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1、 排列的应用问题 一 内容回顾 1 排列的概念 从n个不同元素中 任取m m n 个元素 这里的被取元素各不相同 按照一定的顺序排成一列 叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列 说明 1 排列的定义包括两个方面 取出元素 按一定的顺序排列 2 两个排列相同的条件 元素完全相同 元素的排列顺序也相同 2 排列数的定义 从n个不同元素中 任取m m n 个元素的所有排列的个数叫做从n个元素中取出m元素的排列数 用符号表示 说明 1 公式特征 第一个因数是n 后面每一个因数比它前面一个少1 最后一个因数是 n m 1 共有个m因数 2 第一个公式通常用来计算 第二个公式用来证明 排列数公式的变形
2、 有关排列的应用题 判断问题是否为排列问题 如何完成有关排列的问题 如果一个问题是关于排列的问题 那么 我们从以下几点来考虑 1 n个不同元素是指什么 2 m个元素是指什么 3 从n个不同元素中取出m个元素的每一种排列 对应着什么事情 如何判一个具体的问题是不是关于排列的问题 首先看从n个元素中取出的m m n 个元素是否有序 有序才是排列 如从1 2 3中取2个数字组成一个两位数的个数是一个排列问题 12和21不同 如果取出2个数字求他们和的个数就不是一个排列问题 1 2和2 1相同 问题1有5本不同的书 从中选3本送给3名同学 每人各1本 共有多少种不同的送法 问题2有5种不同的书 要买3
3、本送给3名同学 每人各1本 共有多少种不同的送法 解 1 从5本不同的书中选出3本分别送给3名同学 对应于从5个元素中任取3个元素的一个排列 因此不同送法的种数是 所以 共有60种不同的送法 解 2 由于有5种不同的书 每个同学的可以选择其中的任何一种书 因此每人都有5种不同的选择方法 所以送给3名同学每人各1本书的不同方法种数是 5 5 5 125 所以 共有125种不同的送法 例题1 用0到9这10个数字 可以组成多少个没有重复数字的三位数 解法1 直接分步法 所求的三位数的个数是 解法2 直接分类法 例题1 用0到9这10个数字 可以组成多少个没有重复数字的三位数 解法3 排异法 从0到
4、9十个数字取出3个数字的排列数为 其中 以0为开头的数字有个所以 符合条件的3位数字总共有 例题2 某信号兵用红 黄 蓝3面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号 每次可以任意挂1面 2面或3面 并且不同的顺序表示不同的信号 一共可以表示多少种不同的信号 解 1 可以看作 7个元素的全排列 所以 例题3 1 7位同学站成一排 共有多少种不同的排法 2 7位同学站成一排 其中甲站在中间的位置 共有多少种不同的排法 3 7位同学站成一排 其中甲 乙只能站在两端的排法共有多少种 4 7位同学站成一排 其中甲 乙不能站在排头和排尾的排法共有多少种 2 可以看作 余下的6个元素的全排列 所以 3 4 说明
5、1 解排列应用题时 要注意分类计数原理与分步计数原理的运用 2 对于 在 与 不在 的问题 常常使用 直接法 或 排除法 对某些特殊元素可以优先考虑 例题5 排一张有5个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单 1 任何两个舞蹈节目不相邻的排法有多少种 2 歌唱节目与舞蹈节目间隔排列的方法有多少种 练习 1 将1 2 3 4填入标号为1 2 3 4的四个方格里 每格填一个数字 则每个方格的标号与所填的数字均不相同的填法 种 A 6B 9C 11D 232 有5列火车停在某车站并排的五条轨道上 若快车A不能停在第三条轨道上 货车B不能停在第一条轨道上 则五列火车的停车方法有 种 A 78B 72C 1
6、20D 963 由0 1 3 5 7这五个数组成无重复数字的三位数 其中是5的倍数的共有多少个 A 9B 21C 24D 424 从4种蔬菜品种中选出3种 分别种在不同土质的3块土地上进行实验 有 种不同的种植方法 5 9位同学排成三排 每排3人 其中甲不站在前排 乙不站在后排 这样的排法种数共有种 答案1 B 2 A 3 B 4 24 5 166320 6 由数字0 1 2 3 4 1 可组成多少个没有重复数字且比20000大的自然数 2 2不在千位 且4不在十位的五位数有多少个 7 学校要安排一场文艺晚会的11个节目的出场顺序 除第1个节目和最后1个节目已确定外 4个音乐节目要求排在第2
7、5 7 10的位置 3个舞蹈节目要求排在第3 6 9的位置 2个曲艺节目要求排在第4 8的位置 共有多少种不同的排法 8 某产品的加工需要经过5道工序 1 如果其中某一工序不能放在最后加工 有多少种排列加工顺序的方法 2 如果其中某两工序不能放在最前 也不能放在最后 有多少种排列加工顺序的方法 9 一天的课程表有6节课 其中上午4节 下午2节 要排语文 数学 外语 微机 体育 地理六节课 要求上午不排体育 数学必须排在上午 微机必须排在下午 共有多少种不同的排法 答案6 72 64 7 288 8 96 36 9 48 小结 解决排列应用题 常用的思考方法有直接法和间接法 排列问题与元素的位置有关 解排列应用题应从元素或位置出发去分析 结合框图去排列 同时注意分类计数原理与分步计数原理的运用 对于 在 与 不在 的问题 可以对这些特殊元素优先考虑
