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1、3 2 1古典概型 概率初步 温故而知新 1 随机现象 事前不能完全确定 事后会出现各种可能结果之一的现象 2 随机试验 简称 试验 有的试验 虽然一次试验的结果不能预测 但一切可能出现的结果却是可以知道的 这样的观察称为随机试验 3 样本空间 一个随机试验的一切可能出现的结果构成的集合 4 随机事件 简称 事件 用A B C等表示 样本空间的任一个子集 5 基本事件 样本空间的元素 随机试验每一个可能出现的结果 概率初步 考察下列现象 判断那些是随机现象 如果是随机试验 则写出试验的样本空间 1 抛一铁块 下落 2 在摄氏20度 水结冰 3 掷一颗均匀的骰子 其中可能出现的点数为1 2 3
2、4 5 6 4 连续掷两枚硬币 两枚硬币可能出现的正反面的结果 5 从装有红 黄 蓝三个大小形状完全相同的球的袋中 任取两个球 其中可能出现不同色的两个球的结果 分析例3 4 5的每一个基本事件发生的可能性 概率初步 3 掷一颗均匀的骰子 它的样本空间为 1 2 3 4 5 6 它有6个基本事件 即有6种不同的结果 由于骰子是均匀的 所以这6种结果的机会是均等的 于是 掷一颗均匀的骰子 它的每一种结果出现的可能性都是 概率初步 古典概型 我们会发现 以上三个试验有两个共同特征 1 有限性 在随机试验中 其可能出现的结果有有限个 即只有有限个不同的基本事件 2 等可能性 每个基本事件发生的机会是
3、均等的 我们称这样的随机试验为古典概型 1 古典概型 概率初步 古典概率 一般地 对于古典概型 如果试验的基本事件为n 随机事件A所包含的基本事件数为m 我们就用来描述事件A出现的可能性大小 称它为事件A的概率 记作P A 即有 我们把可以作古典概型计算的概率称为古典概率 2 古典概率 注意 A即是一次随机试验的样本空间的一个子集 而m是这个子集里面的元素个数 n即是一次随机试验的样本空间的元素个数 概率初步 古典概率 显然 1 随机事件A的概率满足0 P A 1 2 必然事件的概率是1 不可能的事件的概率是0 即P 1 P 0 如 1 抛一铁块 下落 2 在摄氏20度 水结冰 是必然事件 其
4、概率是1 是不可能事件 其概率是0 3 概率的性质 概率初步 例题分析 1 掷一颗均匀的骰子 求掷得偶数点的概率 分析 先确定掷一颗均匀的骰子试验的样本空间 和掷得偶数点事件A 再确定样本空间元素的个数n 和事件A的元素个数m 最后利用公式即可 解 掷一颗均匀的骰子 它的样本空间是 1 2 3 4 5 6 n 6 而掷得偶数点事件A 2 4 6 m 3 P A 概率初步 例题分析 2 从含有两件正品a b和一件次品c的三件产品中每次任取1件 每次取出后不放回 连续取两次 求取出的两件中恰好有一件次品的概率 分析 样本空间事件A它们的元素个数n m公式 解 每次取一个 取后不放回连续取两次 其样
5、本空间是 a b a c b c n 3 用A表示 取出的两件中恰好有一件次品 这一事件 则 A a c b c m 2 P A 2 3 概率初步 例题分析 3 从含有两件品a b和一件次品c的三件产品中每次任取1件 每次取出后放回 连续取两次 求取出的两件中恰好有一件次品的概率 解 有放回的连取两次取得两件 其一切可能的结果组成的样本空间是 a a a b a c b b b c c c n 6 用B表示 恰有一件次品 这一事件 则 B a c b c m 2 P B 2 6 1 3 概率初步 练习巩固 2 从1 2 3 4 5五个数字中 任取两数 求两数都是奇数的概率 解 试验的样本空间是
6、 12 13 14 15 23 24 25 34 35 45 n 10 用A来表示 两数都是奇数 这一事件 则 A 13 15 3 5 m 3 P A 概率初步 练习巩固 3 同时抛掷1角与1元的两枚硬币 计算 1 两枚硬币都出现正面的概率是 2 一枚出现正面 一枚出现反面的概率是 0 25 0 5 4 在一次问题抢答的游戏 要求答题者在问题所列出的4个答案中找出唯一正确答案 某抢答者不知道正确答案便随意说出其中的一个答案 则这个答案恰好是正确答案的概率是 0 25 概率初步 练习巩固 6 在掷一颗均匀骰子的实验中 则事件Q 4 6 的概率是 7 一次发行10000张社会福利奖券 其中有1张特
