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1、高考数学复习专题八 直线、平面、简单几何体【考点聚焦】考点1：空间两条直线的位置关系.考点2：直线与平面平行与垂直.考点3：两平面平行与垂直.考点4：空间角与距离.考点5：棱柱的概念与性质.考点6：棱锥的概念，正棱锥的性质.考点7：球的概念、性质.考点8：异面直线间的距离、多面体的欧拉公式、简单几何体的面积和体积.【自我检测】1、平面的基本性质：公理1：.公理2：.公理3：.推论1：.推论2：.推论3：.2、叫做异面直线.判断异面直线的方法有、.3、平行与垂直的判断（叙述定理的内容）：直线与直线直线与平面平面与平面平行1、定义2、公理43、线面平行性质定理4、线面垂直性质定理5、面面平行性质定
2、理1、定义2、判定定理3、面面平行性质定理1、定义2、判定定理及推论3、线面垂直性质定理垂直1、定义2、线面垂直性质定理3、三垂线定理及逆定理1、定义2、判定定理1、23、面面垂直性质定理4、面面平行性质定理1、定义2、判定定理4、空间中的角异面直线直线与平面平面与平面角1、定义：2、范围：3、求法：1、定义：2、范围：3、求法：1、定义：2、范围：3、求法：5、空间中的距离空间中的八种距离：两点间距离、点到直线距离、点到平面距离、平行直线间的距离、异面直线间距离、直线到平面距离、两平行平面间的距离、球面上两点间距离.【重点难点热点】问题1：位置关系的判断根据概念、性质和定理进行判断，认定是正
3、确的，要能证明；认定上不正确的，只需举反例.注意作图辅助说明.例1设、为两两不重合的平面，l、m、n为两两不重合的直线给出下列四个命题：若，则；若m，n，m，n，则；若，l，则l；若=l，=m，=n，l，则mn其中真命题个数是 （ ）A1 B2 C3 D4思路分析：根据面面平行的判定和性质定理来判断.解：显然不对；要保证m、n相交才有，此选项不对；由面面平行性质定理可知对；l，=m，l，lm，又m，l，又=l且l，ln从而lmn，故对最后应选B点评：本题主要考查空间想象能力，判定定理、性质定理的理解与掌握及简单的推理论证能力演变1：已知m、n是两条不重合的直线，、是三个两两不重合的平面给出下列
4、的四个命题：若，则；若，则；若，则；若m、n是异面直线，则，其中真命题是 .和.和.和.和点拨与提示：解立几推断题应联系具体图形以及相关定理解决问题2：证明空间线面平行与垂直由已知想性质，由求证想判定，即分析法与综合法相结合寻找证明思路.例1：如图, 在直三棱柱ABCA1B1C1中，AC3，BC4，AA14，点D是AB的中点， （I）求证：ACBC1； （II）求证：AC 1/平面CDB1；思路分析：（1）证明线线垂直方法有两类：一是通过三垂线定理或逆定理证明，二是通过线面垂直来证明线线垂直；（2）证明线面平行也有两类：一是通过线线平行得到线面平行，二是通过面面平行得到线面平行.解法一：（I）
5、直三棱柱ABCA1B1C1，底面三边长AC=3，BC=4AB=5， ACBC，且BC1在平面ABC内的射影为BC， ACBC1；（II）设CB1与C1B的交点为E，连结DE， D是AB的中点，E是BC1的中点， DE/AC1，ABCA1B1C1Exyz DE平面CDB1，AC1平面CDB1， AC1/平面CDB1；解法二：直三棱柱ABCA1B1C1底面三边长AC3，BC4，AB5，AC、BC、C1C两两垂直，如图，以C为坐标原点，直线CA、CB、C1C分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则C（0,0，0），A（3,0，0），C1（0,0，4），B（0,4，0），B1（0,4，4），D（
6、，2,0）（1）（3,0，0），（0，4,0），0，ACBC1.（2）设CB1与C1B的交战为E，则E（0,2，2）.（，0,2），（3,0，4），DEAC1.点评：转化转化2平行问题的转化：面面平行线面平行线线平行；主要依据是有关定义及判定定理和性质定理演变2：如图，在斜三棱柱中，侧面与底面ABC所成的二面角为，E、F分别是棱的中点（）求与底面ABC所成的角；（）证明平面点拨与提示：例2在斜三棱柱A1B1C1ABC中，底面是等腰三角形，AB=AC，侧面BB1C1C底面ABC (1)若D是BC的中点，求证 ADCC1；(2)过侧面BB1C1C的对角线BC1的平面交侧棱于M，若AM=MA1，求证
7、 截面MBC1侧面BB1C1C；思路分析：（1）线面垂直线线垂直；（2）利用面面垂直的判断定理证明面面垂直. 证明 (1) AB=AC，D是BC的中点，ADBC底面ABC平面BB1C1C，AD侧面BB1C1C，ADCC1 (2) 延长B1A1与BM交于N，连结C1N，AM=MA1，NA1=A1B1，A1B1=A1C1，A1C1=A1N=A1B1， C1NC1B1，底面NB1C1侧面BB1C1C，C1N侧面BB1C1C截面C1NB侧面BB1C1C，截面MBC1侧面BB1C1C 点评：（1）本题属于知识组合题类，关键在于对题目中条件的思考与分析，掌握做此类题目的一般技巧与方法，以及如何巧妙作辅助线
