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1、高二数学选修1-1命题与量词 基本逻辑结构联结词 知识精讲【同步教育信息】一. 本周教学内容：1、选修1-1 1.1命题与量词2、选修1-1 1.2 基本逻辑结构联结词二. 教学目的1、了解命题的定义，能正确地判断全称命题、存在性命题的真假，并会用自然语言和符号语言表示两种命题。2、了解逻辑联结词“且”、“或”、“非”的意义，会联结并会判断“且”、“或”、“非”构成的新命题的真假。三. 教学重点、难点1、重点：（1）了解命题的定义，理解全称量词与存在量词的意义； （2）了解“且”、“或”、“非”的含义，学会用这些逻辑联结词有效的表达相关的数学内容。2、难点：（1）判定一个句子是不是命题、判断全
2、称命题与存在性命题的真假； （2）对“或”的含义的理解及对命题的否定。四. 知识分析（一）命题1、命题的定义：能判断真假的语句叫做命题，其实质是可判断真假的陈述句。例如：（1）所有无理数都是实数；（2）函数y=2x+1是单调增函数；（3）空间内垂直于同一条直线的两条直线平行。这些语句都可以判断真假，所以都是命题，其中（1）、（2）是真命题，（3）是假命题。几点说明：（1）要判断句子是否是命题。首先，要看给出的句子的句型，一般地，疑问句、祈使句、感叹句都不是命题其次，要看能不能判断其真假，也就是判断其是否成立。不能判断真假的语句，就不能叫命题。例如“这是一棵大树”、“”、“今天会下雨吗？”都不能
3、叫命题。由于“大树”没有界定，就不能判断“这是一棵大树”的真假。由于x是未知数，也不能判断“”是否成立。值得注意的是，在数学或其他科学技术中的一些猜想仍是命题。例如著名的哥德巴赫猜想，虽然目前还不能确定这些语句的真假，但是随着科学技术的发展和时间的推移，总能确定它们的真假，所以人们把这一类猜想仍算为命题。（2）还有一种语句，如“x5”、“x21=0”等，语句中含有变量x或y，在没有给定这些变量的值之前，是无法确定语句的真假的。这种含有变量的语句叫做开语句（条件命题）。开语句不是命题。2、一个命题，一般可用一个小写英文字母表示，如：p，q，r，3、判断为正确的命题叫做真命题，判断为不正确的命题叫
4、做假命题 （二）量词：1、全称量词与全称命题。在数学中经常会见到一些含有变量x的语句，如x2-1=0,5x-1是整数等，可用符号p（x）、q（x）表示，由于不知道x代表什么数，无法判断它们的真假，因而不是命题，然而，当赋予变量x某个值或一定条件时，这些含有变量的语句又可以变成可判定真假的语句，从而成为命题.例如p（x）：x2-1=0，不是命题，但如果加上“对所有整数x”的条件，又可以得到p：对所有整数x，x2-1=0,这是一个假命题。 这里的短语“所有”在陈述中表示所述事物的全体，逻辑中通常叫做全称量词，含有全称量词的命题叫做全称命题。全称量词通常用符号“”表示。 一般地，设p（x）是某集合M
5、的所有元素都具有的性质，那么全称命题就可以记作：。 说明：（1）与“所有”等价的说法有：“一切”“每一个”“任一个”等。由于自然语言的不同，同一个全称命题可以有不同的表述方法。注意：有时省去全称量词，仍为全称命题。例如：“正方形都是矩形”，省去了全称量词“所有”。因此，要结合具体问题做出正确的判断。（2）判断一个全称命题为真命题，必须对限定集合中的每一个元素x验证p（x）成立，一般用代数推理给出证明。如果一个全称命题为真命题，那么给出的限定集合中的每一个元素x都具有性质p（x）。如果判断全称命题是假命题，只要存在一个x0 不满足p（x）就可以了。2、存在量词与存在性命题。短语“有一个”、“有些
6、”、“至少有一个”在陈述中表示所述事物的个体或部分，逻辑中通常叫做存在量词，用符号“”表示，含有存在量词的命题叫做存在性命题。 一般地，设q（x）是某集合M的有些元素x具有的性质，那么存在性命题就可以记作：。 说明：（1）由于自然语言的不同，同一个存在性命题可以有不同的表述方法，要学会用符号语言表示存在性命题。（2）要判断一个存在性命题为真，只要在限定集合M中，找到一个x= xo，使p（xo）成立即可；如果要证明存在性命题为假，就要证明在限定集合M中的每一个x，使p（x）不成立。（三）基本逻辑联结词1、“且”：逻辑联结词“且”与自然语言中的“并且”、“及”、“和”相当，用“且”把两个命题p和q
7、联结起来，就得到一个新命题，记作：，读作“p且q”。说明：（1）由“且”的含义，我们可以用“且”来定义集合A与集合B的交集： （2）的真假我们可以利用下表来判断pq真真真真假假假真假假假假 2、“或”：逻辑联结词“或”与自然语言中的“或者”相当，用“或”把两个命题p和q联结起来，就得到一个新命题，记作：，读作“p或q”。说明：（1）由“或”的含义，我们可以用“或”来定义集合A与集合B的并集： （2）的真假我们可以参考下表 pq真真真真假真假真真假假假 3、“非”：也称为“否定”，它的意义是由日常语言的“不是”、“全盘否定”、“问题的反面”等抽象出来的。一般地，对命题加以否定，就得到一个新命题，
