《高考数学（理科课标Ⅰ专用）复习专题测试课件（命题规律探究+题组分层精练）：第十章 圆锥曲线 §10.5 曲线与方程》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考数学（理科课标Ⅰ专用）复习专题测试课件（命题规律探究+题组分层精练）：第十章 圆锥曲线 §10.5 曲线与方程（34页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 10 5曲线与方程 高考理数 课标专用 1 2017课标全国 20 12分 设O为坐标原点 动点M在椭圆C y2 1上 过M作x轴的垂线 垂足为N 点P满足 1 求点P的轨迹方程 2 设点Q在直线x 3上 且 1 证明 过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F 五年高考 A组统一命题 课标卷题组 解析本题考查了求轨迹方程的基本方法和定点问题 1 设P x y M x0 y0 则N x0 0 x x0 y 0 y0 由 得x0 x y0 y 因为M x0 y0 在C上 所以 1 因此点P的轨迹方程为x2 y2 2 2 由题意知F 1 0 设Q 3 t P m n 则 3 t 1 m n 3 3
2、m tn m n 3 m t n 由 1得 3m m2 tn n2 1 又由 1 知m2 n2 2 故3 3m tn 0 所以 0 即 又过点P存在唯一直线垂直于OQ 所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F 2 2016课标全国 20 12分 已知抛物线C y2 2x的焦点为F 平行于x轴的两条直线l1 l2分别交C于A B两点 交C的准线于P Q两点 1 若F在线段AB上 R是PQ的中点 证明AR FQ 2 若 PQF的面积是 ABF的面积的两倍 求AB中点的轨迹方程 解析由题设知F 设l1 y a l2 y b 则ab 0 且A B P Q R 记过A B两点的直线为l 则l的方程为
3、2x a b y ab 0 3分 1 由于F在线段AB上 故1 ab 0 记AR的斜率为k1 FQ的斜率为k2 则k1 b k2 所以AR FQ 5分 疑难突破第 1 问需把AR FQ的证明转化为kAR kFQ的证明 第 2 问需找到AB中点所满足的几何条件 从而将其转化为等量关系 3 2013课标全国 20 12分 0 150 已知圆M x 1 2 y2 1 圆N x 1 2 y2 9 动圆P与圆M外切并且与圆N内切 圆心P的轨迹为曲线C 1 求C的方程 2 l是与圆P 圆M都相切的一条直线 l与曲线C交于A B两点 当圆P的半径最长时 求 AB 解析由已知得圆M的圆心为M 1 0 半径r1
4、 1 圆N的圆心为N 1 0 半径r2 3 设圆P的圆心为P x y 半径为R 1 因为圆P与圆M外切并且与圆N内切 所以 PM PN R r1 r2 R r1 r2 4 由椭圆的定义可知 曲线C是以M N为左 右焦点 长半轴长为2 短半轴长为的椭圆 左顶点除外 其方程为 1 x 2 2 对于曲线C上任意一点P x y 由于 PM PN 2R 2 2 所以R 2 当且仅当圆P的圆心为 2 0 时 R 2 所以当圆P的半径最长时 其方程为 x 2 2 y2 4 若l的倾斜角为90 则l与y轴重合 可得 AB 2 若l的倾斜角不为90 由r1 R知l不平行于x轴 设l与x轴的交点为Q 则 可求得Q
5、 4 0 所以可设l y k x 4 由l与圆M相切得 1 解得k 当k 时 将y x 代入 1 并整理得7x2 8x 8 0 解得x1 2 所以 AB x2 x1 当k 时 由图形的对称性可知 AB 综上 AB 2或 AB 考点轨迹与轨迹方程 2015湖北 21 14分 一种作图工具如图1所示 O是滑槽AB的中点 短杆ON可绕O转动 长杆MN通过N处铰链与ON连接 MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动 且DN ON 1 MN 3 当栓子D在滑槽AB内做往复运动时 N绕O转动一周 D不动时 N也不动 M处的笔尖画出的曲线记为C 以O为原点 AB所在的直线为x轴建立如图2所示的平面直角坐标系 1 求曲
