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1、用心 爱心 专心 第二节第二节 基本初等函数基本初等函数 I I 第一部分第一部分 三年高考荟萃三年高考荟萃 20102010 年高考题年高考题 一 选择题一 选择题 1 1 20102010 全国卷全国卷 2 2 理 理 2 函数 1ln 1 1 2 x yx 的反函数是 A 21 1 0 x yex B 21 1 0 x yex C 21 1 R x yex D 21 1 R x yex 答案 D 命题意图 本试题主要考察反函数的求法及指数函数与对数函数的互化 解析 由原函数解得 即 又 在反函数中 故选 D 2 2 20102010 陕西文 陕西文 7 下列四类函数中 个有性质 对任意的
2、x 0 y 0 函数f x 满足 f x y f x f y 的是 A 幂函数 B 对数函数 C 指数函数 D 余弦函数 答案 C 解析 本题考查幂的运算性质 yxfaaayfxf yxyx 3 3 20102010 辽宁文 辽宁文 10 设25 ab m 且 11 2 ab 则m A 10 B 10 C 20 D 100 答案 A 解析 选 A 2 11 log 2log 5log 102 10 mmm m ab 又0 10 mm 4 4 20102010 全国卷全国卷 2 2 文 文 4 函数 y 1 ln x 1 x 1 的反函数是 A y 1x e 1 x 0 B y 1x e 1 x
3、 0 C y 1x e 1 x R D y 1x e 1 x R 答案 D 解析 D 本题考查了函数的反函数及指数对数的互化 函数 Y 1 LN X 1 X 1 用心 爱心 专心 11 ln 1 1 1 1 yx xyxeye 5 5 20102010 安徽文 安徽文 7 设 232 555 322 555 abc 则 a b c 的大小关系是 A a c b B a b c C c a b D b c a 答案 A 解析 2 5 yx 在0 x 时是增函数 所以ac 2 5 x y 在0 x 时是减函数 所以 cb 方法总结 根据幂函数与指数函数的单调性直接可以判断出来 6 6 201020
4、10 安徽文 安徽文 6 设0abc 二次函数 2 f xaxbxc 的图像可能是 答案 D 解析 当0a 时 b c同号 C D 两图中0c 故0 0 2 b b a 选项 D 符合 方法技巧 根据二次函数图像开口向上或向下 分0a 或0a 两种情况分类考虑 另 外还要注意 c 值是抛物线与 y 轴交点的纵坐标 还要注意对称轴的位置或定点坐标的位置 等 7 7 20102010 浙江文 浙江文 2 2 已知函数 1 log 1 f xx 若 1 f A 0 B 1 C 2 D 3 答案 B 解析 1 2 故 1 选 B 本题主要考察了对数函数概念及其运算性质 属容易题 用心 爱心 专心 8
5、8 20102010 山东文 山东文 3 函数 2 log31 x f x 的值域为 A 0 B 0 C 1 D 1 答案 A 9 9 20102010 北京文 北京文 6 给定函数 1 2 yx 1 2 log 1 yx 1 yx 1 2xy 期中在区间 0 1 上单调 递减的函数序号是 A B C D 答案 B 10 10 20102010 北京文 北京文 若 a b 是非零向量 且ab ab 则函数 f xxabxba 是 A 一次函数且是奇函数 B 一次函数但不是奇函数 C 二次函数且是偶函数 D 二次函数但不是偶函数 答案 A 11 11 20102010 四川理 四川理 3 2lo
6、g510 log50 25 A 0 B 1 C 2 D 4 解析 2log510 log50 25 log5100 log50 25 log525 2 答案 C 12 12 20102010 天津文 天津文 6 设 5 54 alog 4blogclog 2 5 3 则 A a c b B b c a C a b c D b a c 答案 D 解析 本题主要考查利用对数函数的单调性比较大小的基本方法 属于容易题 因为 5 0log 41 所以b a c 用心 爱心 专心 温馨提示 比较对数值的大小时 通常利用 0 1 进行 本题也可以利用对数函数的图像 进行比较 13 13 20102010
7、全国卷全国卷 1 1 文 文 7 已知函数 lg f xx 若ab 且 f af b 则 ab 的取值范围是 A 1 B 1 C 2 D 2 答案 C 命题意图 本小题主要考查对数函数的性质 函数的单调性 函数的值域 考生在做本 小题时极易忽视 a 的取值范围 而利用均值不等式求得 a b 1 2a a 从而错选 D 这也是 命题者的用苦良心之处 解析 1 因为 f a f b 所以 lga lgb 所以 a b 舍去 或 1 b a 所以 a b 1 a a 又 0 a b 所以 0 a 1f 1 1 1 2 即 a b 的取值范围是 2 解析 2 由 0 a b 且f a f b 得 01
8、 1 1 a b ab 利用线性规划得 01 1 1 x y xy 化为求 zxy 的取值范围问题 zxyyxz 2 11 1yy xx 过点 1 1时 z 最小为 2 C 2 14 14 20102010 四川文 四川文 2 函数y log2x的图象大致是 A B C D 答案 C 解析 本题考查对数函数的图象和基本性质 用心 爱心 专心 15 15 20102010 安徽理 安徽理 6 设0abc 二次函数 2 f xaxbxc 的图象可能是 答案 D 解析 当0a 时 b c同号 C D 两图中0c 故0 0 2 b b a 选项 D 符合 方法技巧 根据二次函数图像开口向上或向下 分0
