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1、第八章单元质量检测第八章单元质量检测 时间 90 分钟分值 100 分 一 选择题 每小题 4 分 共 40 分 1 已知两条直线 y ax 2 和 3x a 2 y 1 0 互相平行 则 a 等于 A 1 或 3B 1 或 3 C 1 或 3D 1 或 3 解析 因为直线 y ax 2 的斜率存在且为 a 所以 a 2 0 所以 3x a 2 y 1 0 的斜截式方程为 y 3 a 2x 1 a 2 由两直线 平行 得 3 a 2 a 且 1 a 2 2 解得 a 1 或 a 3 答案 A 2 双曲线x 2 2 y 2 1 1 的焦点坐标是 A 1 0 1 0 B 0 1 0 1 C 3 0
2、 3 0 D 0 3 0 3 解析 c2 a2 b2 2 1 3 所以 c 3 由焦点在 x 轴上 所以 焦点坐标为 3 0 3 0 答案 C 3 在平面直角坐标系 xOy 中 直线 3x 4y 5 0 与圆 x2 y2 4 相交于 A B 两点 则弦 AB 的长等于 A 3 3B 2 3 C 3D 1 解析 圆心到直线的距离 d 5 32 42 1 弦 AB 的长 l 2 r 2 d2 2 4 1 2 3 答案 B 4 已知圆 C 经过 A 5 2 B 1 4 两点 圆心在 x 轴上 则圆 C 的方程是 A x 2 2 y2 13B x 2 2 y2 17 C x 1 2 y2 40D x
3、1 2 y2 20 解析 设圆心坐标为 C a 0 则 AC BC 即 a 5 2 22 a 1 2 42 解得 a 1 所以半径 r 1 1 2 42 20 2 5 所 以圆 C 的方程是 x 1 2 y2 20 答案 D 5 若椭圆x 2 a2 y2 b2 1 a b 0 的离心率为 3 2 则双曲线x 2 a2 y2 b2 1 的渐近线方程为 A y 1 2x B y 2x C y 4xD y 1 4x 解析 由题意 a2 b2 a 3 2 所以 a2 4b2 故双曲线的方程可化为 x2 4b2 y2 b2 1 故其渐近线方程为 y 1 2x 答案 A 6 已知抛物线 y2 8x 的焦点
4、 F 到双曲线 C y2 a2 x2 b2 1 a 0 b 0 渐近线的距离为4 5 5 点 P 是抛物线 y2 8x 上的一动点 P 到双曲线 C 的上焦点 F1 0 c 的距离与到直线 x 2 的距离之和的最小值为 3 则该双曲线的方程为 A y 2 2 x 2 3 1B y2 x 2 4 1 C y 2 4 x2 1D y 2 3 x 2 2 1 解析 由题意得 抛物线 y2 8x 的焦点 F 2 0 双曲线 C y2 a2 x2 b2 1 a 0 b 0 的一条渐近线的方程为 ax by 0 抛物线 y2 8x 的焦点 F 到双曲线 C y 2 a2 x2 b2 1 a 0 b 0 渐
5、近 线的距离为4 5 5 2a a2 b2 4 5 5 a 2b P 到双曲线 C 的上焦点 F1 0 c 的距离与到直线 x 2 的距离 之和的最小值为 3 FF1 3 c2 4 9 c 5 c2 a2 b2 a 2b a 2 b 1 双曲线的方程为y 2 4 x2 1 故选 C 答案 C 7 过点 P 1 1 作直线与双曲线 x2 y 2 2 1 交于 A B 两点 使点 P 为 AB 中点 则这样的直线 A 存在一条 且方程为 2x y 1 0 B 存在无数条 C 存在两条 方程为 2x y 1 0 D 不存在 解析 设 A x1 y1 B x2 y2 则 x1 x2 2 y1 y2 2
