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1、第四章立体及其表面交线 基本几何体的投影 1 截交线 2 截交线与相贯线测绘案例 4 在AutoCAD中绘制截交线和相贯线 5 相贯线 3 第一节基本几何体的投影 左视图的图形虽然和主视图相同 但其左右两条边的含义和主视图不同 这两条边表示柱面上最前和最后两条素线的投影 即柱面对W面的转向轮廓线 该转向轮廓线的水平投影积聚到圆的最前和最后点 此外 左视图中 V面的转向轮廓线和轴线重合 不画 圆柱体的投影及其表面上的点 1 已知柱面上M点的V面投影m 该点的其他两面投影可以求出来 即由于圆柱面的水平投影积聚成圆 所以M点的水平投影一定在该圆上 又因为m 可见 不可见时 需用圆括号括起来 所以M点
2、的水平投影一定在前半个柱面上 根据 长对正 即可求出M点的水平投影m 根据 高平齐 宽相等 即可求出M点的侧面投影m 因为M点在左半个柱面上 所以m 可见 如图所示 若圆柱体的轴线垂直于H面 则俯视图的可见轮廓为圆 这个圆反映了圆柱体上 下底面的实形 主视图的可见轮廓为矩形 矩形的上下两边为圆柱体上下两底面的投影 左右两边为圆柱面最左和最右两条素线的投影 这两条素线将圆柱面分为前后两部分 前半个柱面可见 后半个柱面不可见 我们把这两条素线称为柱面对V面的转向轮廓线 该转向轮廓线的水平投影积聚到圆的最左和最右点 侧面投影和轴线重合 圆锥体的投影及其表面上的点 2 如图所示 圆锥体的投影和圆柱体的
3、投影类似 俯视图为圆 这个圆表示圆锥体的底面实形和锥面的投影 锥面上任一素线的投影均为圆的半径 主视图和左视图为等腰三角形 主视图的两腰为锥面对V面的转向轮廓线的投影 该转向轮廓线是正平线 水平投影是平行于X轴的半径 左视图的两腰为锥面对W面的转向轮廓线的投影 该转向轮廓线是侧平线 水平投影是垂直于X轴的半径 V面的转向轮廓线和轴线重合 辅助素线法 辅助圆法 已知锥面上M点的V面投影m 求M点的其他两面投影的方法有两种 辅助素线法的作图原理是过锥顶和M点作一条素线 求出该素线的三面投影 则M点的投影一定在该素线的投影上 作图步骤如下 参见图 a 方法一 辅助素线法 在主视图上 连接锥顶s 和m
4、 并延长 使其与底圆相交于e 根据m 的可见性 求出辅助素线与底圆交点的水平投影e 由于m 可见 所以过M点的辅助素线与底圆的交点E的水平投影在前半个圆上 在俯视图中 根据点的投影规律可求出交点的水平投影e 连接圆心s和点e 即可得到辅助素线的水平投影 根据 长对正 和M点从属于辅助素线 可求出M点的水平投影m 根据 高平齐 宽相等 即可求出M点的侧面投影m 方法二 辅助圆法 辅助圆法的原理是过M点在锥面上作一个与底面平行的辅助圆 求出该圆的水平投影 则M点的水平投影一定在该圆上 根据m 的可见性和 长对正 即可求出水平投影m 然后由m 和m求出m 作图步骤如图 b 所示 b a 2 3 圆球
5、体的三个视图均为圆 但这三个圆代表球体上三个不同方向的纬圆 是球面对投影面的转向轮廓线的投影 这三个纬圆分别平行于三个投影面 如图 a 所示 圆球体的投影及其表面上的点 已知球面上一点M的V面投影m 如何求出M点的水平投影和侧面投影呢 可假想用水平面过M点将球面剖切成上下两个球冠 则M点一定在球冠的轮廓圆上 该轮廓圆的水平投影反映实形 画出其水平投影后 根据m 的可见性可求出M点的水平投影m 不可见 用括号括起来 最后由m和m 可求出侧面投影m 如图 b 所示 a b 4 圆环的母线是一个圆 轴线是和母线共面但不通过圆心的直线 如右图所示 其中 母线上的外半圆BAD形成外环面 内半圆BCD形成
