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1、浙江省诸暨市牌头中学高中数学向量与三角形“四心”同步练习一、四心的概念介绍（1）重心中线的交点：重心将中线长度分成2：1；（2）垂心高线的交点：高线与对应边垂直；（3）内心角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等；（4）外心中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等。二、四心与向量的结合（1）是的重心.（2）为的垂心.（3）设,是三角形的三条边长，O是ABC的内心为的内心.（4）为的外心。例1：是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足， ，则点的轨迹一定通过的（ ）A外心 B内心 C重心 D垂心例2：（03全国理4）是平面上一定点，是平面上不
2、共线的三个点，动点满足， ，则点的轨迹一定通过的（ ）A外心 B内心 C重心 D垂心例3：是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足， ，则点的轨迹一定通过的（ ）A外心 B内心 C重心 D垂心练习题：1、已知三个顶点及平面内一点，满足，若实数满足：，则的值为 （ ）A2 B C3 D62、若的外接圆的圆心为O，半径为1，则( )A B0 C1 D3、是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，若，则是的 A外心 B内心 C重心 D垂心 （ ）4、已知非零向量与满足(+)=0且= , 则ABC为 ( )A三边均不相等的三角形 B直角三角形 C等腰非等边三角形 D等边三角形5、已知三个顶点，若
3、，则为（ ）A等腰三角形 B等腰直角三角形 C直角三角形 D既非等腰又非直角三角形6、已知A、B、C是平面上不共线的三点，O是三角形ABC的重心，动点P满足,则点P一定为三角形ABC的 （ ）A、AB边中线的中点 B、AB边中线的三等分点（非重心） C、重心 D、AB边的中点7、已知ABC，P为三角形所在平面上的一点，且点P满足：，则P点为三角形的 外心 内心 C 重心 D 垂心 （ ）8、在ABC中，动点P满足：，则P点轨迹一定通过ABC的（ ） 外心 内心 C 重心 D 垂心9、的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H，则实数m = 10、点O是所在平面内的一点，满足，则点O是的（ ）A
4、、三个内角的角平分线的交点B、三条边的垂直平分线的交点（C）三条中线的交点（D）三条高的交点11、已知点O在ABC内部，且有，则OAB与OBC的面积之比为 12、若 ABC 内接于以O为圆心，1为半径的圆，且 ，则 的值为（ ）(A) (B) (C) (D) 13、设G为的重心，则的值= . 14、为的外心，为钝角，是边的中点，则的值 15、已知O为ABC的外心，若，且32x25y25，则 16、已知O是ABC的外心，AB=2，AC=3，x+2y=1()，若则 班级： 姓名： 向量与三角形的“四心”一、四心的概念介绍（1）重心中线的交点：重心将中线长度分成2：1；（2）垂心高线的交点：高线与对
5、应边垂直；（3）内心角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等；（4）外心中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等。二、四心与向量的结合（1）是的重心.（2）为的垂心.（3）设,是三角形的三条边长，O是ABC的内心为的内心.（4）为的外心。例1：是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足， ，则点的轨迹一定通过的（ C ）A外心 B内心 C重心 D垂心例2：（03全国理4）是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足， ，则点的轨迹一定通过的（ B ）A外心 B内心 C重心 D垂心例3：是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足， ，
6、则点的轨迹一定通过的（ D ）A外心 B内心 C重心 D垂心练习题：1、已知三个顶点及平面内一点，满足，若实数满足：，则的值为 （ C ）A2 B C3 D62、若的外接圆的圆心为O，半径为1，则( D )A B0 C1 D3、是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，若，则是的 A外心 B内心 C重心 D垂心 （ D ）4、已知非零向量与满足(+)=0且= , 则ABC为 ( D )A三边均不相等的三角形 B直角三角形 C等腰非等边三角形 D等边三角形5、已知三个顶点，若，则为（ C ）A等腰三角形 B等腰直角三角形 C直角三角形 D既非等腰又非直角三角形6、已知A、B、C是平面上不共线的三点
7、，O是三角形ABC的重心，动点P满足,则点P一定为三角形ABC的 （ B ）A、AB边中线的中点 B、AB边中线的三等分点（非重心） C、重心 D、AB边的中点7、已知ABC，P为三角形所在平面上的一点，且点P满足：，则P点为三角形的 外心 内心 C 重心 D 垂心 （ B）8、在ABC中，动点P满足：，则P点轨迹一定通过ABC的（ A ） 外心 内心 C 重心 D 垂心9、的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H，则实数m = 1 10、点O是所在平面内的一点，满足，则点O是的（ D）A、三个内角的角平分线的交点B、三条边的垂直平分线的交点（C）三条中线的交点（D）三条高的交点11、已知点
8、O在ABC内部，且有，则OAB与OBC的面积之比为 4：1 12、若 ABC 内接于以O为圆心，1为半径的圆，且 ，则 的值为（ A ）(A) (B) (C) (D) 13、设G为的重心，则的值= . 14、为的外心，为钝角，是边的中点，则的值 5 15、已知O为ABC的外心，若，且32x25y25，则 10 16、已知O是ABC的外心，AB=2，AC=3，x+2y=1()，若则 附件1：律师事务所反盗版维权声明附件2：独家资源交换签约学校名录（放大查看）学校名录参见：http:/ 姓名： 向量与三角形的“四心”一、四心的概念介绍（1）重心中线的交点：重心将中线长度分成2：1；（2）垂心高线的
9、交点：高线与对应边垂直；（3）内心角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等；（4）外心中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等。二、四心与向量的结合（1）是的重心.（2）为的垂心.（3）设,是三角形的三条边长，O是ABC的内心为的内心.（4）为的外心。例1：是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足， ，则点的轨迹一定通过的（ C ）A外心 B内心 C重心 D垂心例2：（03全国理4）是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足， ，则点的轨迹一定通过的（ B ）A外心 B内心 C重心 D垂心例3：是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，
10、动点满足， ，则点的轨迹一定通过的（ D ）A外心 B内心 C重心 D垂心练习题：1、已知三个顶点及平面内一点，满足，若实数满足：，则的值为 （ C ）A2 B C3 D62、若的外接圆的圆心为O，半径为1，则( D )A B0 C1 D3、是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，若，则是的 A外心 B内心 C重心 D垂心 （ D ）4、已知非零向量与满足(+)=0且= , 则ABC为 ( D )A三边均不相等的三角形 B直角三角形 C等腰非等边三角形 D等边三角形5、已知三个顶点，若，则为（ C ）A等腰三角形 B等腰直角三角形 C直角三角形 D既非等腰又非直角三角形6、已知A、B、C是平面上不共线的三点，O是三角形ABC的重心，动点P满足,则点P一定为三角形ABC的 （ B ）A、AB边中线的中点 B、AB边中线的三等分点（非重心） C、重心 D、AB边的中点7、已知ABC，P为三角形所在平面上的一点，且点P满足：，则P点为三角形的 外心 内心 C
