量子力学5-态叠加原理

《量子力学5-态叠加原理》由会员分享，可在线阅读，更多相关《量子力学5-态叠加原理（18页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。

1、力学量和算符 讲师 课程 上节课回顾 不确定度关系 2 px x py 2 y 2 py y 2 pz z 2 Et 2 问题问题1 不确定性关系与我们的日常生活有无矛盾不确定性关系与我们的日常生活有无矛盾 如一粒尘埃 直径 1 m 质量m 10 12g 速度v 0 1cm s 则其动量p mv 10 13g cm s 设其位置精度 x 1埃 由不确定性关系可得 p 10 19g cm s 则 p p 10 6 而对这种粒子 的任何实际测量的相对精度都没达到10 6 因此即使像尘埃那样的粒子经典力学 的概念仍然适用的概念仍然适用 问题问题2 原子核的组成问题原子核的组成问题问题问题2 原子核的

2、组成问题原子核的组成问题 考虑 衰变 原子核自发地放出高速电子 原子核的半径 10 12m 若电子是原子核的组成粒子则其位置不确定度 10 12 若电子是原子核的组成粒子 则其位置不确定度 x 10 12m 由不确定性关系得 p 10 15gcm s 从数量级上考虑p p 因此电子的能量 MeV20 4222 pcpccmcpE 而所有原子核在 衰变中放出电子的能量M V1E而所有原子核在 衰变中放出电子的能量MeV1 E 结论结论 在在 衰变中放出的电子并不是原子核的衰变中放出的电子并不是原子核的一一个组成粒子个组成粒子 而是在衰变过程中产生的而是在衰变过程中产生的 结论结论在在 衰变中放出

3、的电子并不是原子核的个组成粒子衰变中放出的电子并不是原子核的个组成粒子 而是在衰变过程中产生的而是在衰变过程中产生的 问题问题3 估计物质结构的不同层次的特征能量估计物质结构的不同层次的特征能量 不确定性关系不确定性关系 px 在非相对论情况下在非相对论情况下 mpmpE2 2 22 对于原子对于原子 x 10 8cm 用电子质量代入可得用电子质量代入可得 eV4 2 2 2 xm E e 对中等质量的原子核对中等质量的原子核 x 6 10 13cm 用中子质量代入可得用中子质量代入可得 MeV1 2 E MeV1 2 2 xm E n c 在相对论情况下在相对论情况下 x c pcpcE 粒

4、子的大小粒子的大小 13 则其能量为则其能量为粒子的大小粒子的大小 x 10 13cm 则其能量为则其能量为E 0 2GeV 1 1 6 力学量的平均值与算符的引进力学量的平均值与算符的引进 问题 问题 按波函数的统计诠释 波函数模的平方代表在空间按波函数的统计诠释 波函数模的平方代表在空间r点点 找到粒子的概率密度找到粒子的概率密度 如果测量其它力学量如果测量其它力学量其概率分布如何其概率分布如何 找到粒子的概率密度找到粒子的概率密度 如果测量其它力学量如果测量其它力学量 其概率分布如何其概率分布如何 rxrx 3 2 d 若波函数已经归若波函数已经归一一化化则位置的平均值为则位置的平均值为

5、 rxrxd rrVrV 3 2 d 若波函数已经归化若波函数已经归化 则位置的平均值为则位置的平均值为 势能的平均值为势能的平均值为 因空间中某一点的动量没有意义 则动量的平均值因空间中某一点的动量没有意义 则动量的平均值 rrprp 3 2 d 如何求动量的平均值 如何求动量的平均值 波特性 态叠加原理 一 态叠加原理 态叠加原理 二 动量空间 表象 的波函数 态叠加原理 一 态叠加原理 微观粒子具有波动性会产生衍射图样而干涉 微观粒子具有波动性 会产生衍射图样 而干涉 和衍射的本质在于波的叠加性 即可相加性 两 个相加波的干涉的结果产生衍射 因此 同个相加波的干涉的结果产生衍射 因此 同