8、 转化转化（2）垂直问题的转化：面面垂直线面垂直线线垂直；演变3： 已知斜三棱柱ABCA1B1C1中，A1C1=B1C1=2，D、D1分别是AB、A1B1的中点，平面A1ABB1平面A1B1C1，异面直线AB1和C1B互相垂直 (1)求证 AB1C1D1；(2)求证 AB1面A1CD；问题3：求空间图形中的角与距离根据定义找出或作出所求的角与距离，然后通过解三角形等方法求值，注意“作、证、算”的有机统一.解题时注意各种角的范围：异面直线所成角的范围是090，其方法是平移法和补形法；直线与平面所成角的范围是090，其解法是作垂线、找射影；二面角0180，其方法是：定义法；三垂线定理及其逆定理；垂
9、面法 另也可借助空间向量求这三种角的大小.例4：在棱长为a的正方体ABCDABCD中，E、F分别是BC、AD的中点 (1)求直线AC与DE所成的角；(2)求直线AD与平面BEDF所成的角；(3)求面BEDF与面ABCD所成的角 思路分析：求线面角关键是作垂线，找射影，求异面直线所成的角采用平移法 求二面角的大小也可应用面积射影法 (1)解 如图所示，在平面ABCD内，过C作CPDE，交直线AD于P，则ACP(或补角)为异面直线AC与DE所成的角 在ACP中，易得AC=a，CP=DE=a,AP=a由余弦定理得cosACP=故AC与DE所成角为arccos (2)解 ADE=ADF,AD在平面BE
10、DF内的射影在EDF的平分线上（如图）又可证明四边形BEDF为菱形（证明略），DB为EDF的平分线，故直线AD与平面BEDF所成的角为ADB，在RtBAD中，AD=a，AB=a,BD=a，则cosADB=，故AD与平面BEDF所成的角是arccos (3)解 如图，连结EF、BD，交于O点，显然O为BD的中点，从而O为正方形ABCDABCD的中心，作OH平面ABCD，则H为正方形ABCD的中心，再作HMDE，垂足为M，连结OM，则OMDE，故OMH为二面角BDEA的平面角 在RtDOE中，OE=a,OD=a,斜边DE=a,则由面积关系得OM=a在RtOHM中，sinOMH=故面BEDF与面AB
11、CD所成的角为arcsin 方法二（向量法） （1） 如图建立坐标系，则故AC与DE所成角为arccos （2）ADE=ADF,AD在平面BEDF内的射影在EDF的平分线上 如下图所示 又BEDF为菱形，DB为EDF的平分线，故直线AD与平面BEDF所成的角为ADB，如图建立坐标系，则，故AD与平面BEDF所成的角是arccos (3) 由(1)知，所以面ABCD的法向量为 下面求面BEDF的法向量 设，由取z=1，得 .故面BEDF与面ABCD所成的角为 点评：本题主要考查异面直线所成的角、线面角及二面角的一般求法，综合性较强 用平移法求异面直线所成的角，利用三垂线定理求作二面角的平面角，是
12、常用的方法.演变4：已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，ABDC，底面ABCD，且PA=AD=DC=AB=1，M是PB的中点.（）证明：面PAD面PCD；（）求AC与PB所成的角；（）求面AMC与面BMC所成二面角的大小.例5：在长方体ABCDA1B1C1D1，中，AD=AA1=1，AB=2，点E在棱AB上移动. （1）证明：D1EA1D； （2）当E为AB的中点时，求点E到面ACD1的距离； （3）AE等于何值时，二面角D1ECD的大小为.思路分析：本题涉及立体几何线面关系的有关知识, 本题实质上求解角度和距离,在求此类问题中，要将这些量处于三角形中,最好是直角三角形,这样有利于问题的解
13、决，此外用向量也是一种比较好的方法.解法一：（1）证明：AE平面AA1DD1，A1DAD1，A1DD1E.（2）设点E到面ACD1的距离为h，在ACD1中，AC=CD1=，AD1=，故（3）过D作DHCE于H，连D1H、DE，则D1HCE， DHD1为二面角D1ECD的平面角.设AE=x，则BE=2x解法（二）：以D为坐标原点，直线DA，DC，DD1分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，设AE=x，则A1（1，0，1），D1（0，0，1），E（1，x，0），A（1，0，0）C（0，2，0）（1）（2）因为E为AB的中点，则E（1，1，0），从而，设平面ACD1的法向量为，则也即，得，从而，所以点E到平面AD1C的距离为点评：立体几何的内容就是空间的判断、推理、证明、角度和距离、面积与体积的计算，这是立体几何的重点内容,本题实质上求解角度和距离,在求此类问题中,尽量要将这些量处于三角形中,最好是直角三角形,这样
