数学选修1-1_1-2复习知识提纲

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1、数学选修1 1 复习知识提纲 一 常用逻辑用语 1 命题 可以判断真假的陈述句叫做命题 其中判断为真的语句叫做真命题 判断为假的语句叫做假命题 2 四种命题 结论 互为逆否的两个命题是等价的 因此 在判断四种命题的真假时 只需判断两种命题的 真假 因为原命题与逆否命题真假等价 逆命题与否命题真假等价 2 充分条件与必要条件 若qp 但qp 则p是q的充分不必要条件 也可以说q的充分条件不必要条件是p 从集合的角度来看 若pq 则 p是q的充分条件不必要条件 若qp 但qp 则p是q的必要不充分条件 也可以说q的必要不充分条件条是p 从集合的角度来看 若qp 则p是q的必要不充分条件 若 qp

2、且qp 则 p是q的充要条件 也可以说q是p的充要条件 记作qp 从集合的角度来看 若qp 则p是q的充分要条件 若 qp 且qp 则 p是q的既不充分也不必要条件 从集合的角度来看 若qp 且pq 则p是q的既不充分也不必要条件 注意 证明p是q的充要条件需分证明充分性 qp 和必要性 pq 两步 3 简单逻辑联结词 逻辑联结词 且 或 非 复合命题三种形式 p且q qp p或q qp 非p p 真假判断 p q同真 qp真 其余均为假 p q同假 qp假 其余均为真 p与p的真假相反 4 全称量词与存在量词 全称命题p xpMx 它的否定p 00 xpMx 特称命题p 00 xpMx 它的

3、否定p xpMx 全称命题的否定是特称命题 特称命题的否定是全称命题 二 圆锥曲线与方程 1 椭圆 1 椭圆方程的第一定义 为端点的线段以 无轨迹 方程为椭圆 212121 2121 2121 2 2 2 FFFFaPFPF FFaPFPF FFaPFPF 2 椭圆的标准方程 i 中心在原点 焦点在x轴上 0 1 2 2 2 2 ba b y a x ii 中心在原点 焦点在y 轴上 0 1 2 2 2 2 ba b x a y 一般方程 0 0 1 22 BABAByAx且 顶点 0 0 ba或 0 0 ba 对称轴 x轴 y 轴 长轴长a2 短轴长b2 焦点 0 0 cc或 0 0 cc

4、焦距 22 21 2baccFF 准线 c a x 2 或 c a y 2 离心率 10 e a c e 3 焦半径 i 设 00yxP为椭圆 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 上的一点 21 FF为左 右焦点 则由椭圆方程的第二定义可以推出 01 exaPF 02 exaPF ii 设 00 yxP为椭圆 0 1 2 2 2 2 ba a y b x 上的一点 21 F F为上 下焦点 则由椭圆方程的第二定义可以推出 01 eyaPF 02 eyaPF 归结起来为 左加右减 下加上减 4 通径 垂直于 x 轴且过焦点的弦叫做通经 坐标 2 2 2 2 a b c a b d和 2

5、 a b c 共离心率的椭圆系的方程 椭圆 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 的离心率是 22 bac a c e 方程t b y a x 2 2 2 2 0 0 bat的离心率也是 a c e 我们称此方程为共离心率的椭圆系方程 5 若P是椭圆 1 2 2 2 2 b y a x 上的点 21 FF 为焦点 若 21PF F 则 21F PF的面积为 2 tan 2 b 用余弦定理与aPFPF2 21 可得 若是双曲线 则面积为 2 cot 2 b 2 双曲线 1 双曲线的第一定义 的一个端点的一条射线以 无轨迹 方程为双曲线 212121 2121 2121 2 2 2 FFF

6、FaPFPF FFaPFPF FFaPFPF 2 双曲线标准方程 0 1 0 1 2 2 2 2 2 2 2 2 ba b x a y ba b y a x 一般方程 0 1 22 ABByAx i 焦点在x轴上 顶点 0 0 aa 焦点 0 0 cc 准线方程 c a x 2 渐近线方程 0 b y a x 或0 2 2 2 2 b y a x ii 焦点在 y 轴上 顶 点 0 0 aa 焦 点 0 0 cc 准 线 方 程 c a y 2 渐 近 线 方 程 0 b x a y 或 0 2 2 2 2 b x a y yx 轴为对称轴 实轴长为2a 虚轴长为2b 焦距 2c 离心率 a

