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1、精品资源备战高考 重难点06 函数与导数【命题趋势】在目前高考全国卷的考点中，导数板块常常作为压轴题的形式出现，这块部分的试题难度呈现非减的态势，因此若想高考中数学拿高分的同学，都必须拿下导数这块的内容.函数单调性的讨论、零点问题和不等式恒成立的相关问题（包含不等式证明和由不等式恒成立求参数取值范围）是出题频率最高的.对于导数内容，其关键在于把握好导数，其关键在于把握好导数的几何意义即切线的斜率，这一基本概念和关系，在此基础上，引申出函数的单调性与导函数的关系，以及函数极值的概念求解和极值与最值的关系以及最值的求解.本专题选取了有代表性的选择，填空题与解答题，通过本专题的学习熟悉常规导数题目的
2、解题思路与解题套路，从而在以后的导数【满分技巧】对于导数的各类题型都是万变不离其宗，要掌握住导数的集中核心题型，即函数的极值问题，函数的单调性的判定.因为函数零点问题可转化为极值点问题，函数恒成立与存在性问题可以转化为函数的最值问题，函数不等式证明一般转化为函数单调性和最值求解，而函数的极值和最值是由函数的单调性来确定的.所以函数导数部分的重点核心就是函数的单调性.对于函数零点问题贴别是分段函数零点问题是常考题型，数形结合是最快捷的方法，在此方法中应学会用导数的大小去判断原函数的单调区间，进而去求出对应的极值点与最值.恒成立与存在性问题也是伴随着导数经典题型，对于选择题来说，恒成立问题可以采用
3、选项中相对的特殊值的验证比较快捷准确，对于填空以及大题则采用对函数进行求导，从而判定出函数的最值.函数的极值类问题是解答题中的一个重难点，对于非常规函数，超出一般解方程的范畴类题目则采用特殊值验证法，特殊值一般情况下是0,1等特殊数字进行验证求解.【考查题型】选择题，填空，解答题21题【限时检测】（建议用时：90分钟）一、单选题1（2019山东高考模拟（文）函数f(x)=xsinx+lnx在区间-2,2上的大致图象为（ ）ABCD【答案】B【分析】根据题意，分析函数的奇偶性可得函数f（x）为偶函数，据此可以排除A、D；又由x0时，xsinx+lnx0，分析可得答案【详解】根据题意，f（x）xs
4、inx+ln|x|，其定义域为x|x0，有f（x）（x）sin（x）+ln|（x）|xsinx+ln|x|f（x），即函数f（x）为偶函数，在区间2，0）（0，2上关于y轴对称，排除A、D；又由x0时，xsinx+lnx0，排除C；故选：B【点睛】本题考查函数图象的判断，考查函数的奇偶性，此类题目一般用排除法分析2（2020宁夏高三月考（文）已知为自然对数的底数，若对任意，总存在唯一的，使得成立，则实数的取值范围是（ ）ABCD【答案】B【分析】构造函数和，分别求出单调性和值域，即可得到关于的不等式，解出即可.【详解】等式可化为，构造函数在单调递减，最小值为，最大值为，构造函数，求导，当时，此
5、时单调递减，当时，此时单调递增，则，的最小值为，因为对任意，总存在唯一的，使得成立，则，即.故答案为B.【点睛】本题考查了函数与方程的综合问题，考查了函数的单调性在解决综合题目的运用，考查了学生分析问题、解决问题的能力，属于难题.3（2019山东高考模拟（文）已知函数在上都存在导函数，对于任意的实数都有，当时，若，则实数的取值范围是( )ABCD【答案】B【分析】先构造函数，再利用函数奇偶性与单调性化简不等式，解得结果.【详解】令，则当时，又，所以为偶函数， 从而等价于，因此选B.【点睛】本题考查利用函数奇偶性与单调性求解不等式，考查综合分析求解能力，属中档题.4（2019广东高考模拟（文）己
6、知函数与的图像上存在关于轴对称的点，则实数的取值范围为（ ）ABCD【答案】C【分析】由已知，得到方程在上有解，构造函数，求出它的值域，得到的取值范围.【详解】若函数与的图象上存在关于轴对称的点，则方程在上有解，即在上有解，令，则，所以当时，当时，所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以在处取得最大值，所以的值域为，所以的取值范围是，故选C.【点睛】：该题考查的是有关根据两个函数图象上存在过于轴对称的点求参数的取值范 围的问题，在解题的过程中，注意关于轴对称的两点的坐标的关系式横坐标相等，纵坐标互为相反数，之后构造新函数，求函数的值域的问题，属于中档题目.5（2019河南高考模拟（文）已知函数
7、，若关于的方程只有两个不同的实根，则的取值范围为（ ）ABCD【答案】D【分析】由题，先求出的函数解析式，再画出其图像，由数形结合可得结果.【详解】，画出函数图像，因为关于的方程有两个不同的实根，所以 故选D【点睛】本题考查了函数性质，解析式的求法以及函数的图像，求其解析式以及画出函数图像是解题的关键，属于较难题.二、解答题6（2020广东高三期末（文）已知函数为实数)的图像在点处的切线方程为.（1）求实数的值及函数的单调区间；（2）设函数，证明时， .【答案】(1) ;函数的单调递减区间为，单调递增区间为;(2)详见解析.【详解】试题分析：（1）由题得，根据曲线在点处的切线方程，列出方程组，