6、 光学中波的叠加原理一样 量子力学中也存在波 叠加原理 因为量子力学中的波 即波函数决定 体状称波数为状波数体系的状态 称波函数为状态波函数 所以量子 力学的波叠加原理称为态叠加原理 考虑电子双缝衍射 P 1 S 1一个电子有 1和 2两 2 S 电子源 感 光 个电子有 1 和2 两 种可能的状态 是这两 种状态的叠加 2 光 屏 C1 1 C2 2也是电子的可能状态 空间找到电子的几率则是 2 C1 1 C2 2 2 C1 1 C2 2 C1 1 C2 2 C1 1 2 C2 2 2 C1 C2 1 2 C1C2 1 2 C1 1 C2 2 C1C2 1 2 C1C2 1 2 电子穿过狭缝

7、 出现在 点的几 电子穿过狭缝 出现在 点的几 相干项 正是由于相干项的出现 出现在 点的几 率密度 出现在 点的几 率密度 是由于相干项的出现 才产生了衍射花纹 一般情况下 如果 1和 2是体系的可能状态 那末般情况下 如果 1和2 是体系的可能状态 那末 它们的线性叠加 C1 1 C2 2 也是该体系的一个可能状态 其中C1和 C2 是复常数 这就是量子力学的态叠加原理 态叠加原理一般表述 态叠加原理一般表述 若 1 2 n 是体系的一系列可能的状态 则这些态的线性叠加 C1 1 C2 2 Cn n 其中 C1 C2 Cn 为复常数 也是体系的一个可能状态 处于 态的体系 部分的处于 1态

8、 部分的处于 2态 部分的处于 n 例 电子在晶体表面反射后 电子可能以各种 例 不同的动量 p 运动 具有确定动量的运动 状态用deBroglie 平面波表示 p expEtrp i A p d p 根据叠加原理 在晶体表面反射后 电子的状态 可表示成 p 取各 dtttt 根据叠加原理 在晶体表面反射后 电子的状态可表示成 p 取各 种可能值的平面波的线性叠加 即 是连续变化的 由于其中是连续变化的 由于其中 pdpdpdppd pdtrpctrtrpctr zyx pp p 了求和 所以后式应用积分代替了求和 所以后式应用积分代替 zy 而衍射图样正是这些平面波叠加干涉的结果而衍射图样正

9、是这些平面波叠加干涉的结果 二 动量空间 表象 的波函数 exp 2 1 2 3 rp i r p 波函数 r t 可用各种不同动量的平面波表示 下面我们给出简单证明 令 2 2 3 p 令 则 可按 p 展开 1 i d dd p trr t dr 展开系数 p r tp tr dp dxdydzrp i tr exp 1 2 3 3 2 exp 2 xyz i p tp r dp dp dp p p trr t dr Fourier显 然 二 式 互 为变 换 式 故 而 总 是 成 立 的 描 展开系数 y zp p 2 2 3 r t 是以坐标 r 为自变量的波函数坐标空间波函数坐标表

10、象波函数 r tcp t 所 以与一 一 对 应 是 同 一 量 子 态 的 两 种 不 同 描 述 方 式 r t 是以坐标 r 为自变量的波函数 坐标空间波函数 坐标表象波函数 p t 是以动量 p 为自变量的波函数 动量空间波函数 动量表象波函数 二者描写同一量子状态 若 r t 已归一化 则 p t 也是归一化的 2 p tdpp tp t dp 证明 p p trr t dr p tdpp tp t dp ddtdt pdrdrtrrdrtrp p pdrrrdrdtrtrp p p rrrdrdtrtr 1 dtt 1 rdtrtr 函数的目的函数的目的平面波归一化为平面波归一化为

