《函数的单调性与最大值练习及答案(1对1辅导精品)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《函数的单调性与最大值练习及答案(1对1辅导精品)（11页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1 函数的单调性与最大 小 值1 基础自测 1 已知函数y f x 是定义在 R上的增函数 则下列对f x 0的根说法不正确的是 填 序号 有且只有 有 2 个 至多有一个 没有根 2 已知 f x 是 R上的增函数 若令F x f 1 x f 1 x 则 F x 是 R上的函 数 用 增 减 填空 3 若函数f x x 2 a2 4a 1 x 2 在区间 1 上是减函数 则a 的取值范围是 4 若函数 f x 是定义在 0 上的增函数 且对一切 x 0 y 0 满足 f xy f x f y 则不等式 f x 6 f x 1 证明 函数f x 在 1 上为增函数 例 2 1 y 4 2 23
2、xx 2 y 2x x21 3 y x x 4 4 y 4 2 1 22 xx 2 例 3 函数 f x 对任意的 a b R 都有 f a b f a f b 1 并且当 x 0 时 f x 1 1 求证 f x 是 R 2 若 f 4 5 解不等式 f 3m 2 m 2 0 的单调性 2 求函数 y 2 1 log 4x x 2 的单调区间 3 已知定义在区间 0 上的函数f x 满足 f 2 1 x x f x 1 f x2 且当 x 1 时 f x 0 1 求 f 1 2 判断 f x 3 若 f 3 1 解不等式 f x 2 3 函数的单调性与最大 小 值2 一 填空题 1 函数 f
3、 x ln 4 3x x 2 的单调递减区间是 2 已知函数 f x 在区间 a b 上单调 且f a f b 0 则下列对方程f x 0在 区间 a b 上根的分布情况的判断有误的是 填序号 至少有一实根 至多有一实 没有实根 必有惟一的实根 3 函数 y lg x 2 2x m 的值域是 R 则 m的取值范围是 4 函数 f x x R 的图象如下图所示 则函数g x f log ax 0 a 1 的单调减区间是 5 已知 f x 1 log 1 4 13 xx xaxa a 是 上的减函数 那么a 的取值范围 是 6 若 函 数f x m 1 x 2 mx 3 x R 是 偶 函 数 则
4、 f x 的 单 调 减 区 间 是 7 已知y f x 是定义在 2 2 上的增函数 若f m 1 0 时有 f x 0 1 求证 f x 在 上为增函数 2 若 f 1 1 解不等式 f log2 x 2 x 2 0 且 f x 在 1 内单调递减 求a 的取值范围 12 已知函数 y f x 对任意 x y R均有 f x f y f x y 且当 x 0 时 f x 0 y 0 满足 f xy f x f y 则不等式 f x 6 f x 1 证明 函数f x 在 1 上为增函数 证明方法一任取 x1 x2 1 不妨设 x10 12 xx a 1 且 a 1 x 0 a 0 1 121
5、12 xxxxx aaa又 x1 1 0 x 2 1 0 1 1 3 1 1 1 2 1 2 1 2 1 2 21 12 21 2112 1 1 2 2 xx xx xx xxxx x x x x 0 于是 f x 2 f x1 a 12 xx a 1 2 1 2 1 1 2 2 x x x x 0 故函数 f x 在 1 上为增函数 方法二f x a x 1 1 3 x a 1 求导数得 f x a xlna 2 1 3 x a 1 当 x 1 时 a xlna 0 2 1 3 x 0 f x 0 在 1 上恒成立 则f x 在 1 上为增函数 方法三 a 1 y a x 为增函数 又 y
