《高考一轮复习备考资料之数学江苏专版课件：第二章 函数概念与基本初等函数I 2.8》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考一轮复习备考资料之数学江苏专版课件：第二章 函数概念与基本初等函数I 2.8（66页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 2 8函数与方程 第二章函数概念与基本初等函数 基础知识自主学习 课时作业 题型分类深度剖析 内容索引 基础知识自主学习 1 函数的零点 1 函数零点的定义我们把使函数y f x 的值为0的实数x称为函数y f x 的零点 2 三个等价关系方程f x 0有实数根 函数y f x 的图象与有交点 函数y f x 有 3 函数零点的判定 零点存在性定理 如果函数y f x 在区间 a b 上的图象是连续不断的一条曲线 并且有 那么 函数y f x 在区间内有零点 即存在c a b 使得 这个也就是方程f x 0的根 知识梳理 x轴 零点 f a f b 0 a b f c 0 c 2 二分法对于
2、在区间 a b 上连续不断且的函数y f x 通过不断地把函数f x 的零点所在的区间 使区间的两个端点逐步逼近 进而得到零点近似值的方法叫做二分法 f a f b 0 一分为二 零点 3 二次函数y ax2 bx c a 0 的图象与零点的关系 x1 0 x2 0 x1 0 2 1 0 有关函数零点的结论 1 若连续不断的函数f x 在定义域上是单调函数 则f x 至多有一个零点 2 连续不断的函数 其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号 3 连续不断的函数图象通过零点时 函数值可能变号 也可能不变号 知识拓展 题组一思考辨析1 判断下列结论是否正确 请在括号中打 或 1 函数的零点就是函数
3、的图象与x轴的交点 2 函数y f x 在区间 a b 内有零点 函数图象连续不断 则f a f b 0 3 只要函数有零点 我们就可以用二分法求出零点的近似值 4 二次函数y ax2 bx c a 0 在b2 4ac 0时没有零点 5 f x x2 g x 2x h x log2x 当x 4 时 恒有h x f x g x 基础自测 1 2 3 4 5 6 题组二教材改编 1 2 4 5 6 答案 x 2 解析 3 解析y a x 1 x 3 a x 2 2 a 2 P97习题T4 已知f x ax2 bx c的零点为1 3 则函数y ax2 bx c的对称轴是 1 2 4 5 6 答案 解
4、析 3 P93练习T3 函数f x ex 3x的零点个数是 解析由已知得f x ex 3 0 所以f x 在R上单调递增 3 1 因此函数f x 有且只有一个零点 4 P97习题T8 已知函数f x x2 x a在区间 0 1 上有零点 则实数a的取值范围是 解析结合二次函数f x x2 x a的图象知 1 2 4 5 6 3 2 0 答案 解析 题组三易错自纠5 已知函数f x x x 0 g x x ex h x x lnx的零点分别为x1 x2 x3 则x1 x2 x3的大小关系是 解析作出y x与y1 y2 ex y3 lnx的图象如图所示 可知x2 x3 x1 解析 1 2 4 5
5、6 答案 3 x2 x3 x1 6 已知函数f x 则函数f x 有 个零点 解析 1 2 4 5 6 1 答案 解析当x 1时 由f x 2x 1 0 解得x 0 3 又因为x 1 所以此时方程无解 综上函数f x 只有1个零点 题型分类深度剖析 1 设函数y x3与y x 2的图象的交点为 x0 y0 若x0 n n 1 其中n N 则n 题型一函数零点所在区间的判定 自主演练 答案 解析 解析令g x x3 22 x 易知g x 为单调增函数 又g 1 0 易知函数g x 的零点所在区间为 1 2 故n 1 1 2 若a b c 则函数f x x a x b x b x c x c x
6、a 的两个零点分别位于区间 内 区间用a b c表示 解析 解析 a0 f b b c b a 0 由函数零点存在性定理可知 在区间 a b b c 内分别存在零点 又函数f x 是二次函数 最多有两个零点 因此函数f x 的两个零点分别位于区间 a b b c 内 答案 a b 和 b c 3 已知函数f x log2x 在下列区间中 包含f x 零点的区间是 0 1 1 2 2 4 4 解析 答案 解析因为f 1 6 log21 6 0 f 2 3 log22 2 0 所以函数f x 的零点所在区间为 2 4 确定函数零点所在区间的常用方法 1 利用函数零点存在性定理 2 数形结合法 所以
