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1、2011年普通高等学校招生全国统一考试陕西卷(理科)全解全析一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1设，是向量，命题“若，则”的逆命题是 （ ）（A）若，则 （B）若，则（C）若，则 （D）若，则【分析】首先确定原命题的条件和结论，然后交换条件和结论的位置即可得到逆命题。【解】选D 原命题的条件是，作为逆命题的结论；原命题的结论是，作为逆命题的条件，即得逆命题“若，则”，故选D2设抛物线的顶点在原点，准线方程为，则抛物线的方程是 （ ）（A） （B） （C） （D）【分析】由准线确定抛物线的位置和开口方向是判断的关键【解】选B
2、由准线方程得,且抛物线的开口向右（或焦点在轴的正半轴），所以3设函数（R）满足，则函数的图像是 （ ）【分析】根据题意，确定函数的性质，再判断哪一个图像具有这些性质【解】选B 由得是偶函数，所以函数的图象关于轴对称，可知B，D符合；由得是周期为2的周期函数，选项D的图像的最小正周期是4，不符合，选项B的图像的最小正周期是2，符合，故选B4（R）展开式中的常数项是 （ ）（A） （B） （C）15 （D）20【分析】根据二项展开式的通项公式写出通项，再进行整理化简，由的指数为0，确定常数项是第几项，最后计算出常数项.【解】选C ，令，则，所以，故选C5某几何体的三视图如图所示，则它的体积是 （
3、）（A）（B）（C）（D）【思路点拨】根据已知的三视图想象出空间几何体，然后由几 何体的组成和有关几何体体积公式进行计算【精讲精析】选A 由几何体的三视图可知几何体为一个组合体，即一个正方体中间去掉一个圆锥体，所以它的体积是.6函数在内 （ ）（A）没有零点 （B）有且仅有一个零点（C）有且仅有两个零点 （D）有无穷多个零点【分析】利用数形结合法进行直观判断，或根据函数的性质（值域、单调性等）进行判断。【解】选B （方法一）数形结合法，令，则，设函数和，它们在的图像如图所示，显然两函数的图像的交点有且只有一个，所以函数在内有且仅有一个零点；（方法二）在上，所以；在，所以函数是增函数，又因为，所
4、以在上有且只有一个零点7设集合，为虚数单位，R，则为（ ）（A）（0，1） （B）， （C）， （D），【分析】确定出集合的元素是关键。本题综合了三角函数、复数的模，不等式等知识点。【解】选C ，所以；因为，所以，即，又因为R，所以，即；所以，故选C.8右图中，为某次考试三个评阅人对同一道题 的独立评分，为该题的最终得分，当， 时，等于（ ）（A）11 （B）10 （C）8 （D）7【分析】先读懂右图的逻辑顺序，然后进行计算判断，其中 判断条件是否成立是解答本题的关 键【解】选C ，,不成立,即为“否”，所以再输入；由绝对值的意义（一个点到另一个点的距离）和不等式知，点到点的距离小于点到的距离
5、，所以当时，成立，即为“是”，此时，所以，即，解得，不合题意；当时，不成立，即为“否”，此时，所以，即，解得，符合题意，故选C9设，是变量和的个样本点，直线是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归方程（如图），以下结论中正确的是 （ ）（A）和的相关系数为直线的斜率（B）和的相关系数在0到1之间（C）当为偶数时，分布在两侧的样本点的个数一定相同（D）直线过点【分析】根据最小二乘法的有关概念：样本点的中心，相关系 数线，性回归方程的意义等进行判断【解】选D选项具体分析结论A相关系数用来衡量两个变量之间的相关程度，直线的斜率表示直线的倾斜程度；它们的计算公式也不相同不正确B相关系数的值有正有负，
6、还可以是0；当相关系数在0到1之间时，两个变量为正相关，在到0之间时，两个变量负相关不正确C两侧的样本点的个数分布与的奇偶性无关，也不一定是平均分布不正确D回归直线一定过样本点中心；由回归直线方程的计算公式可知直线必过点正确10甲乙两人一起去游“2011西安世园会”，他们约定，各自独立地从1到6号景点中任选4个进行游览，每个景点参观1小时，则最后一小时他们同在一个景点的概率是 （ ）（A） （B） （C） （D）【分析】本题抓住主要条件，去掉次要条件（例如参观时间）可以简化解题思路，然后把问题简化为两人所选的游览景点路线的排列问题【解】选D 甲乙两人各自独立任选4个景点的情形共有（种）；最后一
7、小时他们同在一个景点的情形有（种），所以二、填空题：把答案填在答题卡相应题号后的横线上（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11设，若，则 【分析】分段函数问题通常需要分布进行计算或判断，从算起是解答本题的突破口.【解】因为，所以，又因为，所以，所以，【答案】112设，一元二次方程有整数根的充要条件是 【分析】直接利用求根公式进行计算，然后用完全平方数、整除等进行判断计算【解】，因为是整数，即为整数，所以为整数，且，又因为，取，验证可知符合题意；反之时，可推出一元二次方程有整数根【答案】3或413观察下列等式1=12+3+4=93+4+5+6+7=254+5+6+7+8+9+10=49照此规
