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1、高一数学暑期专题辅导材料 第一章集合与简易逻辑六http:/www.DearEDU.com一、教学进度 第一章 集合与简易逻辑1.6 逻辑联结词 1.7 四种命题 1.8 充分条件与必要条件 二、教学内容 (1)能用逻辑联结词和简单命题构成不同形式的复合命题;(2)能识别复合命题中所用的逻辑联结词及其联结的简单命题;(3)理解四种命题之间的相互关系,能由原命题写出其他三种形式;(4)通过对四种命题之间关系的学习,培养学生逻辑推理能力;(5)正确理解充分条件、必要条件和充要条件的概念; (6)能正确判断是充分条件、必要条件还是充要条件; 三、重点、难点选讲 1、命题与逻辑联结词 (1)所谓命题,
2、是指能够判断其真假的语句,因此疑问句、祈使句都不是命题. (2)若一个命题是正确的,该命题叫真命题;若一个命题不正确,该命题叫假命题.由命题的概念,一个命题不是真命题就是假命题。 (3)由简单命题用逻辑联结词“或”、“且”、“非”联结起来组成的命题叫复合命题.若用小写字母p、q表示命题,则复合命题的基本形式是“p或q”,“ p且q”以及“ 非p”. (4)逻辑联结词“或”可以与集合中的“并”相联系,A.逻辑联结词“且”可以与集合中的“交”相联系,A。逻辑联结词“非”,可以与集合中的“补”相联系, u. 例1:判断下列语句是否是命题?若是命题,请判断其真假. (1)台湾是中国领土不可分割的一部分
3、; (2); (3)证明:平行四边形的四边平方和等于对角线的平方和; (4)三角形两边之和等于第三边. 解:(1)它是作出判断的语句,所以是命题,且是真命题. (2)因语句中字母x的值不确定,所以这个不等式不能判断是否成立,该语句不是命题. (3)它是祈使句,没有作出判断,不是命题. (4)它是作出判断的语句,是命题,且是假命题. 评析:第(2)题的语句中含有变量x,当x不确定时无法判断这个命题的真假,这种语句也叫“开语句”,如:“”也是开语句. 例2:指出下列复合命题的形式以及构成它们的简单命题是什么.(1)6是18和24的公因数;(2)x(A; (3) 矩形的对角线相等且互相平分; (4)
4、方程 解(1)该命题是“p且q”的形式,p:6是18的因数,q:6是24的因数. (2)该命题是“非p”的形式,p: (3)该命题是是“p且q”的形式,p:矩形的对角线相等,q:矩形的对角线互相平分. (4)该命题是“p或q”的形式,p:xq: 2、真值表(1)一个简单命题的真假易于判断,但一个复合命题的真假不一定容易判断,真值表是判断复合命题真假的有力工具。 (2)对一个复合命题,如果能把它分解成一个或几个简单命题及逻辑联结词,只要逐一判断简单命题的真假,就可以很容易用真值表判断这个复合命题的真假. (3)真值表中,“非p”形式的复合命题的真假与p相反;“p且q”形式的复合命题,当且仅当p、
5、q都为真时为真,其余情况均为假;“p或q”形式的复合命题,当且仅当p、q都为假时为假,其余情况都为真. 例3:对于简单命题p、q的下列几种情况列出“非p”,“非q”,“p且q”,“p或q”的真值表:(1)p真,q真; (2)p真,q假;(3)p假,q真; (4)p假,q假. 解:列表如下:题号pq非p非qP且qP或q(1)真真假假真真(2)真假假真假真(3)假真真假假真(4)假假真真假假 例4 若用“1”表示“真”,用“0”表示“假”,对于命题p和q的下列几种情况列出命题“p或q”,“非(p或q)”,“(非p)且(非q)”,“非(非p)”的真值表:(1)p真,q真; (2)p真,q假;(3)p
6、假,q真; (4)p假,q假.题号pqp或q非(p或q)非p非q(非P)且(非q)非(非p)(1)11100001(2)10100101(3)01101000(4)00011110 评析:由表中可以看出,“非(p或q)”与“(非p)且(非q)”的真值相同,“非(非p)”与“p”的真值相同. 例5 (1)如果命题“p且q”是真命题,判断命题“(非p)或(非q)”的真假; (2)如果命题“p且q”是假命题,判断命题“(非p)或(非q)”的真假. 解 (1)若命题“p且q”是真命题,由真值表知,命题p和q都是真命题,因此“非p”、“非q”都是假命题,所以命题“(非p)或(非q)”是假命题. (2)若