6、 则 x21 1 2y 2 1 1 x22 1 2y 2 2 1 两式相减得 x1 x2 x1 x2 1 2 y 1 y2 y1 y2 0 所以 x1 x2 1 2 y 1 y2 即 kAB 2 故所求直线方程为 y 1 2 x 1 即 2x y 1 0 联立 y 2x 1 x2 1 2y 2 1 可得 2x2 4x 3 0 但此方程没有实数解 故这样的直线不存在 答案 D 8 已知两圆 C1 x 4 2 y2 169 C2 x 4 2 y2 9 动圆在 圆 C1内部且和圆 C1相内切 和圆 C2相外切 则动圆圆心 M 的轨迹 方程为 A x2 64 y2 48 1 B x2 48 y2 64
7、 1 C x 2 48 y2 64 1 D x2 64 y2 48 1 解析 设圆 M 的半径为 r 则 MC1 MC2 13 r 3 r 16 M 的轨迹是以 C1 C2为焦点的椭圆 且 2a 16 2c 8 故所求 的轨迹方程为 x2 64 y2 48 1 答案 D 9 已知 0 4 则双曲线 C 1 x2 cos2 y2 sin2 1 与 C 2 y2 sin2 x2 sin2 tan2 1 的 A 实轴长相等B 虚轴长相等 C 焦距相等D 离心率相等 解析 对于双曲线 C1 x2 cos2 y2 sin2 1 a 2 1 cos2 b21 sin2 c21 1 对于双曲线 C2 y2
8、sin2 x2 sin2 tan2 1 a 2 2 sin2 b22 sin2 tan2 c22 sin2 sin2 tan2 sin2 1 tan2 sin2 1 sin 2 cos2 sin 2 cos2 tan 2 只有当 k 4 k Z 时 a 2 1 a 2 2或 b21 b 2 2或 c21 c22 而 0 b 0 的离心率 e 3 2 原点 到过点 A a 0 B 0 b 的直线的距离为4 5 5 1 求椭圆 C 的方程 2 若直线 y kx 1 k 0 交椭圆 C 于不同的两点 E F 且 E F 都在以 B 为圆心的圆上 求 k 的值 解 1 因为c a 3 2 a2 b2
9、c2 故 a 2b 因为原点到直线 AB x a y b 1 的距离 d ab a2 b2 4 5 5 解得 a 4 b 2 故所求椭圆方程为x 2 16 y2 4 1 2 由题意 y kx 1 x2 16 y2 4 1 得 1 4k2 x2 8kx 12 0 易得 0 设 E x1 y1 F x2 y2 EF 的中点是 M xM yM 则 xM x1 x2 2 4k 1 4k2 y M kxM 1 1 1 4k2 所以 kBM yM 2 xM 1 k 又因为 k 0 所以 k2 1 8 所以 k 2 4 16 10 分 过点 Q 2 21 作圆 O x2 y2 r2 r 0 的切线 切 点为
10、 D 且 QD 4 1 求 r 的值 2 设 P 是圆 O 上位于第一象限内的任意一点 过点 P 作圆 O 的 切线 l 且 l 交 x 轴于点 A 交 y 轴于点 B 设OM OA OB 求 OM 的最小值 O 为坐标原点 解 1 圆 O x2 y2 r2 r 0 的圆心为 O 0 0 于是 QO 2 2 2 21 2 25 由题设知 QDO 是以 D 为直角顶点的直角三角形 故有 r OD QO 2 QD 2 25 42 3 2 设直线 l 的方程为x a y b 1 a 0 b 0 即 bx ay ab 0 则 A a 0 B 0 b OM a b OM a2 b2 直线 l 与圆 O
