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1、2006年高考数学专题复习 参数取值问题的题型与方法要点综述：本讲从对历年高考题的剖析来领会分类讨论思想方法，发展数学思维，提高解题能力.求参数的取值范围的问题，在中学数学里比比皆是，这一讲，我们先展示2004年高考中参数取值问题的试题，再分四个方面来探讨。（）2004年参数取值问题综合题选1（2004年高考上海卷理科（19）记函数f(x)=的定义域为A, g(x)=lg(xa1)(2ax)(a1) 的定义域为B.（）求A；（）若BA, 求实数a的取值范围.解：(1)20, 得0, x0, 得(xa1)(x2a)0.a2a, B=(2a,a+1).BA, 2a1或a+11, 即a或a2, 而a
2、1,a1或a2, 故当BA时, 实数a的取值范围是(,2,1) 2（2004年高考辽宁卷（18）设全集U=R解关于x的不等式（）记A为（1）中不等式的解集，集合，若（ A）B恰有3个元素，求a的取值范围.解：（1）由当时，解集是R；当时，解集是 （2）当时，（ A）=；当时， A= 因由 当（ A）B怡有3个元素时，a就满足 解得 说明：本题主要考查集合的有关概念，含绝对值的不等式，简单三角函数式的化简和已知三角函数值求角等基础知识，考查简单的分类讨论方法，以及分析问题和推理计算能力。3（2004年高考辽宁卷（22）已知函数.（）求函数的反函数的导数（）假设对任意成立，求实数m的取值范围.（I
3、）解：由y=f(x)=ln(exa)得x=ln(eya)，所以y=f1(x)=ln(exa)（xlna）(II)解法一：由0得m即对于xln(3a)，ln(4a)恒有em 设t= ex，u(t)=，u (t)=，于是不等式化为u(t)emu (t) t3a，4a 当t1t2，t1、t23a，4a时，u(t2)u(t1)=0所以都是增函数.因此当时，的最大值为的最小值为而不等式成立当且仅当即，于是得 解法二：由得设于是原不等式对于恒成立等价于 由，注意到故有，从而可均在上单调递增，因此不等式成立当且仅当即 4（2004年高考浙江卷文科（21）已知a为实数，（）求导数；（）若，求在-2，2 上的最
4、大值和最小值；（）若在（，2和2，+）上都是递增的，求a的取值范围.解: ()由原式得 ()由 得,此时有.由得或x=-1 , 又 所以f(x)在-2,2上的最大值为最小值为 ()解法一: 的图象为开口向上且过点(0,-4)的抛物线,由条件得 即 -2a2. 所以a的取值范围为-2,2. 解法二:令即 由求根公式得: 所以在和上非负. 由题意可知,当x-2或x2时, 0, 从而x1-2, x22, 即 解不等式组得: -2a2. a的取值范围是-2,2.5（2004年高考浙江卷文科（22）已知双曲线的中心在原点，右顶点为A（1，0）.点P、Q在双曲线的右支上，点M（m,0）到直线AP的距离为1
5、.（）若直线AP的斜率为k，且，求实数m的取值范围；（）当时，APQ的内心恰好是点M，求此双曲线的方程. 解: ()由条件得直线AP的方程(即.又因为点M到直线AP的距离为1,所以得. 2,解得+1m3或-1m1-.m的取值范围是()可设双曲线方程为由得.又因为M是APQ的内心,M到AP的距离为1,所以MAP=45,直线AM是PAQ的角平分线,且M到AQ、PQ的距离均为1.因此，（不妨设P在第一象限）直线PQ方程为.直线AP的方程y=x-1,解得P的坐标是（2+，1+），将P点坐标代入得，所以所求双曲线方程为即6.(2004年高考重庆卷理科（20）)设函数（）求导数; 并证明有两个不同的极值点
6、; （）若不等式成立，求的取值范围.解：（I） 因此是极大值点，是极小值点.（II）因 又由（I）知代入前面不等式，两边除以（1+a），并化简得 （）参数取值问题的探讨一、若在等式或不等式中出现两个变量，其中一个变量的范围已知，另一个变量的范围为所求，且容易通过恒等变形将两个变量分别置于等号或不等号的两边，则可将恒成立问题转化成函数的最值问题求解。例1已知当xR时，不等式a+cos2x54sinx+恒成立，求实数a的取值范围。分析：在不等式中含有两个变量a及x，其中x的范围已知（xR），另一变量a的范围即为所求，故可考虑将a及x分离。解：原不等式即：4sinx+cos2x3即a+2上式等价于或