7、命题“p且q”是假命题,由真值表知有三种情况可能出现: p真,q假,这时“非p”为假,“非q”为真,因此“(非p)或(非q)”为真. p假,q真,这时“非p”为真,“非q”为假,因此“(非p)或(非q)”为真. p假,q假,这时“非p”为真,“非q”为真,因此“(非p)或(非q)”为真. 综上可知,“(非p)或(非q)”为真评析:由本题可见,命题“非(p且q)”与“(非p)或(非q)”的真值相同. 3四种命题 (1)在初中学习原命题和逆命题的基础上,引进了否命题和逆命题的概念。 (2)将一个命题采用交换命题的条件和结论,同时否定命题的条件和结论;同时否定和交换命题的条件和结论,分别产生了原命题
8、的逆命题,否命题和逆否命题。如果原命题为“若p则q”,则逆命题为“若q则p”,否命题为“若 p 则 q”,逆否命题为“若 q 则 p”.(3)在四种命题之间关系的图示中,要理解其中互逆,互否,互为逆否的含意.原命题与逆否命题等价,逆命题与否命题等价. 例6 分别写出下列命题的否定形式及命题的否命题,并判断它们的真假. (1)如果两个三角形全等,那么它们的面积相等; (2)数字和能被3整除的整数能被3整除; (3)自然数的平方不都是正数. 解 (1)否定形式:如果两个三角形全等,那么它们的面积不相等,是假命题. 否命题:如果两个三角形不全等,那么它们的面积不相等,是假命题. (2)否定形式,数字
9、和能被3整除的整数不能被3整除,是假命题. 否命题:数字和不能被3整除的整数不能被3整除,是真命题. (3)否定形式:所有自然数的平方都是正数,假命题. 否命题:有些自然数的平方是正数,真命题. 评析:(1)命题的否定形式与否命题是两个不同的概念,若原命题为“pq”则命题的否定形式是“pq”,而否命题是“pq”. (2)要熟悉一些常用语言的否定形式:语言是都是相等大于()所有至少有n个能一定否定形式不是不都是不相等不大于()有些至多有n-1个不能不一定例7 写出命题“直角均相等”的逆命题,否命题,逆否命题,并判断其真假.解 原命题可改写为“如果两个角都是直角,那么这两个角相等”,是真命题.逆命
10、题:如果两个角相等,那么这两个角都是直角,是假命题.否命题:如果两个角不都是直角,那么这两个角不相等,是假命题.逆否命题:如果两个角不相等,那么这两个角不都是直角,是真命题.评析:有些命题不是很明显的pq的形式,在写它的逆命题,否命题,逆否命题之前,应先将它改写为条件,结论的形式.例8 已知原命题如下,分别写出它们的逆命题,否命题和逆否命题,并判断它们的真假.(1) 若则 (2)若则或或.解 (1)逆命题:若则且是假命题. 否命题:若或是假命题. 逆否命题:若是真命题. (2)逆命题:若是真命题. 否命题:若是真命题. 逆否命题;若是真命题.评析:(1)原命题的条件“”的命题结构是“p且q”的
11、形式,它的否定是“p或q”,而不是“p且q”. (2)原命题的结论是“p或q或r”的形式,它的否定是“p且q且r”,而不是“p或q或r”.4充分条件和必要条件充分条件和必要条件是十分重要的数学概念,必须准确理解“充分”、“必要”的涵义.与之间的因果关系有四种情况:,且,称是的充分不必要条件;,且,称是的必要不充分条件;,且,称是的充分必要条件;,且,称是的既不充分又不必要条件.是的充分条件即,可以从字面上理解为“若真则充分保证也为真”, 是的必要条件即,可以从字面上理解为“若要真,必须要真”.当时,既可以称是的充分条件,也可说成“的充分条件是”. 当时,既可以称是的必要条件,也可说成“的必要条
12、件是”. 例9 指出下列各题中是的什么条件(指“充分不必要条件”,“必要不充分条件”,“充要条件”,或“既不充分又不必要条件”): (1):抛物线经过点A(1,0), :; (2):为偶数,且为偶数, :为偶数; (3):, : ; (4):, :; (5) :, 或 , :. 解:(1)若真,即,故. 若真,即,则,抛物线 经过点A(1,0),故. 是的充要条件. (2)若真,即为偶,且为偶数,则为偶数,故. 若真, 即为偶数,则、可能都是奇数,因此. 是的充分不必要条件. (3)若真,即,则,为或,故, . 是的既非充分又非必要条件. (4)显然,(当,时,),又若真,即 ,则,且,故真,. 是的必要不充分条件. (5)解方程 是增根,: . 若真,即“或”不一定有,. 若真, 即,则“或”必真,. 是的必要不充分条件. 评析:判断是的什么条件,应从和能否成立两个方面进行考虑. 例10 指出下列各题中,是的什么条件(指“