6、线C的方程 2 设动直线l与两定直线l1 x 2y 0和l2 x 2y 0分别交于P Q两点 若直线l总与曲线C有且只有一个公共点 试探究 OPQ的面积是否存在最小值 若存在 求出该最小值 若不存在 说明理由 B组自主命题 省 区 市 卷题组 图1图2 解析 1 设点D t 0 t 2 N x0 y0 M x y 依题意 2 且 1 所以 t x y 2 x0 t y0 且即且t t 2x0 0 由于当点D不动时 点N也不动 所以t不恒等于0 于是t 2x0 故x0 y0 代入 1 可得 1 即曲线C的方程为 1 2 i 当直线l的斜率不存在时 直线l为x 4或x 4 都有S OPQ 4 4
7、8 ii 当直线l的斜率存在时 设直线l y kx m 由消去y 可得 1 4k2 x2 8kmx 4m2 16 0 因为直线l总与椭圆C有且只有一个公共点 所以 64k2m2 4 1 4k2 4m2 16 0 即m2 16k2 4 又由可得P 同理可得Q 由原点O到直线PQ的距离为d 和 PQ xP xQ 可得S OPQ PQ d m xP xQ m 将 代入 得 S OPQ 8 当k2 时 S OPQ 8 8 8 当0 k2 时 S OPQ 8 8 因0 k2 则0 1 4k2 1 2 所以S OPQ 8 8 当且仅当k 0时取等号 所以当k 0时 S OPQ的最小值为8 综合 i ii
8、可知 当直线l与椭圆C在四个顶点处相切时 OPQ的面积取得最小值8 评析本题考查求轨迹方程的方法 及直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识 一 选择题 共5分 1 2016湖南东部六校2月联考 5 已知两定点A 0 2 B 0 2 点P在椭圆 1上 且满足 2 则 A 12B 12C 9D 9 三年模拟 A组2015 2017年高考模拟 基础题组 时间 30分钟分值 35分 答案D设P x y 由 2可得点P在以两定点A B为焦点的双曲线的上支 其中2a 2 c 2 b 点P x y 满足方程y2 1 y 1 由解得所以 x y 2 x y 2 x2 y2 4 9 4 4 9 故选D 二 填空题
9、共5分 2 2017豫北名校4月联考 15 已知 ABC的顶点B 0 0 C 5 0 AB边上的中线长 CD 3 则顶点A的轨迹方程为 答案 x 10 2 y2 36 y 0 解析设A x y 由题意可知D 又 CD 3 9 即 x 10 2 y2 36 由于A B C三点不共线 点A不能落在x轴上 即y 0 点A的轨迹方程为 x 10 2 y2 36 y 0 三 解答题 共25分 3 2017安徽安庆二模 20 已知抛物线x2 2py p 0 F为其焦点 过点F的直线l交抛物线于A B两点 过点B作x轴的垂线 交直线OA于点C 如图所示 1 求点C的轨迹M的方程 2 直线n是抛物线不与x轴重
10、合的切线 切点为P 轨迹M与直线n交于点Q 求证 以线段PQ为直径的圆过点F 解析 1 依题意可得 直线l的斜率存在 故设其方程为y kx 又设A x1 y1 B x2 y2 C x y 由 x2 2pkx p2 0 x1 x2 p2 3分 4 2016福建福安一中3月月考 20 已知两点A 2 0 B 2 0 直线l经过点B且与x轴垂直 点C是l上异于点B的动点 直线BP垂直线段OC并交线段AC于点P 记点P的轨迹为曲线 1 求曲线 的方程 2 过点D 1 0 的直线与曲线 交于M N两点 直线AM AN分别与l交于E F两点 当 AEF的面积是 AMN的面积的2倍时 求直线MN的方程 解析
11、 1 设C 2 m m 0 则kOC kAC 所以kBP 所以直线BP的方程为y x 2 直线AC的方程为y x 2 设P x y 则y 0 由得 1 所以曲线 的方程为 1 y 0 2 依题意知直线MN的斜率不为0 故可设直线MN的方程为x my 1 联立消去x得 m2 2 y2 2my 3 0 设M x1 y1 N x2 y2 y1 y2 一 选择题 每题5分 共10分 1 2017河北衡水中学期中 11 已知A 1 0 B是圆F x2 2x y2 11 0 F为圆心 上一动点 线段AB的垂直平分线交BF于P 则动点P的轨迹方程为 A 1B 1C 1D 1 B组2015 2017年高考模拟
