《高考数学（理科课标Ⅰ专用）复习专题测试课件（命题规律探究+题组分层精练）：第三章 导数及其应用 §3.2 导数的应用》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考数学（理科课标Ⅰ专用）复习专题测试课件（命题规律探究+题组分层精练）：第三章 导数及其应用 §3.2 导数的应用（134页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 3 2导数的应用 高考理数 课标专用 1 2017课标全国 11 5分 若x 2是函数f x x2 ax 1 ex 1的极值点 则f x 的极小值为 A 1B 2e 3C 5e 3D 1 五年高考 A组统一命题 课标卷题组 答案A本题主要考查导数的应用 由题意可得f x ex 1 x2 a 2 x a 1 x 2是函数f x x2 ax 1 ex 1的极值点 f 2 0 a 1 f x x2 x 1 ex 1 f x ex 1 x2 x 2 ex 1 x 1 x 2 x 2 1 时 f x 0 f x 单调递增 x 2 1 时 f x 0 f x 单调递减 f x 极小值 f 1 1 故选A
2、 思路分析由x 2是函数f x 的极值点可知f 2 0 从而求出a的值 将a的值代入导函数f x 求出f x 的单调区间 判断极小值点 从而求出函数的极小值 方法总结1 利用导数研究函数极值问题的两个方向 2 已知函数极值点和极值求参数值的两个要领 1 列式 根据极值点处导数为0和极值列方程组进行求解 2 验证 因为导数为零的点不一定是函数的极值点 所以求解后必须进行验证 2 2015课标全国 12 5分 0 317 设函数f x ex 2x 1 ax a 其中a 1 若存在唯一的整数x0使得f x0 0 则a的取值范围是 A B C D 答案D由f x0 1 则a 令g x 则g x 当x
3、时 g x 0 g x 为增函数 思路分析先分离参数 再构造函数求解 要注意应用分类讨论思想 3 2014课标全国 11 5分 0 394 已知函数f x ax3 3x2 1 若f x 存在唯一的零点x0 且x0 0 则a的取值范围是 A 2 B 1 C 2 D 1 答案C当a 0时 显然f x 有两个零点 不符合题意 当a 0时 f x 3ax2 6x 令f x 0 解得x1 0 x2 当a 0时 0 所以函数f x ax3 3x2 1在 0 与上为增函数 在上为减函数 因为f x 存在唯一零点x0 且x0 0 则f 0 0 则f 0 即a 3 1 0 解得a 2或a 2 又因为a 0 故a
4、的取值范围为 2 选C 思路分析a 0显然不成立 a 0时 令f x 0 解得x1 0 x2 分类讨论确定函数单调性 进而由零点个数求a的范围 4 2013课标全国 10 5分 0 526 已知函数f x x3 ax2 bx c 下列结论中错误的是 A x0 R f x0 0B 函数y f x 的图象是中心对称图形C 若x0是f x 的极小值点 则f x 在区间 x0 单调递减D 若x0是f x 的极值点 则f x0 0 答案C易得f x 3x2 2ax b 若f x 有极小值点 则f x 0有两个不等实根x1 x2 x1 x2 f x 3x2 2ax b 3 x x1 x x2 则f x 在
5、 x1 上为增函数 在 x1 x2 上为减函数 在 x2 上为增函数 故C项错误 故选C 5 2017课标全国 21 12分 已知函数f x x 1 alnx 1 若f x 0 求a的值 2 设m为整数 且对于任意正整数n m 求m的最小值 解析本题考查导数的综合应用 1 f x 的定义域为 0 若a 0 因为f aln20 由f x 1 知 当x 0 a 时 f x 0 所以f x 在 0 a 单调递减 在 a 单调递增 故x a是f x 在 0 的唯一最小值点 由于f 1 0 所以当且仅当a 1时 f x 0 故a 1 2 由 1 知当x 1 时 x 1 lnx 0 令x 1 得ln2 所
