结构力学 结构的动力计算.ppt

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1、第13章结构的动力计算 13 1动力计算的特点和动力自由度 一 动荷载及其分类动荷载是指其大小 方向和作用位置随时间变化的荷载 由于荷载随时间变化较快 所产生的惯性力不容忽视 因此 考虑惯性力的影响是结构动力学的最主要特征 静荷载只与作用位置有关 而动荷载是坐标和时间的函数 动荷载按其随时间的变化规律进行分类 二 结构动力计算的内容和特点 1 动力计算的主要内容 第一类问题 反应问题 输入 动荷载 结构 系统 输出 动力反应 第二类问题 参数 或系统 的识别 输入 动荷载 结构 系统 输出 动力反应 第三类问题 荷载识别 输入 动荷载 结构 系统 输出 动力反应 第四类问题 控制问题 输入 动

2、荷载 结构 系统 输出 动力反应 控制系统 装置 能量 2 结构动力计算的目的 研究结构在动荷载作用下的反应规律 找出动荷载作用下结构的最大动内力和最大动位移 为结构的动力可靠性设计提供依据 3 动力反应的特点在动荷载作用下 结构的动力反应 动内力 动位移等 都随时间变化 它的除与动荷载的变化规律有关外 还与结构的固有特性 自振频率 振型和阻尼 有关 不同的结构 如果它们具有相同的阻尼 频率和振型 则在相同的荷载下具有相同的反应 可见 结构的固有特性能确定动荷载下的反应 故称之为结构的动力特性 强迫振动结构在动荷载作用下产生得振动 研究强迫振动 可得到结构的动力反应 三 自由振动和强迫振动 自

3、由振动结构在没有动荷载作用时 由初速度 初位移所引起的振动 研究结构的自由振动 可得到结构的自振频率 振型和阻尼参数 确定体系运动过程中任一时刻全部质量位置所需的独立几何参数数目 称为体系的自由度 根据自由度的数目 结构可分为单自由度体系 多自由度体系和无限自由度体系 四 动力分析中的自由度 1 自由度的定义 将连续分布的结构质量按一定的力学原则集中到若干几何点上 使结构只在这些点上有质量 从而把一个无限自由度问题简化为有限自由度问题 2 实际结构自由度的简化方法 为分析计算方便 往往将具有无限自由度体系的实际结构简化为有限自由度 常用的简化方法有 1 集中质量法 平面 计轴向变形 W 2 不

4、计轴向变形 W 1 空间 不计轴向变形 W 2 不计轴向变形 W 1 3 W 2 3 W 3 5 W 3 W 1 结论 结构自由度数目与质点的个数无关 结构自由度数目与超静定次数无关 思考 考虑轴向变形后各计算简图的动力自由度数是多少 2 广义坐标法 假定梁的挠度曲线为 式中 满足位移边界条件的形状函数 广义坐标 广义坐标的个数为体系的自由度数 3 有限单元法 综合了集中质量法和广义坐标法的特点 将实际结构离散为有限个单元的集合 以结点位移作为广义坐标 将无限自由度问题化为有限自由度问题 结点位移的数目等于体系的自由度数 本章主要讨论集中质量法 13 2单自由度体系的运动方程 实际上 工程中很

5、多问题可化成单自由度体系进行动力分析或进行初步估算 要掌握其动力反应的规律 必须首先建立其运动方程 下面介绍建立在达朗伯原理基础上的 动静法 一 按平衡条件建立运动方程 刚度法 惯性力 弹性力 对隔离体列平衡方程 k 刚度系数 刚度法步骤 1 在质点上沿位移正向加惯性力 2 取质点为隔离体并作受力图 3 根据达朗伯原理对质量m列瞬时动力平衡方程 此即体系的运动方程 二 按位移法协调建立方程 柔度法 1 对质量m列位移方程 柔度系数 柔度法步骤 1 在质量上沿位移正方向加惯性力 2 求动荷载和惯性力引起的位移 3 令该位移与质量m的位移相等 即得到体系的位移方程 运动方程 三 建立运动方程例题

6、例1试建立图示刚架 a 的运动方程 解 1 刚度法 a b 由于横梁刚度无限大 刚架只产生水平位移 设横梁在某一时刻t的水平位移为y t 向右为正 在柱顶设置附加链杆 图b 以y t 作为基本未知量 用位移法列动平衡方程 令 作 图 图c 求得 c d 考虑动荷载F t 和惯性力 作MP图 求得 2 柔度法 设横梁在任一时刻的位移是由动荷载和惯性力共同作用产生的 图e 所以 运动方程为 因此 横梁的位移为 作图 图f e f 求得 所以 运动方程为 可见 用两种方法求解后运动方程相同 例2 试建立图 a 所示刚架的运动方程 不计轴向变形 a b 解 用柔度法求解 图示结构质量m只产生水平位移