11、由此我们也可以看出把由此我们也可以看出把 关系式其中使用了关系式其中使用了 rrpdrrp p 函数的目的函数的目的 平面波归一化为平面波归一化为由此我们也可以看出把由此我们也可以看出把 r tr t 与具有类似的物理含义 2 点附近时刻粒子出现在点附近时刻粒子出现在rt rdtrtrdW 2 体积元内的几率 体积元内的几率 rd 2 dWttd 2 dWp tp tdp tp 时 刻 粒 子 出 现 在 动 量点 附 近 dp 体 积 元 内 的 几 率 回到最先的问题回到最先的问题 问题问题按波函数的统计诠释按波函数的统计诠释波函数模的平方代表在空间波函数模的平方代表在空间 点点 波函数的

12、波函数的Fi展开展开 问题问题 按波函数的统计诠释按波函数的统计诠释 波函数模的平方代表在空间波函数模的平方代表在空间r点点 找到粒子的概率密度 如果测量其它力学量 其概率分布如何 找到粒子的概率密度 如果测量其它力学量 其概率分布如何 13 d 2 1 3 i 2 3 pepr rp 波函数的波函数的Fourier展开展开 2 14 d 2 1 3 i 2 3 rerp rp 其中其中 2 粒子的动量为粒子的动量为p的概率正比于的概率正比于 2 p 15 1d d 3 2 3 2 rrpp 可证明 可证明 1 d 3 ppp 证明 证明 2 1 ddd i 3 333 errrrp rrp

13、1 d dd 2 3 33 rrrrrr 电子的动量分布如何测量电子的动量分布如何测量 1 d 2 3 rr 入射波 衍射谱 电子的动量分布如何测量电子的动量分布如何测量 电子衍射实验分析电子衍射实验分析 a 设电子 动量设电子 动量p 沿垂直方向入射到单 晶表面 即入射波是具有一定波长的平 沿垂直方向入射到单 晶表面 即入射波是具有一定波长的平 面波面波 则衍射波将按照则衍射波将按照一一定的角度衍射定的角度衍射 17 3 2 1 sin n nhn a 面波面波 则衍射波将按照定的角度衍射则衍射波将按照定的角度衍射 衍射角由衍射角由Bragg公式确定公式确定 17 3 2 1 sinn pa

14、a n 如果入射波是一个波包 它的每一个如果入射波是一个波包 它的每一个Fourier分波将按各自的角分波将按各自的角 分布出射分布出射衍射波将分解成一个波谱衍射波将分解成一个波谱沿沿 角衍射的波的幅度角衍射的波的幅度分布出射分布出射 衍射波将分解成一个波谱衍射波将分解成一个波谱 沿沿 角衍射的波的幅度角衍射的波的幅度 f 正比于入射波包中相应的正比于入射波包中相应的Fourier分波的幅度分波的幅度 2 pf pf 衍射过程中衍射过程中 波长未变波长未变 即粒子的动量大小未变即粒子的动量大小未变 只有方向改变只有方向改变 衍射过程中衍射过程中 波长未变波长未变 即粒子的动量大小未变即粒子的动

15、量大小未变 只有方向改变只有方向改变 因此衍射波谱的分布反映了衍射前粒子的动量分布 因此衍射波谱的分布反映了衍射前粒子的动量分布 二 力学量算符 二 力学量算符 1 动量算符 1 动量算符 既然 x 是归一化波函数相应动量表象波函数为c p 一既然 x 是归化波函数 相应动量表象波函数为c px 一 对应 相互等价的描述粒子的同一状态 那末动量的平均值 也应可以在坐标表象用 x 表示出来 但是 x 不含px变量 为了能由 x 来确定动量平均值 动量 px必须改造成只含自 变量 x 的形式 这种形式称为动量 px的算符形式 记为 x p 简言之 由于量子力学和经典力学完全不同 它是用波函数描写状 态 所以力学量也必须改造成与经典力学不同的算符形式 称为第 一次量子化 次量子化 一维情况 一维情况 dppcppcdppcppp 2 xxxxxxxxx dppcppcdppcppp i 1 xxx xp i dppcpdxex x 2 1 xp i 1 xxx xp dxdppcpex x 2 1 xp i d d d i x 1 xx dxdppce dx ix 2 1 xp i d d id x 2 xx dppce dx ixdx dxxpxdxx d ix x p dx x