6、以m的最小值为3 6 2017课标全国 21 12分 已知函数f x ae2x a 2 ex x 1 讨论f x 的单调性 2 若f x 有两个零点 求a的取值范围 解析本题考查了利用导数讨论函数的单调性和函数的零点问题 1 f x 的定义域为 f x 2ae2x a 2 ex 1 aex 1 2ex 1 i 若a 0 则f x 0 则由f x 0得x lna 当x lna 时 f x 0 所以f x 在 lna 单调递减 在 lna 单调递增 2 i 若a 0 由 1 知 f x 至多有一个零点 ii 若a 0 由 1 知 当x lna时 f x 取得最小值 最小值为f lna 1 lna
7、当a 1时 由于f lna 0 故f x 只有一个零点 当a 1 时 由于1 lna 0 即f lna 0 故f x 没有零点 当a 0 1 时 1 lna 2e 2 2 0 故f x 在 lna 有一个零点 设正整数n0满足n0 ln 则f n0 a a 2 n0 n0 n0 0 由于ln lna 因此f x 在 lna 有一个零点 综上 a的取值范围为 0 1 方法总结利用导数研究函数的单调性的原理 若f x 0 x D恒成立 则在区间D上函数f x 单调递增 若f x 0 x D恒成立 则在区间D上函数f x 单调递减 7 2017课标全国 21 12分 已知函数f x ax2 ax x
8、lnx 且f x 0 1 求a 2 证明 f x 存在唯一的极大值点x0 且e 2 f x0 2 2 解析本题考查了导数的综合应用 1 f x 的定义域为 0 设g x ax a lnx 则f x xg x f x 0等价于g x 0 因为g 1 0 g x 0 故g 1 0 而g x a g 1 a 1 得a 1 若a 1 则g x 1 当01时 g x 0 g x 单调递增 所以x 1是g x 的极小值点 故g x g 1 0 综上 a 1 2 由 1 知f x x2 x xlnx f x 2x 2 lnx 设h x 2x 2 lnx 则h x 2 当x 时 h x 0 所以h x 在单调
9、递减 在单调递增 又因为h e 2 0 h0 当x x0 1 时 h x 0 因为f x h x 所以x x0是f x 的唯一极大值点 由f x0 0得lnx0 2 x0 1 故f x0 x0 1 x0 由x0 0 1 得f x0 f e 1 e 2 所以e 2 f x0 2 2 方法总结利用导数解决不等式问题的一般思路 1 恒成立问题常利用分离参数法转化为最值问题求解 若不能分离参数 可以对参数进行分类讨论 2 证明不等式问题可通过构造函数转化为函数的最值问题求解 8 2016课标全国 21 12分 设函数f x cos2x 1 cosx 1 其中 0 记 f x 的最大值为A 1 求f x
10、 2 求A 3 证明 f x 2A 解析 1 f x 2 sin2x 1 sinx 2分 2 当 1时 f x cos2x 1 cosx 1 2 1 3 2 f 0 因此A 3 2 4分 当0 5分 i 当00 知g 1 g 1 g 又 g 1 0 所以A 综上 A 9分 3 由 1 得 f x 2 sin2x 1 sinx 2 1 当01 所以 f x 1 2A 当 1时 f x 3 1 6 4 2A 所以 f x 2A 12分 思路分析 1 利用求导公式和求导法则求f x 2 对 分类讨论 分 1和0 1 当0 1时 进一步分0 和 1两种情况求解 3 由 1 得 f x 利用 2 中对
11、所分的三种情况分别进行证明 9 2016课标全国 21 12分 已知函数f x x 2 ex a x 1 2有两个零点 1 求a的取值范围 2 设x1 x2是f x 的两个零点 证明 x1 x2 2 解析 1 f x x 1 ex 2a x 1 x 1 ex 2a 2分 i 设a 0 则f x x 2 ex f x 只有一个零点 3分 ii 设a 0 则当x 1 时 f x 0 所以f x 在 1 单调递减 在 1 单调递增 又因为f 1 e f 2 a 取b满足b b 2 a b 1 2 a 0 故f x 存在两个零点 4分 iii 设a0 因此f x 在 1 单调递增 又当x 1时 f x