7、c e 准线距 c a 2 2 两准线的距离 通径 a b 2 2 参数关系 a c ebac 222 3 焦半径公式 对于双曲线方程1 2 2 2 2 b y a x 21 F F分别为双曲线的左 右焦点或分别为双曲线的 上下焦点 长加短减 原则 aexMF aexMF 02 01 构成满足aMFMF2 21 aexFM aexFM 02 01 与椭圆焦半径不同 椭圆焦半径要带符号计算 而双曲线不带符号 aeyMF aeyMF 02 01 aeyFM aeyFM 0 2 0 1 4 等轴双曲线 双曲线 222 ayx称为等轴双曲线 其渐近线方程为 xy 离心率 2e 5 共轭双曲线 以已知双

8、曲线的虚轴为实轴 实轴为虚轴的双曲线 叫做已知双曲线的 共轭双曲线 2 2 2 2 b y a x 与 2 2 2 2 b y a x 互为共轭双曲线 它们具有共同的渐近线 0 2 2 2 2 b y a x 6 共渐近线的双曲线系方程 0 2 2 2 2 b y a x 的渐近线方程为0 2 2 2 2 b y a x 因此 如果双曲线的渐近线 为0 b y a x 时 它的双曲线方程可设为 0 2 2 2 2 b y a x 例如 若双曲线一条渐近线为xy 2 1 且过 2 1 3 p 求双曲线的方程 解 令双曲线的方程为 0 4 2 2 y x 代入 2 1 3 得1 28 22 yx

9、7 直线与双曲线的位置关系 3 抛物线 设0p 抛物线的标准方程 类型及其几何性质 pxy2 2 pxy2 2 pyx2 2 pyx2 2 y x M M F1 F2 y x M M F1 F2 图形 y x O y x O y x O y x O 焦点 0 2 p F 0 2 p F 2 0 p F 2 0 p F 准线 2 p x 2 p x 2 p y 2 p y 范围Ryx 0Ryx 00 yRx0 yRx 对称轴x轴y轴 顶点 0 0 离心率1e 焦半径 1 2 x p PF 1 2 x p PF 1 2 y p PF 1 2 y p PF 注 0 2 2 ppxy则焦点半径 2 p

10、 xPF 0 2 2 ppyx则焦点半径为 2 p yPF 通径为2p 这是过焦点的所有弦中最短的 4 圆锥曲线的统一定义 平面内到一个定点F的距离和它到一条定直线l 的距离之比是一个常数e的点的 轨迹是圆锥曲线 并且 当 10e 时 轨迹为椭圆 当1e时 轨迹为双曲线 当1e时 轨迹为抛物线 其中 点F是它的焦点 直线l 是它的准线 比值e是它的离心率 三 导数及其应用 1 导数的定义 一般地 函数 xfy在 0 xx处的瞬时变化率是 x xfxxf x y xx limlim 00 00 我们称它为函数 xfy在 0 xx处的导数 记作 0 xf或 0 xx y 即 0 xf x xfxx

11、f x y xx limlim 00 00 注 x 是增量 我们也称为 改变量 因为x 可正 可负 但不为零 2 导数的几何意义 函数 xfy在点 0 x处的导数的几何意义就是曲线 xfy在点 00 yx处的切线的斜率 也就是说 曲线 xfy在点 00 yxP处的切线的斜率是 0 xf 切线方程为 00 0 xxxfyy 3 基本初等函数的导数公式 0 C C 为常数 xxcos sin 1 nn nxx Rn xxsin cos 0 ln aaaa xxxx ee 1 0 ln 1 log aa ax x a x x 1 ln 4 导数运算法则 xgxfxgxf xgxfxgxfxgxf 0

