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1、2019届湘赣十四校高三联考第一次考试数学（文科）试卷由长郡中学；衡阳八中；永州市四中；岳阳县一中；湘潭县一中；湘西州民中；九江市一中；石门一中；澧县一中；益阳市一中；桃源县一中；株洲市二中；麓山国际；江西南昌二中联合命题.炎德文化审校、制作总分：150分 时量：120分钟考试时间：2019年3月9日14:3016:30第卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合，集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】求解出集合表示的范围，然后根据交集定义来求解.【详解】由得： 又本题正确选项：【点睛】本题考查集合的基
2、本运算中的交集运算，属于基础题.2.设复数在复平面内对应的点位于第一象限，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】将整理为，可知实部和虚部均大于零，得到不等式组，求得取值范围.【详解】对应的点在第一象限 本题正确选项：【点睛】本题考查复数的基础运算和几何意义，属于基础题.3.已知下表所示数据的回归直线方程为，则实数的值为（ ）2345648111418A. 2.6B. -2.6C. -2.8D. -3.4【答案】B【解析】【分析】根据最小二乘法：，求得平均数后代入回归直线即可求得结果.【详解】由题意得：；本题正确选项：【点睛】本题考查利用最小二乘法求解回归直线问题
3、，关键在于明确回归直线必过，因此代入点即可求解出.4.执行如图所示的程序框图，则输出的值为（ ）A. 7B. 23C. 47D. 63【答案】B【解析】【分析】根据程序框图条件，依次进行赋值推导，直到输出结果为止.【详解】当时，可知，又，循环当时，可知，又，循环当时，可知，又，输出则本题正确选项：【点睛】本题考查程序框图的运算，属于基础题.5.已知实数，则，的大小关系是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据的范围，依次求解出所处的范围，得到大小关系.【详解】，本题正确选项：【点睛】本题考查与对数有关的比较大小问题，关键在于能够通过临界值对进行区分，从而得到大小关系，属于基
4、础题.6.圆上到直线的距离等于2的点有（ ）A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个【答案】A【解析】【分析】首先判断出圆心到直线的距离，然后判断，与的关系，从而确定点的个数.【详解】圆的圆心为，半径为圆心到直线的距离可知，由上图可知，圆上到直线距离等于的点共有个本题正确选项：【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，由位置关系判断到直线距离为定值的点的个数，解题关键在于确定圆心到直线的距离，再进一步判断.7.已知函数，则（ ）A. 它的最小值为-1B. 它的最大值为2C. 它的图象关于直线对称D. 它的图象关于点对称【答案】C【解析】【分析】将整理成，然后依次判断各个选项，得到正确结果.【详解】选
5、项： 最小值为，所以错误；选项：由知，最大值为，所以错误；选项：当时，而是的对称轴，所以是的对称轴，所以正确；选项：当时，而是的对称中心，当时，所以是的对称中心，所以错误.本题正确选项：【点睛】本题考查型的函数的值域及性质，关键在于能够通过整体代入的方式，与图像进行整体对应，从而快速判断出结果.8.莱茵德纸草书是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目：把120个面包分给5个人，使每人所得成等差数列，且使较多的三份之和的是较少的两份之和，则最少的一份面包个数为（ ）A. 46B. 12C. 11D. 2【答案】B【解析】【分析】将问题转化为等差数列的问题，通过和，求解出即可.【详解】设
6、每个人所得面包数，自少而多分别为：且成等差数列由题意可知：，设公差为，可知： 所以最少的一份面包数为本题正确选项：【点睛】本题考查利用等差数列求解基本项的问题，关键在于将文字描述的内容转化为等差数列中的关系式，利用通项公式和求和公式求解出基本项.9.如图，分别沿长方形纸片和正方形纸片的对角线、剪开，拼成如图所示的平行四边形，且中间的四边形为正方形.在平行四边形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】假设正方形边长和长方形的长和宽，根据图形导出，然后分别求解出平行四边形面积和阴影部分的面积，利用几何概型求解出结果.【详解】由题意可知：设正方
7、形边长为，长方形长为，宽为则，即，又，即 平行四边形面积为阴影部分面积为：所求概率本题正确选项：【点睛】本题考查几何概型中的面积型的概率求解，关键在于能够通过图形得到之间的关系，从而能将几何概型的式子进行化简.10.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据三视图可知原几何体可通过长方体切割得到，可知长方体的外接球即为三棱锥的外接球，外接球半径为长方体体对角线的一半，求解出半径即可求出表面积.【详解】通过三视图还原，可知三棱锥为如下图所示的，可通过切割长方体得到所以长方体的外接球即为三