11、相切 ab a2 b2 3 a 2b2 9 a2 b2 a2 b2 2 2 a2 b2 36 OM 6 当且仅当 a b 32时取到 OM 取得最小值为 6 17 12 分 如图 已知点 E m 0 m 0 为抛物线 y2 4x 内一个定 点 过 E 作斜率分别为 k1 k2的两条直线交抛物线于点 A B C D 且 M N 分别是 AB CD 的中点 1 若 m 1 k1k2 1 求 EMN 面积的最小值 2 若 k1 k2 1 求证 直线 MN 过定点 解 1 当 m 1 时 E 为抛物线 y2 4x 的焦点 k1k2 1 AB CD 设直线 AB 的方程为 y k1 x 1 A x1 y
12、1 B x2 y2 由 y k1 x 1 y2 4x 得 k1y2 4y 4k1 0 y1 y2 4 k1 y 1y2 4 M x1 x2 2 y1 y2 2 M 2 k21 1 2 k1 同理 点 N 2k21 1 2k1 S EMN 1 2 EM EN 1 2 2 k21 2 2 k1 2 2k21 2 2k1 2 2k21 1 k21 2 2 2 2 4 当且仅当 k 2 1 1 k21 即 k 1 1 时 EMN 的面积取得最小值 4 2 设直线 AB 的方程为 y k1 x m A x1 y1 B x2 y2 由 y k1 x m y2 4x 得 k1y2 4y 4k1m 0 y1
13、y2 4 k1 y 1y2 4m M x1 x2 2 y1 y2 2 M 2 k21 m 2 k1 同理 点 N 2 k22 m 2 k2 kMN k1k2 k1 k2 k 1k2 直线 MN 的方程为 y 2 k1 k 1k2x 2 k21 m 即 y k1k2 x m 2 直线 MN 恒过定点 m 2 18 12 分 2014 山东卷 在平面直角坐标系 xOy 中 椭圆 C x2 a2 y2 b2 1 a b 0 的离心率为 3 2 直线y x被椭圆C截得的线段长为4 10 5 1 求椭圆 C 的方程 2 过原点的直线与椭圆 C 交于 A B 两点 A B 不是椭圆 C 的顶 点 点 D
14、在椭圆 C 上 且 AD AB 直线 BD 与 x 轴 y 轴分别交于 M N 两点 设直线 BD AM 的斜率分别为 k1 k2 证明 存在常数 使得 k1 k2 并求出 的值 求 OMN 面积的最大值 解 1 由题意知 a2 b2 a 3 2 可得 a2 4b2 椭圆 C 的方程可简化为 x2 4y2 a2 将 y x 代入可得 x 5a 5 因此 2 2 5a 5 4 10 5 可得 a 2 因此 b 1 所以椭圆 C 的方程为x 2 4 y2 1 2 设 A x1 y1 x1y1 0 D x2 y2 则 B x1 y1 因为直线 AB 的斜率 kAB y1 x1 又 AB AD 所以直
15、线 AD 的斜率 k x1 y1 设直线 AD 的方程为 y kx m 由题意知 k 0 m 0 由 y kx m x2 4 y2 1 可得 1 4k2 x2 8mkx 4m2 4 0 所以 x1 x2 8mk 1 4k2 因此 y1 y2 k x1 x2 2m 2m 1 4k2 由题意知 x1 x2 所以 k1 y1 y2 x1 x2 1 4k y1 4x1 所以直线 BD 的方程为 y y1 y1 4x1 x x 1 令 y 0 得 x 3x1 即 M 3x1 0 可得 k2 y1 2x1 所以 k1 1 2k 2 即 1 2 因此存在常数 1 2使得结论成立 直线 BD 的方程 y y1 y1 4x1 x x 1 令 x 0 得 y 3 4y 1 即 N 0 3 4y 1 由 知 M 3x1 0 可得 OMN 的面积 S 1 2 3 x 1 3 4 y 1 9 8 x 1 y1 因为 x1 y1 x 2 1 4 y21 1 当且仅当 x1 2 y1 2 2 时等号成立 此时 S 取得最大值9 8 所以 OMN 面积的最大值为9 8