12、 2 xg xg xgxfxgxf xg xf 注 xgxf 必须是可导函数 5 函数的单调性与导数 在某个区间ba 内 如果0 xf 那么函数 xfy在这个区间内单调递增 如果0 xf 那么 函数 xfy在这个区间内单调递减 注 如果函数 xfy在区间I内恒有0 xf 则 xfy为常数 0 xf是f x 递增的充分条件不必要条件 如 3 xy在 上并不是都有0 xf 有一 个点例外 即0 x时0 xf 同样0 xf是 xf递减的充分不必要条件 一般地 如果 xf在某区间内有限个点处为零 在其余各点均为正 或负 那么 xf在该区间上仍 就是单调增加 或单调减少 的 6 函数的极值与导数 一般地

13、 求函数 xfy的极值的方法是 解方程0 xf 当0 xf时 如果在 0 x附近的左侧0 xf 右侧0 xf 那么 0 xf是极大值 如果在 0 x附近的左侧0 xf 右侧0 xf 那么 0 xf是极小值 注意 导数为 0 的点不一定是函数的极值点 但是若点 0 x是可导函数 xf的极值点 则0 0 xf 此外 函数不可导的点也可能是函数的极值点 当然 极值是一个局部概念 极值点的大小关系是不确定 的 即有可能极大值比极小值小 函数在某一点附近的点不同 例如 函数 3 xxfy 0 x使0 xf 但0 x不是极值点 函数 xxfy 在点0 x处不可导 但点0 x是函数的极小值点 7 函数的最大

14、 小 值与导数 一般地 求函数 xfy在ba 的最大值与最小值的步骤如下 求函数 xfy在ba 内的极值 将函数 xfy的各极值与端点处的函数值 bfaf比较 其中最大的的一个是最大值 最小的一 个是最小值 数学选修1 2 复习知识提纲 一 基础知识梳理 回归直线 如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近 我们就称这两个变量之间具有线性相关关系 这 条直线叫作回归直线 求回归直线方程的一般步骤 作出散点图 由样本点是否呈条状分布来判断两个量是否具有线性相关关 系 若存在线性相关关系 求回归系数 写出回归直线方程 并利用回归直线方程进行预测说明 2 回归分析 对具有相关关系的两个变量进行

15、统计分析的一种常用方法 建立回归模型的基本步骤是 确定研究对象 明确哪个变量是解释变量 哪个变量是预报变量 画好确定好的解释变量和预报变量的散点图 观察它们之间的关系 线性关系 由经验确定回归方程的类型 按一定规则估计回归方程中的参数 最小二乘法 得出结论后在分析残差图是否异常 若存在异常 则检验数据是否有误 后模型是否合适等 3 利用统计方法解决实际问题的基本步骤 1 提出问题 2 收集数据 3 分析整理数据 4 进行预测或决策 4 残差变量的主要来源 1 用线性回归模型近似真实模型 真实模型是客观存在的 通常我们并不知道真实模型到底是什么 所引起的误差 可能存在非线性的函数能够更好地描述与

16、之间的关系 但是现在却用线性函数来表 述这种关系 结果就会产生误差 这种由于模型近似所引起的误差包含在中 2 忽略了某些因素的影响 影响变量的因素不只变量一个 可能还包含其他许多因素 例如在 描述身高和体重关系的模型中 体重不仅受身高的影响 还会受遗传基因 饮食习惯 生长环境等其他因 素的影响 但通常它们每一个因素的影响可能都是比较小的 它们的影响都体现在中 3 观测误差 由于测量工具等原因 得到的的观测值一般是有误差的 比如一个人的体重是确定的 数 不同的秤可能会得到不同的观测值 它们与真实值之间存在误差 这样的误差也包含在中 上面 三项误差越小 说明我们的回归模型的拟合效果越好 二 例题选讲 例 1 研究某灌溉渠道水的流速与水深之间的关系 测得一组数据如下 水深1 40 1 50 1 60 1 70 1 80 1 90 2 00 2 10 流速 1 70 1 79 1 88 1 95 2 03 2 10 2 16 2 21 1 求对的回归直线方程 2 预测水深为1 95时水的流速是多少 分析 本题考查如何求回归直线的方程 可先把有关数据用散点图表示出来 若这些点大致分布在通过散 点