有OM OA OB 解题回顾 选用本例的意图有二 其一 复习向量加法的平行四边形法则 向量减法的三角形法则 其二 向量内容中蕴涵了丰富的数学思想 如模型思想 形数结合思想 分类讨论思想 对应思想 化归思想等 复习中要注意梳理和领悟 本例深刻蕴涵了形数结合思想与分类讨论思想 解题回顾 1 以上证明实际上给出了所证不等式的几何解释 2 注意本题证明中所涉猎的分类讨论思想 化归思想 4 对任意非零向量a b 求证 a b a b a b 解题回顾 充分利用等腰直角三角形这两个条件 转化为 AB BC AB
3、BC 延伸 拓展 误解分析 2 需要分类讨论的问题一定要层次清楚 不重复 不遗漏 1 在向量的有关习题中 零向量常被忽略 如能力 思维 方法1 中 从而导致错误 第2节实数与向量的积 要点 疑点 考点 2共线定理 向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数 使得b a 1 实数与向量的积的概念 1 实数 与向量a的积记作 a 其长度 a a 方向规定如下 当 0时 a的方向与a的方向相同 当 0时 a的方向与a的方向相反 当 0时 a 0 2 设 为实数 则有如下运算律 a a a a a a b a b 3 平面向量基本定理如果e1 e2是同一个平面内的两个不共线向量 那么对于这一平
4、面内的任一向量a 有且只有一对实数 1 2 使a 1e1 2e2 其中e1 e2叫基底 课前热身 B A B D 能力 思维 方法 1 已知AB 2e1 ke2 BC e1 e2 CD e1 2e2 其中e1 e2不共线 1 若A B C三点共线 求k值 2 若A B D三点共线 求k值 解题回顾 可利用向量共线的充要条件证明几何中的三点共线问题 4 E是 ABCD的边AB上一点 AE EB 1 2 DE与对角线AC交于F 求AF FC 用向量知识解答 延伸 拓展 误解分析 1 很多人认为 若a b 则存在唯一实数 使b a 这是典型错误 事实上 它成立的前提是a 0 同样 在向量基本定理中
5、若e1 e2是共线向量 则不能用e1 e2表示与它们不共线的向量 第3节平面向量的坐标表示 要点 疑点 考点 1 平面向量的坐标表示 1 a x y 叫向量的坐标表示 其中x叫a在x轴上的坐标 y叫a在y轴上的坐标 2 设a x1 y1 b x2 y2 R 则a b x1 x2 y1 y2 a b x1 x2 y1 y2 a x1 y1 3 a b b 0 的充要条件是x1y2 x2y1 0 3 平移设原坐标P x y 按向量a h k 平移后得到新坐标则 1 设A x1 y1 B x2 y2 是不同的两点 点P x y 的坐标由公式确定 当 R且 1时有 A P表示直线AB上的所有点 B P
6、表示直线AB上除去A的所有点 C P表示直线AB上除去B的所有点 D P表示直线AB上除去A B的所有点 课前热身 C 2 若对n个向量a1 a2 an 存在n个不全为零的实数k1 k2 kn 使得k1a1 k2a2 knan 0成立 则称向量a1 a2 an为 线性相关 依此规定 能使a1 1 0 a2 1 1 a3 2 2 线性相关 的实数k1 k2 k3依次可取的值是 写出一组数值即可 不必考虑所有情况 4 2 1 3 三点A x1 y1 B x2 y2 C x3 y3 共线的充要条件是 A x1y2 x2y1 0 B x2 x1 x3 x1 y2 y1 y3 y1 C x2 x1 y3
7、 y1 x3 x1 y2 y1 D x1y3 x3y1 0 C B 4 若向量a 1 1 b 1 1 c 1 2 则c等于 5 函数y x2的图象按向量a 2 1 平移后得到的图象的函数表达式为 A y x 2 2 1 B y x 2 2 1 C y x 2 2 1 D y x 2 2 1 C 能力 思维 方法 解题回顾 任何两个不共线的向量都可作为基底 i 1 0 j 0 1 分别是直角坐标系横 纵两个方向的单位向量 用i j表示向量时 xi yj中的x y是惟一的 即为向量的 直角 坐标 两个向量用坐标表示时 当且仅当两个向量横 纵坐标分别相等时 两个向量相等 1 设x y为实数 分别按下
8、列条件 用xa yb的形式表示c 1 若给定a 1 0 b 0 1 c 3 5 2 若给定a 5 2 b 4 3 c 3 5 解题回顾 设a x1 y1 b x2 y2 若b 0 则a b的充要条件是存在实数 使得a b 用坐标形式来表示就是a bx1y2 x2y1 0 而x1 x2 y1 y2是a b的充分不必要条件 3 已知三点A 1 2 B 4 1 C 3 4 在线段AB上取一点P 过P作直线与BC平行交AC于Q APQ与梯形PQCB的面积之比是4 5 求点P的坐标 解题回顾 一般地 函数y f x 的图象按a h k 平移后所得图象的解析式为y k f x h 即y f x h k 4
9、 若函数y log2 2x 4 1的图象按a平移后图象的解析式为y log22x 求a 延伸 拓展 解题回顾 本题 2 是一道开放题 求解开放题的一般途径是假定命题成立 解出存在的值 如无解 则不存在 再验证求出的解 如不矛盾 则存在 1 利用定比分点解题时 一定要先把定比 先明确 的意义是起点到分点的数量除以分点到终点的数量 不能算错 误解分析 2 利用平移公式解题时 一定要分清原坐标与新坐标之间关系 第4节平面向量的数量积 要点 疑点 考点 2 平面向量的数量积的运算律 1 a b b a 2 a b a b a b 3 a b c a c b c 课前热身 A C A 4 设a 1 0