7、设质量m在任一 时 刻t的水平位移为 它是由动荷载 c 质量m的位移为 和惯性力 作用产生的 共同 向右为正 作图 求得 所以 运动方程成为 例3 试建立图 a 所示刚架的运动方程 不计轴向变形 解 仍用柔度法求解 a b 分析同例2 质量m的位移为 作图 图 求得 c d 所以 运动方程为 由此可见 动静法建立单自由度体系的运动方程通常是以质量的静平衡位置作为计算动位移的起点 采用刚度法还是柔度法要视具体问题是求刚度系数方便 还是求柔度系数方便来定 对同一体系 两种方程都是一样的 对于单自由度体系 13 3单自由度体系的自由振动 不计阻尼 自由振动 由初位移或初速度引起的 在运动中无动荷载作

8、用的振动 分析自由振动的目的 确定结构的动力特性 自振频率 自振周期 一 自由振动运动方程 单自由度体系的自由振动及相应的弹簧 质量模型如图示 以静平衡位置为坐标原点 在t时刻 质量m的位移为y t 取质量m为隔离体 作用在隔离体上的力 弹性力 ky t 与位移方向相反 惯性力 与加速度 方向相反 动平衡方程 刚度法建立平衡方程 13 1 柔度法建立位移方程 质量m在t时刻的位移y t 是由此时作用在质量上的惯性力产生的 位移方程为 整理 a 单自由度体系 b 式 13 1 或 a 称为单自由度体系自由振动运动方程 微分方程 二 自由振动运动方程的解 单自由度体系自由振动微分方程写为 13 2

9、 式中 其通解为 当初始条件 二阶齐次线性常微分方程 式 13 3 还可写成 13 4 式中 13 5 不计阻尼时 单自由度体系的自由振动是由初位移和初速度引起的简谐振动 方程的解 13 3 三 结构的自振周期和自振频率 由式 13 4 y t 是周期函数 自振周期 固有周期 自振频率 固有频率 1 结构自振周期和自振频率的各种等价计算公式 理解这些公式各符号的含义 由其中一个公式便可得到其他公式 2 结构自振频率 或自振周期T 的性质 自振频率只与结构的质量和刚度有关 与外部干扰因素无关 它是结构本身固有的特性 改变结构的质量或刚度可改变其固有频率 不管实际结构如何 在同样的干扰力下 固有频

10、率相同的结构的动力反应相同 3 简谐自由振动的特性 位移 加速度 惯性力 位移与惯性力作同频同步振动 4 算例 例1求图示体系的自振频率和自振周期 解 图示结构体系虽有两个质量 但它们沿同一直线 水平方向 运动 故仍为单自由度体系 如图 b 示 作图 柔度系数 自振频率 自振周期 例2 求图示体系的自振频率 解 设该体系转动时 转角的幅值为 当位移达到幅值时 质量2m和m上的惯性力也同时达到幅值 在幅值处列出动平衡方程 由此求得 例3 图示排架的横梁为刚性杆 质量为m 柱质量不计 求其自振频率 解 不考虑轴向变形 故为一单自由度体系 作图 求出 自振频率 作业 思考题P 286 13 4 13

11、 5习题P 294 13 3 13 4 13 6 13 7 刚度系数 单自由度体系的强迫振动 不计阻尼 13 4 强迫振动 结构在动荷载作用下的振动 单自由度体系在动荷载下的振动及相应的振动模型如图示 弹性力 惯性力 平衡方程 不同的动荷载作用 体系的动力反应不同 常见的几种动荷载作用下体系的动力反应 或 13 6 式中 结构的自振频率 式 13 6 为单自由度体系强迫振动方程 一 简谐荷载 荷载幅值 荷载的圆频率 1 运动方程及其解 二阶线性非齐次常微分方程 通解 齐次解 设特解 运动方程的通解为 由初始条件确定后 运动方程的解 特解为 代入方程 求得 13 7 式 13 7 中前两项为初始

