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1、函数的概念 一 映射 如果按照某种对应法则f 对于集合A中的任何一个元素 在集合B中都有唯一的元素和它对应 那么这种对应叫做集合A到集合B的映射 记作f A B 二 一一映射 如果f A B是集合A到集合B的映射 对于集合A中的不同元素 在集合B中有不同的象 且B中的每一个元素都有原象 那么这种映射叫做一一映射 若a A b B 且a和b对应 则称b是a的象 a是b的原象 三 函数 设A B是两个非空数集 如果按照某种对应法则f 对于集合A中的任何一个数x 在集合B中都有唯一确定的数和它对应 那么称f A B为集合A到B的一个函数 变量x叫做自变量 x取值的集合A叫做函数的定义域 与x的值对应
2、的y的值叫做函数值 函数值的集合叫做函数的值域 解决一切函数问题必须认真确定该函数的定义域 函数的定义域包含三种形式 表示函数的对应法则有解析法 列表法与图象法 其中解析法是最基本 最重要的方法 中学数学学习的函数基本上都能用解析法表示 四 函数的三要素 1 对应法则 若一个函数的定义域分成了若干个子区间 而每个子区间的解析式不同 这种函数叫做分段函数 若一个函数的自变量又是另一个变量的函数 y f u u g x 即y f g x 这种函数叫做复合函数 对应法则 定义域 值域是函数的三要素 其中起决定作用的是对应法则和定义域 2 定义域 自然型 指使函数的解析式有意义的自变量x取值的集合 如
3、 分式函数的分母不为零 偶次根式函数的被开方数为非负数 对数函数的真数为正数 等等 限制型 指命题的条件或人为对自变量x的限制 这是函数学习中的重点 往往也是难点 有时这种限制比较隐蔽 容易出错 实际型 解决函数的综合问题与应用问题时 应认真考察自变量x的实际意义 3 值域 配方法 将函数转化为二次函数 判别式法 将函数转化为二次方程 不等式法 运用不等式的各种性质 中学数学要求能用初等方法求一些简单函数的值域 注 运用初等方法求函数的值域经常要对函数的解析式进行变换 但必须保证变换的等价性 否则可能引起所求值域的扩大或缩小 另外 求函数的值域必须认真考察函数的定义域 如果定义域是闭区间 则先
4、求得函数的最大值 最小值 得函数的值域 函数法 运用有关函数的性质 或抓住函数的单调性 函数图象等 1 求下列函数的定义域 典型例题 3 已知函数f x 的定义域是 a b 且a b 0 求下列函数的定义域 1 f x2 2 g x f x f x 3 h x f x m f x m m 0 4 当k为何值时 函数y lg kx2 4kx 3 的定义域为R 又当k为何值时 值域为R 值域为R时 定义域又如何 3 1 3 2 a a a0时原式不定义函数 3 3 4 当k为何值时 函数y lg kx2 4kx 3 的定义域为R 又当k为何值时 值域为R 值域为R时 定义域又如何 值域为R时 定义
5、域为 x1 x2 其中 x1 x2为一元二次方程kx2 4kx 3 0的两根且x1 x2 3 已知函数f x 的定义域是 a b 且a b 0 求下列函数的定义域 1 f x2 2 g x f x f x 3 h x f x m f x m m 0 5 求函数y loga ax k 2x a 0且a 1 的定义域 解 要使函数有意义 必须ax k 2x 0 得 当a 2时 若k 1 则x R 若k 1 则x不存在 6 已知关于z的方程lg2z lgz2 3x 0 x 0 有两实根 令y log log 0且 1 请把y表示成x的函数并求其定义域和值域 解 原方程即为 lg2z 2lgz 3x 0 x 0 由已知可得 4 12x 0 其值域为 2 2
