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1、微积分基本定理 一 教材分析 地位 作用 欧洲数学家们冲出了古希腊人 严格证明 的圣殿 以直观推断的思维方式 创立了被恩格斯誉为 人类精神的最高胜利 的微积分学 微积分基本定理正是它的核心 2 教学重点 难点分析 重点 通过探究变速直线运动物体的速度与位移的关系 发现微积分基本定理的雏形 进而把结论一般化 是这节课的重点 难点 进一步引导学生应用定积分的基本思想来探究问题 同时利用导数的意义作为桥梁来转化被积函数是这节课的难点 教学目标分析 知识目标 使学生经历定理的发现过程 直观了解微积分基本定理的含义和几何意义 并理解导数与定积分的互逆关系 通过计算两个简单的定积分 使学生体会微积分基本定
2、理的优越性 理解微积分在数学史上举足轻重的地位 能力目标 让学生能够体会微积分运动变化地思维方式和初等数学中静态的思维方式的区别 并且培养学生在探索过程中善于变通的思想 敢于挑战陈规的精神 情感目标 A揭示寻求计算定积分新方法的必要性 激发学生的求知欲 B体会 以直代曲 临渊羡鱼 不如退而结网的思想 C感受用近似无限接近精确的方法 教学方法和手段 尽管已是高中学生 但抽象的概念依然令学生望而生畏 因此着眼于个别实例的研究 强调来龙去脉 淡化证明过程 学生既不用面对极限 无穷项求和 导数 积分综合难题的证明 又不失为良好的推导微积分基本定理的过程 由于学生刚学习了导数 知道导数的几何意义即为切线
3、的斜率 路程对时间的导数即为速度 二 学情分析 根据函数曲线图学生不难看出位移差 二 学情分析 上一节中刚学习了 汽车行驶的路程 学生明白路程的计算实际上是一个求定积分的过程 即对的定积分 让学生再一次感受小区间不断细分对近似程度的影响 如何通过逐步逼近而求出定积分 教学过程 引题 追根溯源 公元3世纪诞生的刘徽著名的 割圆术 割之弥细 所失越少 则与圆周合体而无所失矣 割之又割 以至于不可割 教学过程 情景设置 首先让学生回顾计算的过程 分割 近似代替 求和 取极限 教学过程 接着动手利用定义计算 重复以上步骤学生遇到了麻烦 引导学生分析原因 和式难求 当被积函数是如何求呢 探究 问题模型
4、寻求新方法 如图 一个作变速直线运动的物体的运动规律是由导数的概念可知 它在任意时刻t的速度是 设这个物体在时间段内的位移为S 你能分别用 表示 吗 观察图象得到物体的位移s 即 分析 下面我们讨论如何用速度函数v t 来表示位移s 因为在上一节 汽车行驶的路程 中 学生知道了位移就是对速度函数v t 的定积分 在此学生肯定会联想到只要知道了v t 不就解决了吗 但是题目已知的只是路程函数s t 因此接下来的关键在于建立v t 与s t 的关系 下面分8个步骤来讨论 微积分基本定理 就是勾股定理 以研究这小段山高为例 问题1能否把一小段的山高近似地看作一个直角三角形呢 问题2假设是直角三角形
5、那么斜边如何构造呢 问题3在这个直角三角形种哪些量是已知或可求的 通过讨论发现山高那么把所有累加起来不正好就是山的高度吗 分割 等分成n个小区间 可用线段 来近似代替曲边AB 得到直角三角形ACD AD正是曲线在左端点A处的切线 由导数的几何意义可知 AD的斜率就是tan DAC 所以 另一方面曲线S在左端点A处的切线就是 引进导数 近似代替 当很小时 我们可以认为 求和 取极限 物体的总位移的近似值就越接近精确值S 即 让学生观察 这不正是速度函数的定积分吗 引入定积分得到左边雏形 建立导数与积分的关系 归纳小结 式表明 速度函数在区间 a b 上的定积分等于位移函数在区间 a b 的右端点
6、处的函数值s b 与左端点处的函数值s a 之差 式是否具有一般性呢 水到渠成 给出微积分基本定理的一般形式 连续函数f x 若 则 即牛顿 莱布尼兹公式 Newton LeibnizFormula 1642 1727 巨人的肩膀 活学活用 利用微积分基本定理解决前面的问题 以学生练习 讨论为主 让学生与上一节例题比较 得出结论 结果相同 但比用定义计算定积分简单 教师给出规范的书写格式 初步展示利用微积分基本定理求定积分的优越性 知识的延伸 通过计算下列定积分得到定积分的几何意义 通过计算结果能发现什么结论 试利用曲边梯形的面积表示发现的结论 我们发现 定积分的值可取正值也可取负值 还可以是
7、0 2 当曲边梯形位于x轴上方时 定积分的值取正值 3 当曲边梯形位于x轴下方时 定积分的值取负值 4 当曲边梯形位于x轴上方的面积等于位于x轴下方的面积时 定积分的值为0 得到定积分的几何意义 曲边梯形面积的代数和 生活链接 假设一物体从飞机上扔下 t秒物体的下落速度近似为 1 写出t秒后物体下落距离的表达式 2 如果是从高出地面5000m的高空处扔下 那么大约经过多少秒后将触到地面 四 教学评价设计 整个是由特殊到一般 直观到抽象 这样一个合情推理的过程 让学生感知定积分的基本思想 并不需要严格的证明 正是体现了新课标对学生现有认知结构的深刻认识 打破了传统概念上由抽象到具体 严格推理论证的模式 这不能不说是数学中一个更人性化的改革 回顾历史