12、条件引起的自由振动 第三项为荷载 干扰力 引起的自由振动 称为伴生自由振动 实际上 由于阻尼的存在 自由振动部分都很快衰减掉 自由振动消失前的振动阶段称为过渡阶段 第四项为按荷载频率进行的振动 此阶段为 振动的平稳阶段 称为纯受迫振动或稳态振动 2 稳态振动分析 1 稳态振动解 令 荷载幅值作为静荷载作用时结构产生的静位移 最大动位移 令 13 8 动力系数 最大动位移 振幅 13 9 最大动位移与静位移之比 动力系数是频率比的函数 2 动位移的讨论 它反映了干扰力 对结构的动力作用 当时 即动位移与干扰力指向一致 当时 即动位移与干扰力指向相反 a 时 干扰力产生的动力作用不明显 因此可当作

13、静荷载处理 极限情况 即或 则 意味着结构为刚体或荷载不随时间变化 因此不存在振动问题 当时 为增函数 b 当时 共振为避开共振 可改变干扰力频率或改变结构的自振频率使或 c 当时 为减函数当时 体系处于静止状态 3 降低振幅的措施 频率比 应使频率比减小 增加结构的自振频率 增大刚度 减小质量 应使频率比增大 减小结构的自振频率 减小刚度 增大质量 动位移幅值 振幅 和动内力幅值的计算计算步骤 1 计算动力系数 2 计算动荷载幅值作为静荷载作用时引起的位移和内力 3 将位移和内力分别乘以动力系数得动位移幅值和动内力幅值 例 求简支梁跨中最大位移和最大弯矩 已知 解 1 计算动力系数 梁的自振

14、频率 荷载频率 动力系数 2 动荷载幅值作为静荷载作用时的位移和内力 M图 3 振幅和动弯矩幅值 振幅 动弯矩幅值 4 最大位移和最大弯矩 简支梁的最大位移和最大弯矩均在梁跨中点 跨中重量G产生的静位移 跨中的最大位移 跨中重量G产生的静弯矩 跨中的最大弯矩 4 动荷载不作用在质点上时的动计算 振动方程 令 a b 则 稳态解 c d e 1 振幅 结论 仍是位移的动力系数 思考 是否内力的动力系数 2 动内力幅值 三者同时达到幅值 作同频同步运动 根据稳态振动的振幅 算出惯性力 然后 将惯性力幅值和干扰力幅值同时作用在体系上 按静力学计算方法便可求得动内力幅值 例 求图示简支梁的振幅 作动弯

15、矩幅值图 已知 解 a b 1 计算动力系数 2 简支梁的振幅 c d e 3 作动弯矩的幅值图 惯性力幅值 动弯矩幅值图 f 将动荷载幅值F和惯性力幅值I作用在梁上 按静力学方法作出弯矩图 动弯矩幅值图 作业 295页13 8 296页13 10 297页13 16 结论对于单自由度体系 当干扰力作用在质量上时 位移的动力系数和内力的动力系数是相同的 当干扰力不作用在质量上时 位移和内力各自的动力系数通常是不同的 对于位移和内力动力系数相同的情况 求结构的最大动力反应时 可将干扰力幅值当作静荷载作用计算结构的位移和 内力 然后再乘以动力系数 便可得到稳态振动时结构的最大动位移和最大动内力 对

16、于位移和内力动力系数不同的情况 则要从体系的运动方程出发 先求出稳态振动的位移幅值 再算出惯性力 最后 按静力计算方法求出结构在干扰力幅值和惯性力幅值共同作用下的内力 此即结构的最大动内力 二 一般动荷载 体系在一般动荷载作用下的动力反应 可看成是连续作用的一系列冲量对体系产生的动力反应之和 1 瞬时冲量下体系的动力反应 1 t 0时瞬时冲量作用 设体系 时静止 瞬时冲量 体系产生的初速度 初位移 体系的动力反应 13 10 2 时瞬时冲量作用 位移 任一时刻 的 2 一般动荷载下体系的动力反应 微分冲量 微分冲量下体系的动力反应 一般动荷载下体系的动力反应 13 11 Duhamel积分 若 时 则体系的动力反应 13 12 例求突加荷载作用下质量m的位移 初始条件为零 不计阻尼 解将 代入式 13 11 得 13 13 动力系数 作业 296页13 12 297页13 13 13 5 阻尼 体系在振动过程中使其能量耗散的各种因素的统称 产生阻尼的原因 结构变形中材料的内摩擦 支撑及结点等构件联结处摩擦及周围介质阻力等 阻尼力 在振动分析中用于替代阻尼作用的阻碍振动的力 阻尼对振动的