8、记作，读作“非p”或“p的否定”。 说明：（1）由“非”的含义，我们可以用“非”来定义集合A在集合U中的补集： （2）的真假可用下表来判断 p真假假真 （3）对存在性命题的否定：存在性命题，它的否定是： （4）对全称命题的否定：全称命题 ，它的否定是 【典型例题】例1、判断下列语句是否是命题，若是，判断其真假。（1）求证是无理数；（2）；（3）你是高二的学生吗？（4）一个正整数不是质数就是合数；（5）若。解析：（1）祈使句，不是命题；（2）是开语句，不是命题；（3）疑问句，不是命题；（4）是命题，假命题，因为1即不是质数也不是合数；（5）是真命题，因为是恒成立的。点评：判断一个语句是不是命题，
9、关键在于能否判断真假。一般地，祈使句、疑问句、感叹句都不是命题，含有变量的开语句也不是命题。例2、指出下列命题是全称命题还是存在性命题，并用符号语言表示出来（1）存在实数（2）对于实数（3）有些实数x，使得。解析：（1）存在性命题，用符号表示为：；（2）全称命题，用符号表示为：（3）存在性命题，用符号表示为：点评：利用全称命题和存在性命题的定义来判断，要注意符号语言的运用。 例3、用“且”、“或”将下列命题联结成新命题，并判断命题的真假。 （1）p：2是偶数，q：2是质数； （2）p：2+2=5， q：32； （3）p：23, q：8+5。解析：（1）：2是偶数且是质数，真命题； ：2是偶数或
10、质数，真命题； （2）：2+2=5且32,假命题； ：2+2=5或32，真命题； （3）：23且8+513，假命题； ：23或8+513，假命题。点评：只有两个命题都是真命题时，才是真命题；只有两个命题都是假命题时 才是假命题。例4、写出下列命题的否定 （1）所有的有理数是实数； （2）有的三角形是直角三角形； （3）每个二次函数的图像都与y轴相交； （4）解析：（1）存在一个有理数不是实数；（2）所有的三角形都不是直角三角形；（3）存在一个二次函数的图像与y轴不相交；（4）点评：否定存在性命题时，将存在量词变为全称量词，再否定它的性质；否定全称命题时，将全称量词变为存在量词，再否定它的性质。
11、【模拟试题】一、选择题 1、下列语句中是命题的个数为 （ ）（1）空集是任何集合的真子集；（2）x2-3x-4=0；（3）3x-20； （4）把门关上；（5）垂直于同一条直线的两条直线必平行吗？（6）自然数是偶数。A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2、下列命题为真命题的是 （ ） A. B. 如果x2，那么x1 C. D. 3、“”是指 （ ）A. B. C. x，y中至少一个不为0 D. 不都是04、已知p是真命题，q是假命题，下列新命题中为真命题的是 （ ） A. B. C. D. 5、已知全集若命题，则命题“”是（ ）A. B. C. D. 6、已知命题（为锐角），命题任意
12、抛硬币两次，出现正面向上是必然事件，下列命题中为真命题的是 （ ）A. B. C. D. 二、填空题：7、若命题“且”与“”都是假命题，则命题是_命题。8、用“”、“”、“”填空，命题是_形式，命题“奇数的平方不是偶数”是_形式。9、开语句则命题“”可写为_。10、若命题有一个素数含有三个正因数，则为_。11、已知命题：不等式的解集为R，命题q：不等式的解集为，则命题“”、“”、“”、“”中真命题是_。12、下列命题中，是全称命题的是_。（1）正方形的四条边相等；（2）所有两个角是450 的三角形是等腰直角三角形；（3）正数的平方不等于0；（4）至少有一个正数是偶数；（5）所有正数都是实数吗？
13、三、解答题：13、用量词“”、“”表示下列命题： （1）凸边形的外角和等于；（2）有些三角形是钝角三角形；（3）0不能做除数。14、写出下列命题的非（否定）：（1）满足条件C的点都在直线上； （2）线段AB与线段CD平行且相等；（3）设集合是质数，参考答案http:/www.DearEDU.com一、选择题16 BDADDC二、填空题7、假；8 、，；9、；10、所有素数不含有三个因数；11、；12、（1）（2）（3）三、解答题13、（1）是凸n边形，的内角和为；（2）三角形，钝角三角形；（3），0不能做除数。14、（1）存在满足条件的点，不在直线上；（2）线段AB与CD不平行或不相等；（3）是质数，。用心 爱心 专心 119号编辑 7