7、等奖 2张一等奖 10张二等奖 100张三等奖 其余的不得奖 则购买1张奖券能中奖的概率 概率初步 小结与作业 一 小结 1 古典概型 1 有限性 在随机试验中 其可能出现的结果有有限个 即只有有限个不同的基本事件 2 等可能性 每个基本事件发生的机会是均等的 2 古典概率 二 作业 P123习题1 2 3P127习题2 概率初步 思考 1 在10支铅笔中 有8支正品和2支次品 从中任取2支 恰好都取到正品的概率是 2 从分别写上数字1 2 3 9的9张卡片中 任取2张 则取出的两张卡片上的 两数之和为偶数 的概率是 答案 1 2 例3将n只球随机的放入N N n 个盒子中去 求每个盒子至多有
8、一只球的概率 设盒子的容量不限 解 将n只球放入N个盒子中去 共有 而每个盒子中至多放一只球 共有 此例可以作为许多问题的数学模型 比如用此公式可以得出 在一个有64人的班级里 至少有两人生日相同 的概率为99 7 n1 p 202330405064100 0 4110 5070 7060 8910 9700 9970 9999997 经计算可得下述结果 例4从0 1 2 3 4 5 6这七个数中 任取4个组成四位数 求 1 这个四位数是偶数的概率 2 这个四位数能被5整除的概率 例 一口袋装有6只球 其中4只白球 2只红球 从袋中取球两次 每次随机的取一只 考虑两种取球方式 放回抽样第一次取
9、一只球 观察其颜色后放回袋中 搅匀后再取一球 不放回抽样第一次取一球不放回袋中 第二次从剩余的球中再取一球 分别就上面两种方式求 1 取到的两只都是白球的概率 2 取到的两只球颜色相同的概率 3 取到的两只球中至少有一只是白球的概率 解 从袋中取两球 每一种取法就是一个基本事件 设A 取到的两只都是白球 B 取到的两只球颜色相同 C 取到的两只球中至少有一只是白球 有放回抽取 无放回抽取 例 将15名新生随机地平均分配到3个班中去 这15名新生中有3名是优秀生 问 1 每个班各分配到一名优秀生的概率是多少 2 3名优秀生分配到同一个班级的概率是多少 解 15名新生平均分配到3个班级中去的分法总
10、数为 1 将3名优秀生分配到3个班级 使每个班级都有一名优秀生的分法共有3 种 其余12名新生平均分配到3个班级中的分法共有 每个班各分配到一名优秀生的分法总数为 于是所求的概率为 三名优秀生分配在同一班级内 其余12名新生 一个班级分2名 另外两班各分5名 2 3名优秀生分配到同一个班级的概率为 等可能概型 小知识概率统计的第一篇论文是1657年惠更斯的 论赌博的计算 从那时起直到十九世纪初 人们运用当时发展起来的排列组合理论和变量数学为工具 发展了古典概率和几何概率范围的概念 计算及其分析性质的成果 如大数定律 贝叶斯定理 高斯分布 最小二乘法等 拉普拉斯以 分析概率论 作了总结 形成了古
11、典的描述性统计学 十九世纪是统计学相对停滞和酝酿时期 二十世纪初至第二次世界大战前 由于法俄概率论和英美统计科学的发展以及它们的结合 使概率统计学得以正式列入数学之林 诸分支在实践中迅速产生 如在生物学研究中提出的回归分析 出自农业实验的方差分析 实验设计理论 大规模工业生产所要求的抽样检查 从道奇 洛密克抽样表到序贯分析以至质量控制 等等 形成现代统计学的大部分内容 二次世界大战后 概率统计学主要在纯理论研究上取得进展 概率统计学的形成 标志着人类的认识和实践领域 从必然现象扩展到偶然现象 随机事件 这是与从精确数学到模糊数学类似的变革 它使科学与数学结合的历史进程前进了一大步 因此 它的应用十分广泛 除自然科学外 社会经济统计已成独立分支 它与其它学科结合形成了生物统计 统计预报 统计物理 计量史学等边缘学科 它向其它的数学分支渗透而产生了随机微分方程 随机几何等理论