9、a 或0a 两种情况分类考虑 另 外还要注意 c 值是抛物线与 y 轴交点的纵坐标 还要注意对称轴的位置或定点坐标的位置 等 二 填空题二 填空题 1 1 20102010 上海文 上海文 9 函数 3 log 3 f xx 的反函数的图像与y轴的交点坐标是 答案 0 2 解析 考查反函数相关概念 性质 法一 函数 3 log 3 f xx 的反函数为33 x y 另 x 0 有 y 2 法二 函数 3 log 3 f xx 图像与 x 轴交点为 2 0 利用对称性可知 函数 3 log 3 f xx 的反函数的图像与y轴的交点为 0 2 三 解答题三 解答题 1 1 20102010 四川理
10、 四川理 22 本小题满分 14 分 设 1 1 x x a f x a 0a 且1a g x 是f x 的反函数 设关于x的方程求 2 17 a t logg x x x 在区间 2 6 上有实数解 求t的 取值范围 用心 爱心 专心 当a e e为自然对数的底数 时 证明 2 2 2 21 n k nn g k n n 当 0 a 时 试比较 1 n k f k n 与 4 的大小 并说明理由 1 2 本小题考产函数 反函数 方程 不等式 导数及其应用等基础知识 考察化归 分类整 合等数学思想方法 以及推理论证 分析与解决问题的能力 解 1 由题意 得ax 1 1 y y 0 故g x 1
11、 log 1 a x x x 1 1 由 2 1 loglog 1 7 1 aa tx xxx 得 t x 1 2 7 x x 2 6 则t 3x2 18x 15 3 x 1 x 5 列表如下 x2 2 5 5 5 6 6 t 0 t5 极大值 32 25 所以t最小值 5 t最大值 32 所以t的取值范围为 5 32 5 分 2 2 1231 lnlnlnln 3451 n k n g k n ln 1231 3451 n n ln 1 2 n n 令u z lnz2 2 1z z 2lnz z 1 z z 0 则u z 2 21 1 zz 1 1 z 2 0 所以u z 在 0 上是增函数
12、 用心 爱心 专心 又因为 1 2 n n 1 0 所以u 1 2 n n u 1 0 即ln 1 1 2 2 1 1 2 n n n nn n 0 即 2 2 2 2 1 n k nn g k n n 9 分 3 设a 1 1p 则p 1 1 f 1 12 1 1 a ap 3 当n 1 时 f 1 1 2 p 2 4 当n 2 时 设k 2 k N 时 则f k 1 12 1 1 1 1 1 k kk p pp 1 122 2 kk kkk C pC pC p 所以 1 f k 1 12 2444 11 1 1 kk CCk kkk 从而n 1 2 n k f k n 1 44 21n n
13、 1 4 1n n 1 所以n 1 n k f k f 1 n 1 n 4 综上所述 总有 1 n k f k n 4 2 2 20102010 四川文 四川文 22 本小题满分 14 分 设 1 1 x x a f x a 0a 且1a g x 是f x 的反函数 求 g x 用心 爱心 专心 当 2 6 x 时 恒有 2 log 1 7 a t g x xx 成立 求 t 的取值范围 当 0 a 时 试比较 f 1 f 2 f n 与4n 的大小 并说明理由 1 2 用心 爱心 专心 3 3 20102010 湖北理 湖北理 17 本小题满分 12 分 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损
14、耗 房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层 某幢 建筑物要建造可使用 20 年的隔热层 每厘米厚的隔热层建造成本为 6 万元 该建筑物每年 的能源消耗费用 C 单位 万元 与隔热层厚度 x 单位 cm 满足关系 C x 010 35 k x x 若不建隔热层 每年能源消耗费用为 8 万元 设 f x 为隔热层建造 费用与 20 年的能源消耗费用之和 求 k 的值及 f x 的表达式 隔热层修建多厚时 总费用 f x 达到最小 并求最小值 20092009 年高考题年高考题 1 2009 年广东卷文 若函数 yf x 是函数1 x yaaa 0 且 的反函数 且 2 1f 则 f x A x 2 log
15、 B x 2 1 C x 2 1 log D 2 2 x 答案 A 解析 函数1 x yaaa 0 且 的反函数是 logaf xx 又 2 1f 即 log 21 a 用心 爱心 专心 所以 2a 故 2 logf xx 选 A 2 2009 北京文 为了得到函数 3 lg 10 x y 的图像 只需把函数lgyx 的图像上所有 点 A 向左平移 3 个单位长度 再向上平移 1 个单位长度 B 向右平移 3 个单位长度 再向上平移 1 个单位长度 C 向左平移 3 个单位长度 再向下平移 1 个单位长度 D 向右平移 3 个单位长度 再向下平移 1 个单位长度 答案 C w解析 本题主要考查
16、函数图象的平移变换 属于基础知识 基本运算的考查 3 2009 天津卷文 设 3 0 2 1 3 1 2 1 3log 2log cba 则 A a b c B a c b C b c a D b a c 答案 B 解析 由已知结合对数函数图像和指数函数图像得到10 0 ca 而13log2 b 因此选 B 考点定位 本试题考查了对数函数和指数函数的性质运用 考查了基本的运算能 4 2009 四川卷文 函数 2 1 Rxy x 的反函数是 A 0 log1 2 xxy B 1 1 log2 xxy C 0 log1 2 xxy D 1 1 log2 xxy 答案 C C 解析 由yxyxy x 22 1 log1log12 又因原函数的值域是0 y 其反函数是 0 log1 2 xxy 5 2009 全国卷 理 设 323 log log3 log2abc 则 A abc B acb C bac D bca 答案 A 解析 322 log2log2log3bc 2233 log3log 2log 3logababc 6 2009 湖南卷文 2 log2的值为 A 2 B 2 C 1 2
