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1、二次函数与幂函数【考点梳理】1二次函数(1)二次函数解析式的三种形式一般式：f(x)ax2bxc(a0)；顶点式：f(x)a(xh)2k(a0)，顶点坐标为(h，k)；零点式：f(x)a(xx1)(xx2)(a0)，x1，x2为f(x)的零点(2)二次函数的图象与性质函数yax2bxc(a0)yax2bxc(a0)图象定义域R值域单调性在上减，在上增在上增，在上减对称性函数的图象关于x对称2幂函数(1)定义：形如yx(R)的函数称为幂函数，其中x是自变量，是常数(2)五种常见幂函数的图象与性质函数特征性质yxyx2yx3yxyx1图象定义域RRRx|x0x|x0值域Ry|y0Ry|y0y|y0
2、奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增(，0)减，(0，)增增增(，0)和(0，)减公共点(1,1)【考点突破】考点一、求二次函数的解析式【例1】已知二次函数f(x)满足f(2)1，f(1)1，且f(x)的最大值是8，则此二次函数的解析式是 答案 f(x)4x24x7解析 法一(利用一般式)：设f(x)ax2bxc(a0).由题意得解得所求二次函数为f(x)4x24x7.法二(利用顶点式)：设f(x)a(xm)2n.f(2)f(1)，抛物线的图象的对称轴为x.m.又根据题意函数有最大值8，n8.yf(x)a28.f(2)1，a281，解得a4，f(x)4284x24x7.法三(利用零点式)：由已知f(
3、x)10的两根为x12，x21，故可设f(x)1a(x2)(x1)，即f(x)ax2ax2a1.又函数的最大值是8，即8，解得a4，所求函数的解析式为f(x)4x24x7.【类题通法】用待定系数法求二次函数的解析式，关键是灵活选取二次函数解析式的形式，选法如下【对点训练】已知二次函数f(x)的图象经过点(4，3)，它在x轴上截得的线段长为2，并且对任意xR，都有f(2x)f(2x)，则f(x)的解析式是 答案 f(x)x24x3解析 f(2x)f(2x)对xR恒成立，f(x)的对称轴为x2.又f(x)的图象被x轴截得的线段长为2，f(x)0的两根为1和3.设f(x)的解析式为f(x)a(x1)
4、(x3)(a0)又f(x)的图象过点(4，3)，3a3，a1.所求f(x)的解析式为f(x)(x1)(x3)，即f(x)x24x3.考点二、二次函数的图象与性质【例2】如图是二次函数yax2bxc图象的一部分，图象过点A(3，0)，对称轴为x1.给出下面四个结论：b24ac；2ab1；abc0；5a0，即b24ac，正确；对称轴为x1，即1，2ab0，错误；结合图象知，当x1时，y0，即abc0，错误；由对称轴为x1知，b2a，又函数图象开口向下，a0，5a2a，即5a0，二次函数f(x)ax2bxc的图象可能是()答案 D解析 A项，a0，0，b0，c0，由图知f(0)c0，故A错；B项，a
5、0，b0，又abc0，c0，故B错；C项，a0，0，又abc0，c0，而f(0)c0，0，b0，c0，由图知f(0)c0)，则二次函数f(x)在闭区间m，n上的最大值、最小值有如下的分布情况：对称轴与区间的关系mn，即(n，)mn，即(m，n)m0时，函数f(x)ax22x的图象的开口方向向上，且对称轴为直线x.当1，即a1时，f(x)ax22x的图象对称轴在区间0，1内，f(x)在上单调递减，在上单调递增，f(x)minf.当1，即0a1时，函数f(x)ax22x的图象对称轴在区间0，1的右侧，f(x)在0，1上单调递减，f(x)minf(1)a2.(3)当a0时，函数f(x)ax22x的图
6、象的开口方向向下，且对称轴x0，a0恒成立的充要条件是ax2bxcA在区间D上恒成立，等价于在区间D上f(x)minA，接下来求出函数f(x)在区间D上的最小值；不等式f(x)B在区间D上恒成立，等价于在区间D上f(x)max0都成立，则实数a的取值范围为()ABCD答案 B解析 由题意得，对一切x，f(x)0都成立，即a22在x上恒成立，而22，则实数a的取值范围为.考点三、幂函数的图象与性质【例5】幂函数yx (mZ)的图象如图所示，则m的值为()A1 B0 C1 D2答案 C解析 从图象上看，由于图象不过原点，且在第一象限下降，故m22m30，即1mcb解析 yx (x0)为增函数，ac.yx(xR)为减函数，cb.acb.【类题通法】幂值大小比较的常见类型及解题策略(1)同底不同指，可以利用指数函数单调性进行比较(2)同指不同底，可以利用幂函数单调性进行比较(3)既不同底又不同指，常常找到一个中间值，通过比较两个幂值与中间值的大小来判断两个幂值的大小【对点训练】已知a2，b4，c25，则()Abac Babc Cbca Dcab答案 A解析 因为a2，b42，由函数y2x在R上为增函数知，ba；又因为a24，c255，由函数yx在(0，)上为增函数知，ac.综上得bac.故选A.
