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1、任意角、弧度制及任意角的三角函数【考点梳理】1角的概念的推广(1)定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形(2)分类(3)终边相同的角：所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合S|k360，kZ2弧度制的定义和公式(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad.(2)公式：角度与弧度的换算：a1 rad；b.1 rad.弧长公式：lr|.扇形面积公式：Slrr2.3任意角的三角函数三角函数正弦余弦正切定义设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么y叫做的正弦，记作sin x叫做的余弦，记作cos 叫做的正切，记
2、作tan 各象限符号三角函数线有向线段MP为正弦线有向线段OM为余弦线有向线段AT为正切线【考点突破】考点一、角的有关概念【例1】(1)若是第二象限角，则一定不是()A第一象限角B第二象限角C第三象限角D第四象限角(2)已知角45，在区间720，0内与角有相同终边的角_.答案 (1) C(2) 675或315解析 (1)2k2k，kZ，kZ.若k3n(nZ)，是第一象限角；若k3n1(nZ)，是第二象限角；若k3n2(nZ)，是第四象限角故选C.(2)由终边相同的角的关系知k36045，kZ，取k2，1，得675或315.【类题通法】1与角终边相同的角可以表示为2k(kZ)的形式，是任意角；相
3、等的角终边一定相同，终边相同的角不一定相等；角度制与弧度制不能混用2由所在象限，判定所在象限，应先确定的范围，并对整数k的奇、偶情况进行讨论【对点训练】1若角是第二象限角，则是()A第一象限角B第二象限角C第一或第三象限角D第二或第四象限角答案 C解析 是第二象限角，2k2k，kZ，kk，kZ.当k为偶数时，是第一象限角；当k为奇数时，是第三象限角综上，是第一或第三象限角2与2 019的终边相同，且在0360内的角是_答案 219解析 2 0192195360，在0360内终边与2 019的终边相同的角是219.考点二、扇形的弧长、面积公式【例2】已知一扇形的圆心角为，半径为R，弧长为l.若，
4、R10 cm，求扇形的面积.解析 由已知得，R10，S扇形R2102(cm2).【变式1】若本例条件不变，求扇形的弧长及该弧所在弓形的面积.解析 lR10(cm)，S弓形S扇形S三角形lRR2sin 10102(cm2).【变式2】若本例条件改为：“若扇形周长为20 cm”，当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大？解析 由已知得，l2R20.所以SlR(202R)R10RR2(R5)225，所以当R5 cm时，S取得最大值25 cm2，此时l10 cm，2 rad.【类题通法】应用弧度制解决问题的方法：(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度；(2)求扇形面积最大
5、值的问题时，常转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决；(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形.【对点训练】1已知扇形的圆心角为，面积为，则扇形的弧长等于_.答案 解析 设扇形半径为r，弧长为l，则解得2若一扇形的圆心角为72，半径为20 cm，则扇形的面积为()A40 cm2 B80 cm2 C40 cm2 D80 cm2答案 B解析 72，S扇形r220280(cm2)3已知扇形周长为40，当它的半径和圆心角分别取何值时，扇形的面积最大？解析 设圆心角是，半径是r，则2rr40.又Sr2r(402r)r(20r)(r10)2100100.当且仅当r1
6、0时，Smax100，此时2101040，2.所以当r10，2时，扇形的面积最大考点三、三角函数的定义【例3】已知角的终边上一点P(，m)(m0)，且sin ，求cos ，tan 的值解析 由题设知x，ym，r2|OP|22m2(O为原点)，r.sin ，r2，即3m28，解得m.当m时，r2，x，y，cos ， tan ；当m时，r2，x，y，cos ， tan .【类题通法】用定义法求三角函数值的三种情况(1)已知角终边上一点P的坐标，则可先求出点P到原点的距离r，然后用三角函数的定义求解；(2)已知角的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后用三角函数的
7、定义来求相关问题(3)若角终边上的点的坐标中含参数，要讨论参数的各种情况，以确定角终边所在的象限，进一步正确得出各个三角函数值此时注意不要漏解或多解【对点训练】已知角的终边过点P(12，5)，则cos _.答案 解析 角的终边过点P(12，5)，x12，y5，r13，cos .【例4】若sin tan 0，且0，则角是()A第一象限角B第二象限角C第三象限角D第四象限角答案 C解析 由sin tan 0可知sin ，tan 异号，则为第二或第三象限角由0可知cos ，tan 异号，则为第三或第四象限角综上可知，为第三象限角【类题通法】根据三角函数定义中x，y的符号来确定各象限内三角函数的符号，理解并记忆：“一全正、二正弦、三正切、四余弦”.【对点训练】已知点P(tan ，cos )在第三象限，则角的终边在第_象限()A一 B二 C三 D四答案 B解析 由题意知tan 0，cos 0，是第二象限角.