6、1 3 1 1 2 xx x 在 1 上也是增函数 6 y a x 1 2 x x 在 1 上为增函数 例 2 判断函数 f x 1 2 x在定义域上的单调性 解函数的定义域为 x x 1 或 x 1 则 f x 1 2 x 可分解成两个简单函数 f x xuxu x 2 1 的形式 当 x 1 时 u x 为增函数 xu为增函数 f x 1 2 x在 1 上为增函数 当 x 1 时 u x 为减函数 xu为减函 数 f x 1 2 x在 1 上为减函数 例 3 1 y 4 2 23xx 2 y 2x x21 3 y x x 4 4 y 4 2 1 22 xx 解 1 由 3 2x x 2 0
7、 得函数定义域为 1 3 又 t 3 2x x 2 4 x 1 2 t 0 4 t 0 2 从而 当x 1 时 ymin 2 当 x 1 或 x 3 时 ymax 4 故值域 为 2 4 2 方法一令x21 t t 0 则 x 2 1 2 t y 1 t 2 t t 2 1 2 4 5 二次函数对称轴为t 2 1 在 0 上 y t 2 1 2 4 5 故 ymax 0 2 12 4 5 1 故函数有最大值1 无最小值 其值域为 1 方法二 y 2x 与 y x21均为定义域上的增函数 y 2x x21是定义域为 x x 2 1 上的增函数 故 ymax 2 2 1 21 2 1 1 无最小值
8、 故函数的值域为 1 3 方法一函数y x x 4 是定义域为 x x 0 上的奇函数 故其图象关于原点对称 故只讨 论 x 0 时 即可知 x0 时 y x x 4 2 x x 4 4 等号当且仅当x 2 时取得 当 x 0 时 y 4 7 等号当且仅当x 2 时取得 综上函数的值域为 4 4 无最值 方法二任取 x1 x2 且 x1 x2 因为 f x1 f x2 x1 1 4 x x2 2 4 x 4 21 2121 xx xxxx 所以当 x 2 或 x 2 时 f x 递增 当 2 x 0 或 0 x0 时 f x 1 1 求证 f x 是 R 2 若 f 4 5 解不等式 f 3m
9、 2 m 2 3 解 1 设 x1 x2 R 且 x10 f x2 x1 1 2 f x 2 f x1 f x2 x1 x1 f x1 f x2 x1 f x1 1 f x1 f x2 x1 1 0 5 分 f x2 f x 1 即f x 是R上的增函数 7 分 2 f 4 f 2 2 f 2 f 2 1 5 f 2 3 10 分 原不等式可化为f 3m 2 m 2 f 2 f x 是R上的增函数 3m 2 m 2 2 12 分 解得 1 m0 的单调性 解方法一显然 f x 为奇函数 所以先讨论函数f x 在 0 上的单调性 设 8 x1 x2 0 f x 1 f x2 x1 1 x a x
10、2 2 x a x1 x2 1 21x x a 当 0 x21 则 f x1 f x2 0 即 f x1 x2 a时 0 21x x a 0 即 f x1 f x2 故 f x 在 a 上是增函数 f x f x 分别在 a a f x 分别在 a 0 0 a 上为减函数 方法二由 f x 1 2 x a 0 可得 x a 当 x a时或x0 f x 分别在 a a 上是 增函数 同理 0 x a或 a x 0 时 f x 0 得函数的定义域是 0 4 令 t 4x x 2 则 y 2 1 logt t 4x x 2 x 2 2 4 t 4x x2 的单调减区间是 2 4 增区间是 0 2 又
11、 y 2 1 logt 在 0 上是减函数 函数 y 2 1 log 4x x 2 的单调减区间是 0 2 单调增区间是 2 4 3 在经济学中 函数f x 的边际函数Mf x 定义为 Mf x f x 1 f x 某公司每月最 多生产 100 台报警系统装置 生产x x 0 台的收入函数为R x 3 000 x 20 x 2 单位 元 其成本函数为C x 500 x 4 000 单位 元 利润是收入与成本之差 1 求利润函数P x 及边际利润函数MP x 2 利润函数P x 与边际利润函数MP x 解 1 P x R x C x 3 000 x 20 x 2 500 x 4 000 20 x