12、 1 故当x 1 ln 2a 时 f x 0 因此f x 在 1 ln 2a 单调递减 在 ln 2a 单调递增 又当x 1时f x 0 所以f x 不存在两个零点 综上 a的取值范围为 0 8分 2 不妨设x1f 2 x2 即f 2 x2 1时 g x 1时 g x 0 从而g x2 f 2 x2 0 故x1 x2 2 12分 思路分析 1 根据a的值分a 0 a 0和a 0三种情况讨论 利用函数的单调性及极值的符号即可确定零点个数 进而得a的范围 2 由 1 确定出函数的单调性 进而将x1 x2 2转化为函数值间的不等关系 从而构造函数进行证明 10 2016课标全国 21 12分 1 讨
13、论函数f x ex的单调性 并证明当x 0时 x 2 ex x 2 0 2 证明 当a 0 1 时 函数g x x 0 有最小值 设g x 的最小值为h a 求函数h a 的值域 解析 1 f x 的定义域为 2 2 2分 f x 0 且仅当x 0时 f x 0 所以f x 在 2 2 单调递增 因此当x 0 时 f x f 0 1 所以 x 2 ex x 2 x 2 ex x 2 0 4分 2 g x f x a 5分 由 1 知 f x a单调递增 对任意a 0 1 f 0 a a 1xa时 f x a 0 g x 0 g x 单调递增 7分 因此g x 在x xa处取得最小值 最小值为g
14、 xa 8分 于是h a 由 0 得y 单调递增 所以 由xa 0 2 得 h a 10分 因为y 单调递增 对任意 存在唯一的xa 0 2 a f xa 0 1 使得h a 所以h a 的值域是 综上 当a 0 1 时 g x 有最小值h a h a 的值域是 12分 思路分析 1 利用f x 得出单调性 进而利用函数单调性求出f x 在 0 上的值域 由此即可证明 2 求g x 利用单调性求得g x min 即h a 再利用导数与函数单调性可得h a 的值域 11 2015课标全国 21 12分 0 192 已知函数f x x3 ax g x lnx 1 当a为何值时 x轴为曲线y f x
15、 的切线 2 用min m n 表示m n中的最小值 设函数h x min f x g x x 0 讨论h x 零点的个数 解析 1 设曲线y f x 与x轴相切于点 x0 0 则f x0 0 f x0 0 即解得x0 a 因此 当a 时 x轴为曲线y f x 的切线 5分 2 当x 1 时 g x lnx0 所以只需考虑f x 在 0 1 的零点个数 i 若a 3或a 0 则f x 3x2 a在 0 1 无零点 故f x 在 0 1 单调 而f 0 f 1 a 所以当a 3时 f x 在 0 1 有一个零点 当a 0时 f x 在 0 1 没有零点 ii 若 3 a 0 则f x 在单调递减
16、 在单调递增 故在 0 1 中 当x 时 f x 取得最小值 最小值为f 若f 0 即 或a 时 h x 有一个零点 当a 或a 时 h x 有两个零点 当 a 时 h x 有三个零点 12分 思路分析 1 设切点为 x0 0 由条件得f x0 0 f x0 0 由此列方程组 进而解得结果 2 分x 1 x 1 00 故只需分析f x 的零点 此时又需分类讨论a 3或a 0与 3 a 0两种情况 12 2014课标全国 21 12分 0 151 已知函数f x ex e x 2x 1 讨论f x 的单调性 2 设g x f 2x 4bf x 当x 0时 g x 0 求b的最大值 3 已知1 4142 1 4143 估计ln2的近似值 精确到0 001 解析 1 f x ex e x 2 0 等号仅当x 0时成立 所以f x 在 上单调递增 2 g x f 2x 4bf x e2x e 2x 4b ex e x 8b 4 x g x 2 e2x e 2x 2b ex e x 4b 2 2 ex e x 2 ex e x 2b 2 i 当b 2时 g x 0 等号仅当x 0时成立 所以g
