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1、 课题 等差数列的前n项和 一 复习知识点 等差数列的通项公式 等差数列的性质 若 则 二 提出问题 如图所示 表示堆放的钢管共8层 自上而下各层的钢管数组成等差数列4 5 6 7 8 9 10 11 求钢管的总数 即求和 想一想 大家能发现什么有趣的算法吗 4 11 5 10 6 9 7 8 15 方法1 注意到 若在这堆钢管旁边堆放着同样一堆钢管 不过此堆钢管的排放顺序和前一堆正好相反 再来观察一下 可以得到什么有趣的结论啊 我们得到了一个奇妙的结论 这两堆钢管构成了一个平行四边形 也即由于 从而得到了 每一层的钢管数都相等 都是15 总共是8层 方法3 通过上述的例子 接下来我们就进入这
2、节课的主题 等差数列的前n项和 现在我们就来推导一下 将各项倒序排列得 两式相加得 又因为可以根据等差数列的性质 若 则 即 的计算公式吧 记为 公式一 又等差数列的通项公式为 将其代入公式一得 等差数列的前n项和的另一个公式 记为 公式二 公式一是基本的 它与梯形面积公式 上底 下底 高 2相类似 这里的上底是 下底是 高是项数n 接下来 我们来看两个例题 1 已知等差数列 解 2 已知等差数列 解 中 求 中 求 注 上两题的求解关键在于我们根据已知条件来选取相应的求和公式 我们再来对公式二的表示式做一下研究 即 若上式中令 则有 记为 公式三 当d不为0时 此式是关于n的二次式且无常数项
3、 由于 则数列 的图象是抛物线 图象上的一群孤立的点 那么由二次函数的性质 我们来研究一下 的最值 有最大值 至于是否在顶点处取得 要看顶点处所对应的横坐标距离它最近的正整数处取得 一般情况下或一 或两个最值 如右图所示 2 当公差d 0即a 0时 3 当公差d 0即a 0时 x y o x 1 1 当公差d 0即a 0时 有最小值 是常数列 若 则它是关于n的一次函数 若 则 0 由此我们可以根据数列前n项和的公式形式来判断一个数列是否是等差数列 如 1 2 不是 是 考虑一下取最值时所对应n的值为多少 三 例题讲评 1 等差数列 10 6 2 2 前多少项的和是54 解 由题意得 即有 得
4、 舍去 答 该等差数列前9项的和是54 2 已知一个等差数列的前10项的和是310 前20项的和是1220 由此可以确定求其前n项和的公式吗 与d 从 解 由题意知 将它们代入公式 得到 与d的方程组 得 分析 将已知条件代入等差数列前n项和的公式后 可得到两个关于 与d的关系式 然后确定 而得到所求前n项和的公式 解这个关于 我们再看看这一题 还有其它的方法来求解吗 不妨利用公式三 用待定系数法即可确定系数 由此可得前项和的公式 解 设 代入公式有 解得 对比两种解法 发现公式的应用是很灵活的 对有些题而言选择适当的公式可以简化求解的计算量 将 思考题 在等差数列 练习 1 已知等差数列 2 已知等差数列 求 小结 此节内容是基础 要能够了解等差数列前n项和三个公式的推导 关键是公式一 它是其后两个公式得出的前提 必须熟记公式来达到灵活应用的能力 中 求 中 求 中