7、，解得a8.说明：注意到题目中出现了sinx及cos2x，而cos2x=12sin2x,故若把sinx换元成t,则可把原不等式转化成关于t的二次函数类型。另解：a+cos2x54sinx+即a+12sin2x0,( t1,1)恒成立。设f(t)= 2t24t+4a+则二次函数的对称轴为t=1,f(x)在1，1内单调递减。只需f(1)0,即a2.(下同)例2已知函数f(x)在定义域（，1上是减函数，问是否存在实数k，使不等式f(ksinx)f(k2sin2x)对一切实数x恒成立？并说明理由。分析：由单调性与定义域，原不等式等价于ksinxk2sin2x1对于任意xR恒成立，这又等价于对于任意xR
8、恒成立。不等式（1）对任意xR恒成立的充要条件是k2(1+sin2x)min=1,即1k1-(3)不等式（2）对任意xR恒成立的充要条件是k2k+(sinx)2max=,即k1或k2,-(4)由（3）、（4）求交集，得k=1,故存在k=1适合题设条件。说明：抽象函数与不等式的综合题常需要利用单调性脱掉函数记号。例3设直线过点P（0，3），和椭圆顺次交于A、B两点，试求的取值范围.分析：本题中，绝大多数同学不难得到：=，但从此后却一筹莫展, 问题的根源在于对题目的整体把握不够. 事实上，所谓求取值范围，不外乎两条路：其一是构造所求变量关于某个（或某几个）参数的函数关系式（或方程），这只需利用对应
9、的思想实施；其二则是构造关于所求量的一个不等关系.思路1:从第一条想法入手，=已经是一个关系式，但由于有两个变量，同时这两个变量的范围不好控制，所以自然想到利用第3个变量直线AB的斜率k. 问题就转化为如何将转化为关于k的表达式，到此为止，将直线方程代入椭圆方程，消去y得出关于的一元二次方程，其求根公式呼之欲出.所求量的取值范围把直线l的方程y = kx+3代入椭圆方程，消去y得到关于x的一元二次方程xA= f（k），xB = g（k）得到所求量关于k的函数关系式求根公式AP/PB = （xA / xB）由判别式得出k的取值范围解1：当直线垂直于x轴时，可求得；当与x轴不垂直时，设，直线的方程
10、为：，代入椭圆方程，消去得，解之得 因为椭圆关于y轴对称，点P在y轴上，所以只需考虑的情形.当时，所以 =.由 , 解得 ，所以 ，综上 .思路2: 如果想构造关于所求量的不等式，则应该考虑到：判别式往往是产生不等的根源. 由判别式值的非负性可以很快确定的取值范围，于是问题转化为如何将所求量与联系起来. 一般来说，韦达定理总是充当这种问题的桥梁，但本题无法直接应用韦达定理，原因在于不是关于的对称关系式. 原因找到后，解决问题的方法自然也就有了，即我们可以构造关于的对称关系式.把直线l的方程y = kx+3代入椭圆方程，消去y得到关于x的一元二次方程xA+ xB = f（k），xA xB = g
11、（k）构造所求量与k的关系式关于所求量的不等式韦达定理AP/PB = （xA / xB）由判别式得出k的取值范围解2：设直线的方程为：，代入椭圆方程，消去得 （*）则 令，则，在（*）中，由判别式可得 ，从而有 ，所以，解得.结合得. 综上，.说明：范围问题不等关系的建立途径多多，诸如判别式法，均值不等式法，变量的有界性法，函数的性质法，数形结合法等等. 本题也可从数形结合的角度入手，给出又一优美解法.二、直接根据图像判断若把等式或不等式进行合理的变形后，能非常容易地画出等号或不等号两边函数的图象，则可以通过画图直接判断得出结果。尤其对于选择题、填空题这种方法更显方便、快捷。例4（2003年江
12、苏卷第11题、天津卷第10题）已知长方形四个顶点A（0，0），B（2，0），C（2，1）和D（0，1）.一质点从AB的中点P沿与AB夹角为的方向射到BC上的点P1后，依次反射到CD、DA和AB上的点P2、P3和P4（入射角等于反射角）.设P4的坐标为（x4，0）.若1 x42，则的取值范围是（ ）(A) (B) (C) (D)图1图2分析: 高中数学课程标准提倡让学生自主探索, 动手实践, 并主张在高中学课程设立“数学探究”学习活动, 03年数学试题反映了这方面的学习要求，在高考命题中体现了高中课程标准的基本理念本题可以尝试用特殊位置来解，不妨设与AB的中点P重合（如图1所示），则P1、P2、P3分别是线段BC、CD、DA的中点，所以由于在四个选择支中只有C含有，故选Cxyo12y1=(x-1)2y2=logax当然，本题也可以利用对称的方法将“折线”问题转化成“直线”问题来直接求解（如图2所示） 说明 由本题可见, 0年试题强调实验尝试, 探索猜想在数学学习中的地位这也是选择题的应有特点例5当x(1,2)时，不等式(x1)2logax恒成立，求a的取值范围。分析：若将不等号两边分别设成两个函数，则左边为二次函数，图象是抛物线，右边为常见的对数函数的图象，故可以通过图象求解。解：设y1=(x1)2,y2=logax,则y1的图象为右图所示的抛物线，要使对一切x(1,2),y1y2