10、b 1 1 且 a b b 则实数 的值是 A 2 B 0 C 1 D 1 25 已知 a 10 b 12 且 3a b 5 36 则a与b的夹角是 A 60 B 120 C 135 D 150 D B 能力 思维 方法 解题回顾 利用夹角公式待定n 利用垂直充要条件求c 1 已知a 1 2 b 2 n a与b的夹角是45 1 求b 2 若c与b同向 且c a与a垂直 求c 2 已知x a b y 2a b且 a b 1 a b 1 求 x 及 y 2 求x y的夹角 解题回顾 1 向量模的计算方法常用的有两种 一是用距离公式 一是用a2 a 2把模的问题转化为平面向量的数量积的问题 2 向量
11、夹角的取值范围是 0 解题回顾 本题中 通过建立恰当的坐标系 赋予几何图形有关点与向量具体的坐标 将有关几何问题转化为相应的代数运算和向量运算 从而使问题得到解决 应深刻领悟到其中的形数结合思想 此外 题中坐标系建立的恰当与否很重要 它关系到运算的繁与简 3 如图 P是正方形ABCD的对角线BD上一点 PECF是矩形 用向量法证明 1 PA EF 2 PA EF 解题回顾 这是一道关于向量与解析几何的综合题 解题的关键在于将问题合理地转化 回避了复杂的计算 4 已知a x 0 b 1 y 且 a b a b 1 求点P x y 的轨迹方程C的方程 2 若直线l y kx m m 0 与曲线C交
12、于A B两点 D 0 1 且有 AD BD 试求实数m的取值范围 延伸 拓展 5 已知向量a x x 4 向量b x2 3x 2 x 4 2 1 试用x表示a b 2 求a b的最大值 并求此时a b夹角的大小 解题回顾 本题将向量与三次函数的最值问题溶于一体 考查知识的综合应用 解题回顾 1 是用数量积给出的三角形面积公式 2 则是用向量坐标给出的三角形面积公式 1 数量积作为向量的一种特殊运算 其运算律中结合律及消去律不成立 即a b c a b c a b a c不能推出b c 除非是零向量 误解分析 2 a b的充要条件不能与a b的充要条件混淆 夹角的范围是 0 不能记错 求模时不要
13、忘了开方 以上是造成不全对的主要原因 第5节空间向量及其运算 要点 疑点 考点 1 若a b是空间两个非零向量 它们的夹角为 0 则把a b的数量积定义为 a b cos 记作a b 即a b a b cos 2 a b b a a b c a c b c 3 若a x1 y1 z1 b x2 y2 z2 则a b x1x2 y1y2 z1z2 课前热身 A C 3a 3b 5c 1 能力 思维 方法 解题回顾 1 此例用到的常用结论为 若AD是 ABC的中线 则有 2 此例是常用结论即重心定理 当OA OB OC两两垂直时 在空间直角坐标系中 重心坐标公式为 2 已知正三棱锥P ABC中 M
14、 N分别是PA BC的中点 G是MN的中点 求证 PG BC 3 在正方体ABCD A1B1C1D1中 AC交BD于O G为CC1中点 求证 A1O 平面GBD 解题回顾 欲证A1O 平面GBD 只要证A1O垂直于面BDG中两条相交直线 易看出A1O BD 而OG与A1O垂直较为易证 注 此题亦可用空间坐标来证明 4 沿着正四面体O ABC的三条棱OA OB OC的方向有大小等于1 2和3的三个力f1 f2 f3 试求此三个力的合力f的大小以及此合力与三条棱所夹角的余弦 解题回顾 引入OA OB OC方向上的三个单位向量是本题得到解决的关键 延伸 拓展 5 已知三角形的顶点是A 1 1 1 B
15、 2 1 1 C 1 1 2 试求这个三角形的面积 解题回顾 本题实际上是给出了三角形的 向量型 面积公式 到目前为止 你一共知道多少种求三角形面积的方法呢 误解分析 分析 确定两个向量的夹角 应将它们平移 使始点重合 这时这两个向量间的夹角才是所要求的角 本题中 ABC不是a与b的夹角 而是 a与b的夹角 试画图观察 即a与b的夹角应是 ABC的补角 所以 第6节空间向量在立体几何中的应用 要点 疑点 考点 2 向量a与b平行的充要条件为 a b a b 1 向量a与b夹角 满足 若a x1 y1 z1 b x2 y2 z2 则 3 向量a与b垂直的充要条件为 a b 0即x1x2 y1y2
16、 z1z2 0 1 四面体每相对两棱中点连一直线 则此三条直线 A 互不相交 B 至多有两条直线相交 C 三线相交于一点 D 两两相交得三个交点 课前热身 C 2 在正方体ABCD A1B1C1D1中棱长为a M N分别为A1B和AC上的点 A1M AN a 则MN与平面BB1C1C的位置关系是 A 相交 B 平行 C 垂直 D 不能确定 B 3 已知PA O所在的平面 AB为 O的直径 C是圆周上的任意一点 但异于A和B 则平面PBC垂直于平面 PAC 4 在棱长为1的正方体ABCD A1B1C1D1中 M N分别为A1B1和BB1的中点 那么直线AM与CN所成的角为 A arccos B arccos C arccos D arccos D 解题回顾 空间两条直线之间的夹角是不超过90 的角 因此 如果按公式计算分子的数量积为一个负数 则应当取其绝对值 使之变为正值 这样求得的角为锐角 这一说明在以后很多计算问题中经常被用到 5 P是二面角 AB 棱上的一点 分别在 平面上引射线PM PN 如果 BPM BPN 45 MPN 60 那么二面角 AB 的大小为 A 60 B 70 C
