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1、第八章直线和圆的方程高考导航考试要求 重难点击命题展望1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素.2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率的计算公式.3.能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直.4.掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系.5.掌握用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.6.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行线间的距离.7.掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程.8.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系.9.能用直线和圆的方
2、程解决简单的问题.10.初步了解用代数方法处理几何问题的思想.11.了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标表示点的位置，会推导空间两点间的距离公式.本章重点：1.倾斜角和斜率的概念；2.根据斜率判定两条直线平行与垂直；3.直线的点斜式方程、一般式方程；4.两条直线的交点坐标；5.点到直线的距离和两条平行直线间的距离的求法；6.圆的标准方程与一般方程；7.能根据给定直线，圆的方程，判断直线与圆的位置关系；8.运用数形结合的思想和代数方法解决几何问题.本章难点：1.直线的斜率与它的倾斜角之间的关系；2.根据斜率判定两条直线的位置关系；3.直线方程的应用；4.点到直线的距离公式的推导；5.圆的方程的应
3、用；6.直线与圆的方程的综合应用.本章内容常常与不等式、函数、向量、圆锥曲线等知识结合起来考查.直线和圆的考查，一般以选择题、填空题的形式出现，属于容易题和中档题；如果和圆锥曲线一起考查，难度比较大.同时，对空间直角坐标系的考查难度不大，一般为选择题或者填空题.本章知识点的考查侧重考学生的综合分析问题、解决问题的能力，以及函数思想和数形结合的能力等.知识网络8.1直线与方程典例精析题型一直线的倾斜角【例1】直线2xcos y30，的倾斜角的变化范围是()A.， B.， C.， D.，【解析】直线2xcos y30的斜率k2cos ，由于，所以cos ，k2cos 1，.设直线的倾斜角为，则有t
4、an 1，由于0，)，所以，即倾斜角的变化范围是，故选B.【点拨】利用斜率求倾斜角时，要注意倾斜角的范围.【变式训练1】已知M(2m3，m)，N(m2,1)，当m时，直线MN的倾斜角为锐角；当m时，直线MN的倾斜角为直角；当m时，直线MN的倾斜角为钝角.【解析】直线MN的倾斜角为锐角时，k0m5或m1；直线MN的倾斜角为直角时，2m3m2m5；直线MN的倾斜角为钝角时，k05m1.题型二直线的斜率【例2】已知A(1，5)，B(3，2)，直线l的倾斜角是直线AB的倾斜角的2倍，求直线l的斜率.【解析】由于A(1，5)，B(3，2)，所以kAB，设直线AB的倾斜角为，则tan ，l的倾斜角为2，t
5、an 2.所以直线l的斜率为.【点拨】直线的倾斜角和斜率是最重要的两个概念，应熟练地掌握这两个概念，扎实地记住计算公式，倾斜角往往会和三角函数的有关知识联系在一起.【变式训练2】设是直线l的倾斜角，且有sin cos ，则直线l的斜率为()A.B.C. D.或【解析】选C.sin cos sin cos 0sin ，cos 或cos ，sin (舍去)，故直线l的斜率ktan .题型三直线的方程【例3】求满足下列条件的直线方程.(1)直线过点(3,2)，且在两坐标轴上截距相等；(2)直线过点(2,1)，且原点到直线的距离为2.【解析】(1)当截距为0时，直线过原点，直线方程是2x3y0；当截距
6、不为0时，设方程为1，把(3,2)代入，得a5，直线方程为xy50.故所求直线方程为2x3y0或xy50.(2)当斜率不存在时，直线方程x20合题意；当斜率存在时，则设直线方程为y1k(x2)，即kxy12k0，所以2，解得k，方程为3x4y100.故所求直线方程为x20或3x4y100.【点拨】截距可以为0，斜率也可以不存在，故均需分情况讨论.【变式训练3】求经过点P(3，4)，且横、纵截距互为相反数的直线方程.【解析】当横、纵截距都是0时，设直线的方程为ykx.因为直线过点P(3，4)，所以43k，得k.此时直线方程为yx.当横、纵截距都不是0时，设直线的方程为1，因为直线过点P(3，4)