12、 2 2 500 x 4 000 x 1 100 且 x N MP x P x 1 P x 20 x 1 2 2 500 x 1 4 000 20 x2 2 500 x 4 000 9 2 480 40 x x 1 100 且 x N 2 P x 20 x 2 1252 74 125 当 x 62 或 63 时 P x max 74 120 元 因为 MP x 2 480 40 x 是减函数 所以当x 1 时 MP x max 2 440 元 因此 利润函数P x 与边际利润函数MP x 不具有相同的最大值 4 已知定义在区间 0 上的函数f x 满足 f 2 1 x x f x 1 f x2
13、 且当 x 1 时 f x 0 1 求 f 1 2 判断 f x 3 若 f 3 1 解不等式 f x 0 代入得 f 1 f x1 f x1 0 故 f 1 0 2 任取 x1 x2 0 且 x1 x2 则 2 1 x x 1 由于当 x 1 时 f x 0 所以 f 2 1 x x 0 即 f x1 f x2 0 因此 f x 1 f x2 所以函数 f x 在区间 0 上是单调递减函数 3 由 f 2 1 x x f x 1 f x2 f 3 9 f 9 f 3 而 f 3 1 所以 f 9 2 由于函数 f x 在区间 0 由 f x 9 x 9 或 x9或 x 9 课后作业 一 填空
14、题 1 函数 f x ln 4 3x x 2 的单调递减区间是 答案 2 3 4 2 已知函数 f x 在区间 a b 上单调 且f a f b 0 则下列对方程f x 0在 区间 a b 上根的分布情况的判断有误的是 填序号 至少有一实根 至多有一实根 没有实根 必有惟一的实根 答案 3 函数 y lg x 2 2x m 的值域是 R 则 m的取值范围是 答案 m 1 10 4 函数f x x R 的图象如下图所示 则函数g x f log ax 0 a 1 的单调减区间 是 答案 a 1 5 已知 f x 1 log 1 4 13 xx xaxa a 是 上的减函数 那么a 的取值范围 是
15、 答案 7 1 3 1 6 若函数 f x m 1 x 2 mx 3 x R 是偶函数 则 f x 的单调减区间是 答案 0 7 已知y f x 是定义在 2 2 上的增函数 若f m 1 0 时有 f x 0 1 求证 f x 在 上为增函数 2 若 f 1 1 解不等式 f log2 x 2 x 2 x1 则 x2 x1 0 11 f x 2 f x1 f x2 x1 x1 f x1 f x2 x1 f x1 f x1 f x2 x1 0 f x2 f x1 f x 在 上为增函数 2 解 f 1 1 2 1 1 f 1 f 1 f 2 又 f log2 x 2 x 2 2 f log 2
16、 x 2 x 2 f 2 log2 x 2 x 2 2 于是 06 02 2 2 xx xx 32 21 x xx或 即 2 x 1 或 2 x 3 原不等式的解集为 x 2 x 1或 2 x0 且 f x 在 1 内单调递减 求a 的取值范围 1 证明任设 x1 x20 x1 x2 0 f x1 f x2 f x 在 2 内单调递增 2 解任设 1 x10 x 2 x1 0 要使 f x1 f x2 0 只需 x1 a x2 a 0 恒成立 a 1 综上所述知00 时 f x 0 f 1 3 2 1 判断并证明f x 在 R上的单调性 2 求 f x 在 3 3 上的最值 解 1 f x 在 R上是单调递减函数 证明如下 令 x y 0 f 0 0 令 x y 可得 f x f x 在 R上任取 x10 f x 2 f x1 f x2 f x1 f x2 x1 又 x 0 时 f x 0 f x 2 x1 0 即 f x2 f x1 由定义可知f x 在 R上为单调递减函数 2 f x 在 R上是减函数 f x 在 3 3 上也是减函数 f 3 最大 f 3 最小 f 3 f 2 f