8、求得的值，得到的解析式，即可求解函数的单调区间；（2）由（1）得 根据由，整理得，设，转化为函数的最值，即可作出证明.试题解析：（1）由题得，函数的定义域为， ，因为曲线在点处的切线方程为，所以解得.令，得，当时， ， 在区间内单调递减；当时， ， 在区间内单调递增.所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为.（2）由（1）得， .由，得，即.要证，需证，即证，设，则要证，等价于证： .令，则，在区间内单调递增， ,即，故.7（2019河北高考模拟（文）已知函数，（1）若是的极值点， 求并讨论的单调性；（2）若时，求的取值范围【答案】（1）见解析；（2）【分析】（1）求出原函数的导函数，结合求得
9、，代入导函数，得到，再由在上单调递增，且，可得当时，单调递减；当时，单调递增；（2）由，得，令，利用二次求导可得其最小值，则.的范围可求【详解】（1），.因为是的极值点，所以，可得所以，.因为在上单调递增，且时，所以时，单调递减；时， ，单调递增故在上单调递减，在上单调递增（2）由得，因为，所以.设，则.令，则，显然在内单调递减，且，所以时，单调递减， 则，即，所以在内单减，从而.所以.【点睛】：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，由，得函数单调递增，得函数单调递减；考查恒成立问题，正确分离参数是关键，也是常用的一种手段通过分离参数可转化为或恒成立，即或即可，利用导数知识结合单调性求出或
10、即得解.8（2019山东高考模拟（文）已知函数.（1）讨论的单调性；（2）若，试判断的零点个数.【答案】（1）当时，在上是增函数，当，在上是增函数，在上是减函数，在上是增函数，当时，在上是增函数，在上是减函数，在上是增函数；（2）1【解析】（1）对求导后对进行分类讨论，找到和的区间，即为 的单调区间.（2）由（1）可知时，有极大值和极小值，研究他们的正负，并且找到令的点，根据零点存在定理，找出零点个数.【详解】（1）函数的定义域为，令，则，（i）若，则恒成立，所以在上是增函数，（ii）若，则，当时，是增函数，当时，是减函数，当时，是增函数，（iii）若，则，当时，是增函数，当时，是减函数，当时
11、，是增函数，综上所述：当时，在上是增函数，当，在上是增函数，在上是减函数，在上是增函数，当时，在上是增函数，在上是减函数，在上是增函数；（2）当时，在上是增函数，在上是减函数，在上是增函数，所以的极小值为，的极大值为,设，其中，,所以在上是增函数，所以，因为，所以有且仅有1个，使.所以当时，有且仅有1个零点.【点睛】：本题考查利用导数求函数的单调区间，极值、最值，以及函数的图像和零点问题，涉及分类讨论的数学思想，题目比较综合，属于难题.9（2019安徽高考模拟（文）已知函数.（）求的单调区间；（）若对于任意的（为自然对数的底数），恒成立，求的取值范围.【答案】（I）当时， 的单调递增区间为，无
12、单调递减区间；当 时，的单调递增区间为和，单调递减区间是；（II）【分析】（）求出，分两种情况讨论，在定义域内，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间；（）对分四种情况讨论，分别利用导数求出函数最小值的表达式，令最小值不小于零，即可筛选出符合题意的的取值范围.【详解】（）的定义域为. .（1）当时，恒成立，的单调递增区间为，无单调递减区（2）当时，由解得，由解得.的单调递增区间为和，单调递减区间是.（）当时，恒成立，在上单调递增，恒成立，符合题意.当时，由（）知，在、上单调递增，在上单调递减.（i）若，即时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.对任意的实数，恒成立
13、，只需，且.而当时，且成立.符合题意.（ii）若时，在上单调递减，在上单调递增.对任意的实数，恒成立，只需即可，此时成立，符合题意.（iii）若，在上单调递增.对任意的实数，恒成立，只需，即，符合题意.综上所述，实数的取值范围是.【点睛】：本题主要考查利用导数研究函数的单调性、求函数的最值以及不等式恒成立问题，属于难题不等式恒成立问题常见方法： 分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）； 数形结合( 图象在 上方即可)； 讨论最值或恒成立； 讨论参数，排除不合题意的参数范围，筛选出符合题意的参数范围.10（2019广东高考模拟（文）已知函数，是常数证明：曲线在处的切线经过定点；证明：函数有且仅有
14、一个零点【答案】（）； （）见解析.【分析】求出函数的导函数，求出切线的斜率，推出切线方程，然后求解直线经过的定点讨论函数的单调性，结合零点存在定理，推出零点的个数【详解】曲线在处的切线为即，当时，即切线过定点当时，单调递增，根据对数函数与幂函数性质，当x是充分小的正数时，当x是充分大的正数时，所以，有且仅有一个零点当时，解得， x00极大值极小值，其中，所以所以，任意，在区间无零点取，则，所以，在区间有零点由的单调性知，在区间有且仅有一个零点综上所述，函数有且仅有一个零点【点睛】：本题考查函数的导数的应用，函数的极值以及函数的单调区间的求法，考查转化思想以及计算能力11（2019河北高三月考（文）已知函数，其中无理数.（）若函数有两个极值点，求的取值范围；（）若函数的极值点有三个，最小的记为，最大的记为，若的最大值为，求的最小值.【答案】（）；（）.【解析】分析：（）先对函数求