7、，所以a347.此时方程为xy70.综上，所求直线方程为4x3y0或xy70.题型四直线方程与最值问题【例4】过点P(2,1)作直线l分别交x、y轴的正半轴于A、B两点，点O为坐标原点，当ABO的面积最小时，求直线l的方程.【解析】方法一：设直线方程为1(a0，b0)，由于点P在直线上，所以1.()2，当时，即a4，b2时，取最大值，即SAOBab取最小值4，所求的直线方程为1，即x2y40.方法二：设直线方程为y1k(x2)(k0)，直线与x轴的交点为A(，0)，直线与y轴的交点为B(0，2k1)，由题意知2k10，k0,12k0.SAOB(12k) ()(4k)4244.当4k，即k时，S
8、AOB有最小值，所求的直线方程为y1(x2)，即x2y40.【点拨】求直线方程，若已知直线过定点，一般考虑点斜式；若已知直线过两点，一般考虑两点式；若已知直线与两坐标轴相交，一般考虑截距式；若已知一条非具体的直线，一般考虑一般式.【变式训练4】已知直线l：mx(m21)y4m(mR).求直线l的斜率的取值范围.【解析】由直线l的方程得其斜率k.若m0，则k0；若m0，则k，所以0k；若m0，则k，所以k0.综上，k.总结提高1.求斜率一般有两种类型：其一，已知直线上两点，根据k求斜率；其二，已知倾斜角或的三角函数值，根据ktan 求斜率，但要注意斜率不存在时的情形.2.求倾斜角时，要注意直线倾
9、斜角的范围是0，).3.求直线方程时，应根据题目条件，选择合适的直线方程形式，从而使求解过程简单明确.设直线方程的截距式，应注意是否漏掉过原点的直线；设直线方程的点斜式时，应注意是否漏掉斜率不存在的直线.8.2两条直线的位置关系典例精析题型一两直线的交点【例1】若三条直线l1：2xy30，l2：3xy20和l3：axy0不能构成三角形，求a的值.【解析】l3l1时，a2a2；l3l2时，a3a3；由将(1，1)代入axy0a1.综上，a1或a2或a3时，l1、l2、l3不能构成三角形.【点拨】三条直线至少有两条平行时或三条直线相交于一点时不能构成三角形.【变式训练1】已知两条直线l1：a1xb
10、1y10和l2：a2xb2y10的交点为P(2,3)，则过A(a1，b1)，B(a2，b2)的直线方程是.【解析】由P(2,3)为l1和l2的交点得故A(a1，b1)，B(a2，b2)的坐标满足方程2x3y10，即直线2x3y10必过A(a1，b1)，B(a2，b2)两点.题型二两直线位置关系的判断【例2】已知两条直线l1：axby40和l2：(a1)xyb0，求满足下列条件的a，b的值.(1)l1l2，且l1过点(3，1)；(2)l1l2，且坐标原点到两条直线的距离相等.【解析】(1)由已知可得l2的斜率存在，所以k21a，若k20，则1a0，即a1.因为l1l2，直线l1的斜率k1必不存在
11、，即b0，又l1过点(3，1)，所以3ab40，而a1，b0代入上式不成立，所以k20.因为k20，即k1，k2都存在，因为k21a，k1，l1l2， 所以k1k21，即(1a)1，又l1过点(3，1)，所以3ab40，联立上述两个方程可解得a2，b2.(2)因为l2的斜率存在，又l1l2，所以k1k2，即(1a)，因为坐标原点到这两条直线的距离相等，且l1l2，所以 l1，l2在y轴的截距互为相反数，即b，联立上述方程解得a2，b2或a，b2，所以a，b的值分别为2和2或和2.【点拨】运用直线的斜截式ykxb时，要特别注意直线斜率不存在时的特殊情况.求解两条直线平行或垂直有关问题时，主要是利
12、用直线平行和垂直的充要条件，即“斜率相等”或“斜率互为负倒数”.【变式训练2】如图，在平面直角坐标系xOy中，设三角形ABC的顶点分别为A(0，a)，B(b,0)，C(c,0).点P(0，p)是线段AO上的一点(异于端点)，这里a，b，c，p均为非零实数，设直线BP，CP分别与边AC，AB交于点E，F，某同学已正确求得直线OE的方程为()x()y0，则直线OF的方程为.【解析】由截距式可得直线AB：1，直线CP：1，两式相减得()x()y0，显然直线AB与CP的交点F满足此方程，又原点O也满足此方程，故所求直线OF的方程为()x()y0.题型三点到直线的距离【例3】已知ABC中，A(1,1)，
13、B(4,2)，C(m，)(1m4)，当ABC的面积S最大时，求m的值.【解析】因为A(1,1)，B(4,2)，所以|AB|，又因为直线AB的方程为x3y20，则点C(m，)到直线AB的距离即为ABC的高，设高为h，则h，S|AB|h|m32|，令t，则1t2，所以S|m32|t23t2|(t)2|，由图象可知，当t时，S有最大值，此时，所以m.【点拨】运用点到直线的距离时，直线方程要化为一般形式.求最值可转化为代数问题，用处理代数问题的方法解决.【变式训练3】若动点P1(x1，y1)与P2(x2，y2)分别在直线l1：xy50，l2：xy150上移动，求P1P2的中点P到原点的距离的最小值.【解析】方法一：因为P1、P2分别在直线l1和l2上，所以()2，得100，所以P1P2的中点P(，)在直线xy100上，点P到原点的最小距离就是原点到直线xy100的距离d5.所以，点P到原点的最小距离为5.方法二：设l为夹在直线l1和l2之间且和l1与l2的距离相等的直线.令l：xyc0，则5c15，且，解得c10.所以l的方程为xy100.由题意知，P1P2的中点P在直线l上，点P到原点的最小距离就是原点到直线l的距离d5，所以点P