6、内环面 圆环的投影及其表面上的点 圆环的水平投影是两个圆 分别是上 下半环表面的外形轮廓线的水平投影 也是环面对H面的转向轮廓线的投影 细点画线圆是母线圆心轨迹的投影 圆环的V面投影由两个小圆和切线组成 两个小圆是环面对V面转向轮廓线的投影 其中 虚线半圆是内环面上前 后内半环面的分界线 实线半圆是外环面上前 后外半环面的分界线 两个圆的切线是环面上最高和最低纬线圆的投影 圆环在W面上的投影和在V面上的投影类似 圆环对W面的转向轮廓线将环面分为左 右两个内 外半环面 内半环面不可见 如右图所示 4 求E点的H面和V面投影的作图步骤如下 如图所示 已知环面上E F点的V面投影e 和 f 求其H面
7、和V面的投影 作图原理是辅助平面法因此 只要求出交线圆的水平投影 则根据点的投影规律和可见性即可求出E F点的水平投影 最后求出其W面投影 作辅助平面 在V面投影上过e 点作水平线 辅助平面的V面投影 则该水平线与小圆实线部分的交点到轴线的距离为辅助平面与外环面的交线圆半径 与小圆虚线部分的交点到轴线的距离为辅助平面与内环面的交线圆半径 根据m 的可见性 求出辅助素线与底圆交点的水平投影e 由于m 可见 所以过M点的辅助素线与底圆的交点E的水平投影在前半个圆上 在俯视图中 根据点的投影规律可求出交点的水平投影e 连接圆心s和点e 即可得到辅助素线的水平投影 求E点的水平投影e 由于E点的V面投
8、影可见 所以E点在前半外环面上 画出辅助平面和外环面交线圆的水平投影 过e 点作投射线和该圆有两个交点 由于E点在前半外环面上 所以E点的水平投影e为前面的那个点 由于E点在上半个环面上 所以e点可见 根据 高平齐 宽相等 即可求出M点的侧面投影m 求F点水平投影的方法和求E点水平投影的方法相同 但由于F点的V面投影 f 不可见 所以F点可能在后半外环面上 f3 也可能在前内半环面上 f1 或后半内环面上 f2 所以该点的位置有三种 如图所示 由于F点在右半环面上 所以F点的W面投影f1 f2 f3 均不可见 第二节截交线 圆柱面截交线 1 圆柱体被平面切割 柱面与平面的截交线右表所示的3种情
9、况 当立体被平面截切成两部分时 用来截切立体的平面称为截平面 截平面与立体表面的交线称为截交线 截交线围成的平面图形称为截断面 共有形 截交线是截平面和立体表面的共有线 封闭性 截交线是封闭的平面图形 基本性质 1 投影面垂直线 截平面垂直于轴线 截平面平行于轴线 截平面倾斜于轴线 当截平面与圆柱体的轴线垂直时 截交线为圆 当截平面与圆柱体的轴线平行时 截交线为矩形 当截平面与圆柱体的轴线倾斜时 截交线为椭圆 画出没有切割前圆柱体的三视图 求圆柱切割体的三视图 主要是求截交线的投影 其具体画图步骤如下 2 投影面垂直线 1 在截平面垂直于投影面的视图上确定截平面的位置 因截平面垂直于该投影面
10、所以截断面在该投影面上的投影为直线 根据立体图 或模型 即可确定截平面在该投影面上的投影 求截交线的其他两个视图 在投影为圆的视图上 截交线的投影和该圆重合 在投影不为圆的视图上 需要先根据截平面与圆柱轴线的位置关系 判断截交线的形状 然后再根据前两个视图求出该投影面上截交线的投影 如果投影为椭圆 要求出椭圆的长轴和短轴 再求出椭圆上的一些一般位置点 最后用曲线板连成光滑曲线 擦除已切去的轮廓线 然后描深图线 2 圆锥体被平面切割时 锥面与平面的截交线可分为下表所示的5种情况 圆锥面截交线 过锥顶 垂直于轴线 不过锥顶 与所有素线相交 不过锥顶 但平行于某条素线 不过锥顶 但平行于轴线 直线
11、圆 椭圆 抛物线 双曲线 截平面位置 截交线 立体图 投影图 当截平面过圆锥体的锥顶时 截断面为等腰三角形 当截平面垂直于圆锥体的轴线时 截断面为圆 当截平面与圆锥体的轴线所成的角大于1 2锥角时 截交线为椭圆 当截平面与圆锥体的轴线所成的角等于1 2锥角 即截断面与圆锥体的某条素线平行时 截交线为抛物线 当截平面与圆锥体的轴线平行 但不过锥顶时 截交线为双曲线 先画出未切割前圆锥体的三视图 根据立体图 或模型 画出截断面积聚为直线的投影 截交线的投影为曲线时 要先求出特殊点的投影 立体对投影面转向轮廓线上的点和特征点称作特殊点 如椭圆的长短轴的端点 双曲线的顶点 圆的象限点等 用 辅助素线法