8、律，第个等式为 .【分析】归纳总结时，看等号左边是子的变化规律，右边结果的特点，然后归纳出一般结论行数、项数及其变化规律是解答本题的关键【解】把已知等式与行数对应起来，则每一个等式的左边的式子的第一个数是行数，加数的个数是；等式右边都是完全平方数， 行数 等号左边的项数1=1 1 12+3+4=9 2 33+4+5+6+7=25 3 54+5+6+7+8+9+10=49 4 7 所以，即【答案】14植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，这个最小值为 （米）【分
9、析】把实际问题转化为数学模型,然后列式转化为函数的最值问题【解】（方法一）设树苗放在第个树坑旁边（如图）， 1 2 19 20那么各个树坑到第i个树坑距离的和是，所以当或时，的值最小，最小值是1000，所以往返路程的最小值是2000米.（方法二）根据图形的对称性，树苗放在两端的树坑旁边，所得路程总和相同，取得一个最值；所以从两端的树坑向中间移动时，所得路程总和的变化相同，最后移到第10个和11个树坑旁时，所得的路程总和达到另一个最值，所以计算两个路程和即可。树苗放在第一个树坑旁，则有路程总和是；树苗放在第10个（或第11个）树坑旁边时，路程总和是，所以路程总和最小为2000米.【答案】2000
10、15（考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分）A（不等式选做题）若关于的不等式存在实数解，则实数的取值范围是 【分析】先确定的取值范围，再使得能取到此范围内的值即可【解】当时，；当时，；当时，；综上可得，所以只要，解得或，即实数的取值范围是【答案】B（几何证明选做题）如图，B=D，且AB=6，AC=4，AD=12，则BE= 【分析】寻找两个三角形相似的条件，再根据相似三角形的对应边成比例求解【解】因为，所以AEB=，又因为B=D，所以AEBACD，所以,所以，在RtAEB中，【答案】C（坐标系与参数方程选做题）直角坐标系中，以原点O为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐
11、标系，设点A，B分别在曲线：（为参数）和曲线： 上，则的最小值为 【分析】利用化归思想和数形结合法，把两条曲线转化为直角坐标系下的方程【解】曲线的方程是，曲线的方程是，两圆外离，所以的最小值为【答案】3三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（本大题共6小题，共75分）16（本小题满分12分）如图，在ABC中，ABC=， BAC，AD是BC上的高，沿AD把ABD 折起，使BDC（1）证明：平面ADB平面BDC；（2）设E为BC的中点，求与夹角的余弦值【分析】（1）确定图形在折起前后的不变性质，如角的大小不变，线段长度不变，线线关系不变，再由面面垂直的判定定理进行推理证明；（2）在（1
12、）的基础上确定出三线两两垂直，建立空间直角坐标系，利用向量的坐标和向量的数量积运算求解【解】（1）折起前AD是BC边上的高，当ABD折起后，ADDC，ADDB，又，AD平面BDC，AD平面ABD，平面ABD平面BDC（2）由BDC及（1）知DA，DB，DC两两垂直， 不妨设|DB|=1，以D为坐标原点，以，所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，易得：D(0,0,0),B(1,0,0),C(0,3,0),A(0,0,),E(,0)，所以，所以与夹角的余弦值是17（本小题满分12分）如图，设是圆上的动点，点是在轴上投影，为PD上一点，且（1）当P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程；（2）求过点（3，0）且斜率为的直线被C所截线段的长度【分析】（1）动点M通过点P与已知圆相联系，所以把点P的坐标用点M的坐标表示，然后代入已知圆的方程即可；（2）直线方程和椭圆方程组成方程组，可以求解，也可以利用根与系数关系；结合两点的距离公式计算【解】（1）设点M的坐标是，P的坐标是，因为点是在轴上投影，为PD上一点，且，所以，且，P在圆上，整理得，即C的方程是（2）过点（3，0）且斜率为的直线方程是，设此直线与C的交点为，将直线方程代入C的方程得：，化简得，所以线段AB的长度是，即所截线段的长度是18（本小题满分12分）叙
