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1、导数的运算 一 复习目标 掌握两个函数的和 差 积 商的导数运算法则 了解复合函数的求导法则 会求某些函数的导数 二 重点解析 在运用导数的四则运算法则进行简单函数的求导时 要熟记常见函数的导数公式及运算法则 对复合函数的求导 要搞清复合关系 选好中间变量 分清每次是对哪个变量求导 最终要把中间变量换成自变量的函数 三 知识要点 1 函数的和 差 积 商的导数 u v u v uv u v uv cu cu c为常数 2 复合函数的导数 设函数u x 在点x处有导数u x x 函数y f u 在点x的对应点u处有导数y u f u 则复合函数y f x 在点x处有导数 且 y x y u u
2、x 或写作f x x f u x 即复合函数对自变量的导数 等于已知函数对中间变量的导数 乘以中间变量对自变量的导数 典型例题1 解 1 y 2x2 3 3x 2 2x2 3 3x 2 4x 3x 2 2x2 3 3 求下列函数的导数 1 y 2x2 3 3x 2 2 y x2sinx 2cosx 2 y x2sinx 2cosx 18x2 8x 9 法2y 6x3 4x2 9x 6 18x2 8x 9 x2 sinx x2 sinx 2 cosx 2xsinx x2cosx 2sinx 典型例题1 求下列函数的导数 典型例题2 已知f x 的导数f x 3x2 2 a 1 x a 2 且f
3、0 2a 若a 2 求不等式f x 0的解集 解 f x 3x2 2 a 1 x a 2 可设f x x3 a 1 x2 a 2 x b f 0 2a b 2a f x x3 a 1 x2 a 2 x 2a x2 x a x x a 2 x a x a x2 x 2 x 1 x 2 x a 令 x 1 x 2 x a 0 由于a 2 则 当a 2时 不等式f x 0的解集为 1 当a 2时 不等式f x 0的解集为 1 2 a 典型例题3 设曲线y e x x 0 在点M t e t 处的切线l与x轴 y轴所围成的三角形面积为S t 1 求切线l的方程 2 求S t 的最大值 解 1 y e
4、x e x 切线l的斜率为 e t 切线l的方程为y e t e t x t 即e tx y e t t 1 0 2 令y 0 得x t 1 令x 0 得y e t t 1 令S t 0 得0 t1 S t 在 0 1 上为增函数 在 1 上为减函数 S t max S 1 典型例题4 求曲线y x3 3x2 5过点M 1 1 的切线方程 解 由y x3 3x2 5知y 3x2 6x 设切点为P x0 y0 则 y x x0 3x02 6x0 曲线在点P处的切线方程为 y y0 3x02 6x0 x x0 又切线过点M 1 1 1 y0 3x02 6x0 1 x0 即y0 3x03 3x02
5、6x0 1 而点P x0 y0 在曲线上 满足y0 x03 3x02 5 x03 3x02 5 3x03 3x02 6x0 1 整理得x03 3x0 2 0 解得x0 1或x0 2 切点为P 1 1 或P 2 1 故所求的切线方程为9x y 10 0或y 1 典型例题5 已知函数f x 2x3 ax与g x bx2 c的图象都过点P 2 0 且在点P处有相同的切线 1 求实数a b c的值 2 设函数F x f x g x 求F x 的单调区间 并指出函数F x 在该区间上的单调性 解 1 f x 2x3 ax的图象过点P 2 0 a 8 f x 2x3 8x f x 6x2 8 g x bx
6、2 c的图象也过点P 2 0 4b c 0 又g x 2bx 4b g 2 f 2 16 b 4 c 16 F x 2x3 4x2 8x 16 综上所述 实数a b c的值分别为 8 4 16 2 23 2a 0 f 2 6 22 8 16 2 由 1 知f x 2x3 8x g x 4x2 16 F x 6x2 8x 8 F x 的单调区间为 2 典型例题6 2 证 依题意 在切线l的方程中令y 0 得 x2 x1 1 ax1 x1 x1 2 ax1 ax1 2 2 ax1 0 又x1 0 x2 x1 2 ax1 0 x2 x1 2 ax1 x1 课后练习1 y 2 1 x 2 1 x 3
7、y sinx cosx ecosx lnsinx y ecosx lnsinx ecosx lnsinx cosx lnsinx sinx cosx sinx lnsinx cosx lnsinx sinx cosxsinx cot2x lnsinx sinx 1 cosx cot2x lnsinx 课后练习2 1 求y x2 3x 2 sinx的导数 解 1 y x2 3x 2 sinx x2 3x 2 sinx 2x 3 sinx x2 3x 2 cosx 解 由已知f x aex bln 2 x aex bln 2 x 课后练习3 f x ex 解得a 1 b 0 课后练习4 对于x 0
8、 2 令f x 0得0 x 1 令f x 0得1 x 2 f x 在 0 1 上为增函数 在 1 2 上为减函数 f 1 f 2 f 0 0为函数f x 在区间 0 2 上的最小值 又 切线过原点 解得x0 3或x0 15 课后练习5 过切点的切线的斜率为 当x0 3时 y0 3 此时切线的斜率为 1 切线方程为 x y 0 x 25y 0 课后练习6 已知函数f x 2x3 ax与g x bx2 c的图象都过点P 2 0 且在点P处有公共切线 求f x g x 的表达式 解 f x 2x3 ax的图象过点P 2 0 a 8 f x 2x3 8x f x 6x2 8 g x bx2 c的图象也
9、过点P 2 0 4b c 0 又g x 2bx 4b g 2 f 2 16 b 4 c 16 g x 4x2 16 综上所述 f x 2x3 8x g x 4x2 16 课后练习7 设函数y ax3 bx2 cx d的图象与y轴的交点为P点 且曲线在P点处的切线方程为12x y 4 0 若函数在x 2处取得极值0 试确定函数的解析式 解 由已知 P点的坐标为 0 d 曲线在P点处的切线方程为12x y 4 0 12 0 d 4 0 又切线斜率k 12 解得 d 4 故函数在x 0处的导数y x 0 12 而y 3ax2 2bx c y x 0 c c 12 函数在x 2处取得极值0 y x 2 0且当x 2时 y 0 解得a 2 b 9 y 2x3 9x2 12x 4 课后练习8 1 解 由已知f x 3x2 切线l的方程为y x13 a 3x12 x x1 2 证 依题意 在切线方程中令y 0 得 0 注 2 亦可利用导数或基本不等式证明