12、 综合题组 时间 30分钟分值 35分 答案D将圆F改写成标准方程 x 1 2 y2 12 则圆心F的坐标为 1 0 半径r 2 由题意可知 PA PB 又点P在圆F的半径BF上 故 PA PF PB PF BF 2 2 AF 所以动点P的轨迹是以A F为焦点 2为长轴长的椭圆 则2a 2 2c 2 所以b 故动点P的轨迹方程为 1 因此选D 思路分析由题可得 PA PF PB PF BF 2 2 AF 根据椭圆的定义可知动点P的轨迹为椭圆 进而可写出轨迹方程 2 2015河北衡水中学三调 8 已知点Q在椭圆C 1上 点P满足 其中O为坐标原点 F1为椭圆C的左焦点 则点P的轨迹为 A 圆B
13、抛物线C 双曲线D 椭圆 答案D因为点P满足 所以P是线段QF1的中点 由于F1为椭圆C 1的左焦点 则F1 0 设P x y 则Q 2x 2y 由点Q在椭圆C 1上 得点P的轨迹方程为 1 可知点P的轨迹为椭圆 故选D 二 解答题 共25分 3 2017河南洛阳二模 20 已知动圆M过定点E 2 0 且在y轴上截得的弦PQ的长为4 1 求动圆圆心M的轨迹C的方程 2 设A B是轨迹C上的两点 且 4 F 1 0 记S S OFA S OAB 求S的最小值 解析 1 设M x y PQ的中点为N 连MN 则 PN 2 MN PQ MN 2 PN 2 PM 2 又 PM EM MN 2 PN 2
14、 EM 2 x2 4 x 2 2 y2 整理得y2 4x 动圆圆心M的轨迹C的方程为y2 4x 4分 2 设A B 不妨令y1 0 则S OFA OF y1 y1 5分 4 x1x2 y1y2 y1y2 4 解得y1y2 8 6分 当y1 y2时 AB x轴 A 2 2 B 2 2 S AOB 4 S OFA S 5 当y1 y2时 直线AB的方程为 7分 即y y1 令y 0 得x 2 直线AB恒过定点 2 0 设定点为E S OAB OE y1 y2 y1 y2 9分 由 可得S OAB y1 10分 S S OFA S OAB y1 y1 2 4当且仅当y1 即y1 时 取等号 11分
15、综上 Smin 4 12分 4 2016江西红色七校二模 20 已知动圆C过点A 2 0 且与圆M x 2 2 y2 64相内切 1 求动圆C的圆心的轨迹方程 2 设直线l y kx m 其中k m Z 与 1 中所求轨迹交于不同两点B D 与双曲线 1交于不同两点E F 问是否存在直线l 使得 0 若存在 指出这样的直线有多少条 若不存在 请说明理由 解析 1 圆M x 2 2 y2 64 圆心M的坐标为 2 0 半径R 8 AM 4 AM 2分 圆心C的轨迹是中心在原点 焦点为A M 长轴长为8的椭圆 则a 4 c 2 b2 a2 c2 12 3分 动圆C的圆心的轨迹方程为 1 4分 2
16、存在满足条件的直线l 由消去y并整理得 3 4k2 x2 8kmx 4m2 48 0 5分 设B x1 y1 D x2 y2 则x1 x2 1 8km 2 4 3 4k2 4m2 48 0 6分 思路分析 1 由题意可得 CM CA 8 AM 可知圆心C的轨迹是一个椭圆 进而可确定出轨迹方程 2 分别联立直线与椭圆和双曲线的方程并消元 由韦达定理得相应等量关系 结合 0得关于k m的方程 再结合k m Z等条件解出符合条件的k m的值 从而得出符合条件的直线的条数 C组2015 2017年高考模拟 创新题组 1 2017安徽合肥二模 20 如图 抛物线E y2 2px p 0 与圆O x2 y2 8相交于A B两点 且点A的横坐标为2 过劣弧AB上动点P x0 y0 作圆O的切线交抛物线E于C D两点 分别以C D为切点作抛物线E的切线l1 l2 l1与l2相交于点M 1 求p的值 2 求动点M的轨迹方程 解析 1 由点A的横坐标为2 可得点A的坐标为 2 2 代入y2 2px 解得p 1 2 设C D y1 0 y2 0 设切线l1 y y1 k 代入y2 2x得ky2 2y 2y1
