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1、石景山区20072008学年第一学期期末考试试卷高三数学（理科）考生须知1. 本试卷为闭卷考试，满分为150分，考试时间为120分钟2. 本试卷共8页，各题答案均答在本题规定的位置题号一二三总分151617181920分数一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后括号内1设集合，则（）ABCD2已知等差数列的前项和为，若，则等于（）ABCD3现有3名男生和2名女生站成一排，要求其中2名女生恰好站在两端的不同的排法种数为（）A BCD4已知，则=（）ABCD5若|，|2，且，则与的夹角是（）ABCD6的展开式中常
2、数项等于20，则等于（）A BC D 7关于直线，与平面，有以下四个命题：若且，则；若且，则；若且，则；若且，则其中真命题的序号是（）ABCD8如图，点在边长为的正方形的边上运动，设是的中点，则当沿着路径运动时，点经过的路程与的面积的函数的图象的形状大致是图中的（）二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分把答案填在题中横线上9计算： 10复数（是虚数单位）的实部为 11不等式的解集是_12函数的单调递减区间是_13某校对文明班的评选设计了五个方面的多元评价指标，并通过经验公式来计算各班的综合得分，的值越高则评价效果越好若某班在自测过程中各项指标显示出，则下阶段要把其中一个指标的值增加
3、个单位，而使得的值增加最多，那么该指标应为 （填入中的某个字母）14一种计算装置，有一个数据入口和一个运算出口，执行某种运算程序 （1）当从口输入自然数时，从口得到实数，记为； （2）当从口输入自然数时，在口得到的结果是前一结果倍 当从口输入时，从口得到 ；要想从口得到， 则应从口输入自然数 .三、解答题：本大题共6个小题，共80分解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤15（本题满分14分）已知：，（）求和的值；（）求的值16（本题满分12分） 在某电视节目的一次有奖竞猜活动中，主持人准备了、两个相互独立的问题，并且宣布：幸运观众答对问题可获奖金元，答对问题可获奖金元，先答哪个题由观众自由选
4、择，但只有第一个问题答对，才能再答第二题，否则终止答题若你被选为幸运观众，且假设你答对问题、的概率分别为、（）记先回答问题获得的奖金数为随机变量，则的取值分别是多少？（）你觉得应先回答哪个问题才能使你获得更多的奖金？请说明理由17（本题满分14分）正项数列an的前n项和为，且（）求数列an的通项公式；（）设，数列的前n项和为，求证：18（本题满分14分）已知：如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面， （）求证：平面平面； （）若是的中点，求异面直线与所成角的余弦值；PABCDE （）在边上是否存在一点，使得点到平面的距离为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由19（本题满分14分）已知：在函数的
5、图象上，以为切点的切线的倾斜角为 （）求，的值； （）是否存在最小的正整数，使得不等式对于恒成立？如果存在，请求出最小的正整数；如果不存在，请说明理由；（）求证：（，）20（本题满分12分） 对于定义域为的函数，若同时满足：在内单调递增或单调递减；存在区间，使在上的值域为；那么把函数（）叫做闭函数（）求闭函数符合条件的区间；（）判断函数是否为闭函数？并说明理由； （）若是闭函数，求实数的取值范围石景山区20072008学年第一学期期末考试试卷高三数学（理科）参考答案一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后括号
6、内题号12345678答案ABCABBDA二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分把答案填在题中横线上题号91011121314答案，或（2，+），24 注：第14题第1个空3分，第2个空2分.三、解答题：本大题共6个小题，共80分解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤15（本题满分14分）解：（） ， . ，即. 4分 ， . 5分 . 8分（） 12分. 14分16（本题满分12分）解：（）随机变量的可能取值为0，1000，3000. 3分 （）设先答问题A获得的奖金为元，先答问题B获得的奖金为元.则有， . 7分同理：， . 11分故知先答问题A ，所获得的奖金期望较多. 1
7、2分17（本题满分14分）解：（） ， . 2分 ， . （）. -，得 ， 即， 而，. 6分 故数列是首项为1，公差为2的等差数列. . 8分（）. 10分 . 14分18（本题满分14分）解法一：（）证明： 平面， . 1分 四边形是矩形， . 又 平面. 3分又 平面， 平面平面. 5分（）解：设的中点为，连结、. 是中点， . 是异面直线与所成角或其补角. 7分由，计算得，9分 异面直线与所成角的余弦值为. 10分（）解：假设在边上存在点，使得点到平面的距离为1. 设，过点作于. 平面， ,. 平面. 线段的长是点到平面的距离，即. 12分又，解得 .所以，存在点G且当时，使得点到平
8、面的距离为1. 14分 解法二：以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，2，0），D（0，2，0），E（0，1，），P（0，0，1） （1，0，0），（0，2，0）， （0，0，1）， （0，1，）， （1，2，1）. 2分（） ， . ， . 又 ， 平面. 5分 平面， 平面PDC平面PAD 7分（） ， 9分 异面直线AE与PC所成角的余弦值为 10分（）假设边上存在一点满足题设条件，令，则. 作于， 平面， . 又 ， 面. 线段的长是点到平面的距离，即. 12分 =矩形ABCD， . . 又 ， . 故存在点，当时，使点D到平面PAG的距离为1 14分19（本题满分14分）解：（） ，依题意，得，即，. 2分 ， . 3分 （）令，得. 4分 当时，； 当时，； 当时，. 又，. 因此，当时，. 7分 要使得不等式对于恒成立，则. 所以，存在最小的正整数，使得不等式对于 恒成立. 9分（）方法一：. 11分 又 ， ，. . 13分 综上可得，（，）. 14分 方法二：由（）知，函数在 -1，上是增函数；在,上是减函数；在，1上是增函数.又，. 所以，当x-1，1时，即. ，-1，1， ，. . 11分又， ，且函数在上是增函数. . 13分综上可得，（，）.14