8、棱锥的外接球又，所以外接球半径：球的表面积为：本题正确选项：【点睛】本题考查空间几何体的三视图和外接球问题，关键在于能够通过割补的方式，将几何体放回长方体中，从而确定半径的长度.11.若函数的值域为，则实数的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先求出在上的值域，可知要想的整体值域为，在上的最大值为，最小值大于等于，由此求出临界点，得到的取值范围.【详解】当时，又对称轴为， 当时， 值域为且时，当时，令，解得在上单调递增，在上单调递减又 当时， 本题正确选项：【点睛】本题考查通过分段函数、利用函数的值域求解参数范围问题，解题关键是确定最值的范围和临界点.12.在中，
9、角，的对边分别为，若，且恒成立，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由边角关系式可得，再结合余弦定理得到，代入可得，利用基本不等式可得；将恒成立的不等式转化为与有关的不等式，利用二次函数图像特点，求解出的范围.【详解】 又 又，当且仅当时取等号 设，即当时，恒成立设则可知 可得：本题正确选项：【点睛】本题考查解三角形中边角关系式化简、基本不等式、二次函数成像问题.利用边角关系式求得的范围是解决问题的关键；难点在于通过二次函数图像来得到关于的不等式，讨论二次函数图像通常从以下三个方面来讨论：判别式；对称轴；区间端点值符号.第卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13
10、21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中对应题号后的横线上）13.已知向量，的夹角为，且，则_【答案】1【解析】【分析】对进行平方运算，代入已知量即可得到结果.【详解】本题正确结果：【点睛】本题考查复合向量模长的计算，先求出模长的平方是解题的关键，属于基础题.14.已知实数，满足，则目标函数的最大值为_【答案】10【解析】【分析】画出可行域，转化为求解在轴截距的最大值的问题，找到成立的点，代入即可求解.【详解】由约束条件可得可行域如下图所示：将转化为，则当在轴截距最大时，取最大值由下图
11、可知：当过点时，截距最大又 本题正确结果：【点睛】本题考查线性规划求解最值得问题，属于基础题.15.已知直线与函数的图象恰有四个公共点，则_【答案】-2【解析】【分析】利用数形结合可得直线与余弦函数图象在处相切，且，利用相切得a，利用公共点得a，从而得，进而得解.【详解】直线ya(x+2)过定点（2,0），如下图所示，由图可知，直线与余弦函数图象在x4处相切，且，即a(x4+2)cos，所以，a又，即直线的斜率为：a，因此a，即22.故答案为：2.【点睛】本题主要考查了函数与方程的应用，着重考查了学生的数形结合能力，属于难题.16.已知抛物线：的焦点为双曲线：的顶点，直线过点且与抛物线交于点，
12、（点在点的右侧），设直线的斜率为，为原点，若与的面积和为5，则_【答案】【解析】【分析】根据双曲线的顶点为抛物线焦点，可以得到抛物线方程；假设直线后与抛物线联立，利用弦长公式和点到直线距离表示出；再通过点坐标表示出，利用面积之和等于构造出方程，求解出的值.【详解】由题意得：双曲线顶点为即 设，则与联立可得：设，则，则则到距离又，可知解得：本题正确结果：【点睛】本题考查直线与抛物线的综合问题，常见的解题思路是将直线与抛物线联立，通过韦达定理表示出已知或者所求的等量或不等量关系，然后进行相应的求解.三、解答题（共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知函数的所有正数零点构成递增数
13、列.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据正零点坐标得到数列为等差数列，利用等差数列首项和公差求解出通项；（2）通过导出的通项公式，然后采用错位相减法求解出前项和.【详解】（1）令，得则有的所有正零点构成递增数列是以为首项，公差为的等差数列（2）由（1）可知 有：【点睛】本题考查等差数列通项公式的求解和错位相减法求和，解题关键是能够通过解析式判断出需要用错位相减法求和，错位相减法试用于通项公式为等差与等比乘积的形式；具体方法为：列出后，再乘以等比部分的公比，然后作差求解出，最后整理出.18.如图，四棱锥的底面是边长为4的正方形，.（1）证明：平面；（2）求四面体体积的最大值.【答案】（1）详见解析；（2）.【解析】【分析】（1）首先证明平面，利用得到平面，从而证得，又，可证得结论；（2）设，利用四面体体积公式将体积表示成关于的函数，利用均值不等式得到最值.【详解】（1）四边形是正方形，又，平面又 平面则有又，平面（2）设，则四面体的体积（当且仅当即时取等号）四面体的体积最大值为【点睛】本题考查线面垂直的证明、椎体体积最值问题，处理最值问题时，关键在于能够将体积表示为某变量的函数关系式，然后利用基本不等式或函数值域的求解方法求解出最值.19.随着人们生活水平的提高，越来越多的人愿意花更高的价格
