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1、2 1曲线和方程 2 1 1曲线和方程 主要内容 曲线和方程的概念 意义及曲线和方程的两个基本问题重点和难点 曲线和方程的概念 曲线和方程之间有什么对应关系呢 温故知新 1 研究直线和圆的基本方法是什么 这种方法的思路是怎样的 2 直线的方程与方程的直线 坐标法 借助坐标系 把点与坐标 曲线与方程联系起来 再通过方程研究曲线的几何性质 1 以一个方程的解为坐标的点都在这条直线上 2 这条直线上所有点的坐标都是这个方程的解 求第一 三象限里两轴间夹角平分线的坐标满足的关系 点的横坐标与纵坐标相等 x y 或x y 0 第一 三象限角平分线 得出关系 2 以方程x y 0的解为坐标的点都在上 曲线
2、 条件 方程 分析特例归纳定义1 直线l与方程y x的关系 1 l上任意一点M x0 y0 的坐标都是方程y x的解 2 以方程y x的解 x0 y0 为坐标的点都在l上 即 直线l上的点与方程y x的解之间是一一对应的 到原点的距离等于5 x2 y2 25 以原点为圆心 5为半径的圆 曲线 条件 方程 分析特例归纳定义2 满足关系 满足关系 分析特例归纳定义 给定曲线C与二元方程F x y 0 若满足 1 曲线上的点坐标都是这个方程的解 2 以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点那么这个方程F x y 0叫做这条曲线C的方程 这条曲线C叫做这个方程的曲线 分析特例归纳定义 曲线的方程 方程的
3、曲线 定义 2 两者间的关系 点在曲线上 点的坐标适合于此曲线的方程 即 曲线上所有点的集合与此曲线的方程的解集能够一一对应 分析特例归纳定义 1 说明过A 2 0 平行于y轴的直线与方程 x 2的关系 直线上的点的坐标都满足方程 x 2 满足方程 x 2的点不一定在直线上 结论 过A 2 0 平行于y轴的直线的方程不是 x 2 思考 过点A 2 0 平行于y轴的直线l的方程是 x 2吗 为什么 到y轴距离等于2的点的轨迹方程是x 2吗 2 已知曲线C的方程为y x2 2x 4 问点A 3 1 B 2 4 C 1 3 是否在曲线C上 如何判断 说明 1 概念是判断曲线的方程与方程的曲线的依据
4、在概念中 两个关系必须同时成立 缺一不可 即曲线上的点与方程的解是一一对应的 2 如果曲线C的方程是F x y 0 则M x0 y0 CF x0 y0 0 曲线C用集合的特征性质描述法 可以描述为 明察秋毫 如果曲线C上的点坐标 x y 都是方程F x y 0的解 那么 A 以方程F x y 0的解为坐标的点都在曲线C上 B 以方程F x y 0的解为坐标的点 有些不在曲线上 C 不在曲线C上的点的坐标都不是方程F x y 0的解 D 坐标不满足F x y 0的点不在曲线C上 D 例3 如果曲线C上的点坐标 x y 都是方程F x y 0的解 那么 A 以方程F x y 0的解为坐标的点都在曲
5、线C上 B 以方程F x y 0的解为坐标的点 有些不在曲线上 C 不在曲线C上的点的坐标都不是方程F x y 0的解 D 坐标不满足F x y 0的点不在曲线C上 D 判断正误 已知坐标满足方程F x y 0的点都在曲线C上 1 若点M x y 的坐标是方程F x y 0的解 则点M在曲线上 2 曲线C上的点的坐标都满足方程F x y 0 3 凡是坐标不满足方程F x y 0的点都不在曲线C上 4 不在曲线C上的点的坐标不一定不满足方程F x y 0 判断下列结论的正误并说明理由 1 过点A 3 0 且垂直于x轴的直线为x 3 2 到两坐标轴距离乘积等于1的点的轨迹方程为 xy 1 3 已知
6、定点A 1 0 B 1 0 使 AMB为指教的点M的轨迹方程是x2 y2 1 对 对 错 学习例题巩固定义 例2判断下列各方程是对应曲线的方程吗 若不是 请说明理由 1 曲线 到两条坐标轴距离相等的点的轨迹 方程 x y 0 2 曲线 等腰三角形ABC的底边BC的中线 方程 x 0 对号入座 曲线 方程 横纵坐标相等的点的轨迹到两坐标轴距离相等的点的轨迹第一 二象限的角平分线 y x y x y x 学习例题巩固定义 分析思路 1 证明表示一个圆 复习学过的圆的表示形式 2 证明此圆过两个圆的交点 学习例题巩固定义 证明 方程 可以变形为 因为方程 中等号右端大于0 所以它是一个圆的方程 两圆
7、交点的坐标满足两已知圆的方程 当然也满足方程 因此方程 表示的圆通过两圆的交点 思考与讨论 下列各题中 图3表示的曲线方程是所列出的方程吗 如果不是 不符合定义中的关系 还是关系 1 曲线C为过点A 1 1 B 1 1 的折线 方程为 x y x y 0 2 曲线C是顶点在原点的抛物线 方程为x 0 3 曲线C是 象限内到X轴 Y轴的距离乘积为1的点集 方程为y 图3 例4 证明与两坐标轴的距离的积是常数k k 0 的点的轨迹方程是 例5 判断方程 x 1 y 1 1所表示的曲线形状 第一步 设M x0 y0 是曲线C上任一点 证明 x0 y0 是f x y 0的解 归纳 证明已知曲线的方程的方法和步骤 第二步 设 x0 y0 是f x y 0的解 证明点M x0 y0 在曲线C上 在轨迹的基础上将轨迹和条件化为曲线和方程 当说某方程是曲线的方程或某曲线是方程的曲线时就意味着具备上述两个条件 只有具备上述两个方面的要求 才能将曲线的研究化为方程的研究 几何问题化为代数问题 以数助形正是解析几何的思想 本节课正是这一思想的基础 小结 曲线与方程的概念及其简单应用 数形结合的思想方法 由特殊到一般的归纳方法 小结