12、 或 辅助圆法 求一般位置点的投影 用曲线板连接成光滑曲线 然后擦去已切去的轮廓线 最后描深图线 1 投影面垂直线 2 圆锥截交线为曲线时的画图步骤 2 3 圆球体被平面切割 不论截平面处于什么位置 球面和截平面的空间交线总为圆 当圆球体被投影面平行面切割时 截断面在与其平行的投影面上的投影为圆 在其他两个投影面上的投影为直线 当圆球体被投影面垂直面切割时 截断面在其垂直的投影面上的投影为直线段 在其他两个投影面上的投影为椭圆 如表所示 圆球面截交线 截平面为水平面 截平面为正平面 截平面为正垂面 形体分析 基础形体为圆柱体 先用一个侧平面和水平面切去一角 侧平面和柱面的交线为线段 水平面和柱
13、面的交线为圆弧 再用两个正平面和一个水平面切去一个矩形槽 矩形槽的侧面和柱面的交线为线段 槽的底面与柱面的交线为圆弧 如下图所示 根据右图所示立体图 绘制其三视图 案例1 4 圆球面截交线 主视图的投射方向由例图可知 先画出未切割前圆柱体的三视图 画切角的投影 切角的投影要先画主视图 再画俯视图 然后由主视图和俯视画矩形切槽的投影 矩形切槽的投影要先画左视图 再画俯视图 主视图由俯视图和左视图求出 主视图中 矩形切槽的底面不可见 因此要画成虚线 整理轮廓线 将切去的轮廓线擦除并加深图线 画图步骤 参见下图 4 形体分析和线面分析 基础形体为圆柱体 用一个水平面和正垂面切去一角 水平面和柱面的交
14、线为线段 截断面形状为矩形 正垂面和柱面的交线为椭圆弧 椭圆弧的圆心为O点 O点在圆柱体的轴线上 长轴的端点为A A点在圆柱面的最上方素线上 柱面对V面的转向轮廓线 短轴的端点为B和C B C点在柱面最后和最前素线上 柱面对H面的转向轮廓线 E F是椭圆弧的端点 也是水平截断面和柱面交线的端点 根据右下图所示的立体图 绘制其三视图 案例2 4 主视图的投射方向由例图已知 先画出没有切割之前圆柱体的三视图 根据案例所示立体图 在主视图上确定截断面的位置和投影 绘制左视图 矩形截断面在左视图中为直线 椭圆弧截交线在左视图中为圆弧 画图步骤 参见下图 由主视图和左视图绘制俯视图 椭圆弧截交线的俯视图
15、仍为椭圆弧 可先求出截交线上的特殊点 转向轮廓线上的点和交线的端点 再求出一些一般位置点 求一般位置点时可利用对称性求出对称点 然后用曲线板光滑连接各点 整理轮廓线 将切去的轮廓线擦除并加深图线 4 形体分析和线面分析 矩形槽的侧面P为侧平面 并与圆锥的轴线平行 所以平面P和锥面的交线为双曲线段 并且侧面投影反映实形 槽的顶面R为水平面 并与圆锥的轴线垂直 所以平面R和锥面的交线为圆弧 且水平投影反映实形 圆弧的半径可从主视图上求得 如图所示 已知锥台切割矩形槽后的主视图 参考立体图补画俯视图和左视图 案例3 4 画出没有切割前锥台的左视图和俯视图 画图步骤 参见下图 a 求矩形槽的侧面P与锥
16、面交线 即双曲线 的顶点和端点 假想侧平面P将该锥台切断 则右图 b 中的点3 为双曲线的顶点 该顶点在锥面对V面的转向轮廓线上 其W面投影和轴线重合 双曲线的端点在锥台的底圆上 求双曲线弧的上端点 在主视图上取特殊点4 和5 然后用辅助圆法确定俯视图和左视图中双曲线弧上这两个点的投影 b c 4 用辅助圆法求双曲线弧上的一般位置点 然后用光滑曲线依次连接这些特殊点和一般位置点 求矩形槽的顶面R与锥面的交线 该交线为圆弧 圆弧的水平投影反映实形 W面的投影为线段 整理轮廓线 从主视图上可以看出 锥面对W面的转向轮廓线被矩形槽切去了一段 圆台的底圆也被切去了一段圆弧 所以俯视图不再是完整的圆 d e f 4 形体分析和线面分析 矩形切槽的侧面P 底面R与球面的交线均为圆弧 侧面P和球面的交线在W面上的投影反映实形 水平面投影积聚成线段 底面R和球面的交线在H面上的投影反映实形 侧面投影积聚成线段 如右图所示 已知切槽半圆球的主视图 参考立体图补画俯视图和左视图 案例4 4 先画出未切割前半球的左视图和俯视图 求侧平面P和球面交线的投影 先画左视图 半径为R1 后画俯视图 求水平面R和球面