7、f x 在 0 上是增函数 又因为f 2 2 ln20 所以f x 在 0 上有一个零点 综上 函数f x 的零点个数是2 典例 1 函数f x 的零点个数是 解析 答案 题型二函数零点个数的判断 师生共研 2 所以在 0 上有一个零点 解析 答案 4 故当1 x 2时 h x 单调递减 在同一坐标系中画出y h x 和y 1的图象如图所示 由图象可知 f x g x 1的实根个数为4 函数零点个数的判断方法 1 直接求零点 2 利用零点存在性定理再结合函数的单调性确定零点个数 3 利用函数图象的交点个数判断 跟踪训练 1 已知函数f x 则函数g x f 1 x 1的零点个数为 解析 答案
8、3 易知当x 1时 函数g x 有1个零点 当x 1时 函数有2个零点 所以函数g x 的零点共有3个 2 函数f x 2x log0 5x 1的零点个数为 2 解析 答案 由右图知两函数图象有2个交点 故函数f x 有2个零点 命题点1根据函数零点个数求参数典例已知函数f x x2 3x x R 若方程f x a x 1 0恰有4个互异的实数根 则实数a的取值范围是 解析 题型三函数零点的应用 多维探究 答案 0 1 9 解析设y1 f x x2 3x y2 a x 1 在同一直角坐标系中作出y1 x2 3x y2 a x 1 的图象如图所示 由图可知f x a x 1 0有4个互异的实数根
9、等价于y1 x2 3x 与y2 a x 1 的图象有4个不同的交点且4个交点的横坐标都小于1 消去y得x2 3 a x a 0有两个不等实根 所以 3 a 2 4a 0 即a2 10a 9 0 解得a9 又由图象得a 0 09 本例中 若f x a恰有四个互异的实数根 则a的取值范围是 解析作出y1 x2 3x y2 a的图象如图所示 解析 答案 当x 0或x 3时 y1 0 解析 命题点2根据函数有无零点求参数 答案 2 2017 南京二模 若函数f x x2 mcosx m2 3m 8有唯一零点 则满足条件的实数m组成的集合为 解析f x 是偶函数 若f x 有唯一零点 故f 0 0 由f
10、 0 0 得m2 2m 8 0 解得m 2或m 4 解析 答案 2 当m 4时 f x x2 4cosx 4 因为f 2 4cos2 0 f 2 8 0 所以在 2 内也有零点 不合题意 命题点3根据零点的范围求参数 典例若函数f x m 2 x2 mx 2m 1 的两个零点分别在区间 1 0 和区间 1 2 内 则m的取值范围是 解析 答案 根据函数零点的情况求参数有三种常用方法 1 直接法 直接根据题设条件构建关于参数的不等式 再通过解不等式确定参数范围 2 分离参数法 先将参数分离 转化成求函数值域问题加以解决 3 数形结合法 先对解析式变形 在同一平面直角坐标系中画出函数的图象 然后数
11、形结合求解 跟踪训练 1 方程 2 x有解 则a的最小值为 解析 答案 1 2 已知函数f x 若函数g x f x m有三个零点 则实数m的取值范围是 解析 答案 解析作出函数f x 的图象如图所示 若函数f x 与y m的图象有三个不同的交点 典例 1 已知函数f x 若关于x的方程f x k有三个不同的实根 则实数k的取值范围是 2 若关于x的方程22x 2xa a 1 0有实根 则实数a的取值范围为 利用转化思想求解函数零点问题 思想方法 思想方法指导 思想方法指导 1 函数零点个数可转化为两个函数图象的交点个数 利用数形结合求解参数范围 2 a f x 有解 型问题 可以通过求函数y
12、 f x 的值域解决 解析 答案 1 0 解析 1 关于x的方程f x k有三个不同的实根 等价于函数y1 f x 与函数y2 k的图象有三个不同的交点 作出函数的图象如图所示 由图可知实数k的取值范围是 1 0 课时作业 1 已知函数f x 2x x 3 则f x 的零点共有 个 基础保分练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析由f x 0 得2x 3 x 作出函数y 2x与y 3 x的图象 得1个交点 即f x 只有1个零点 解析 答案 1 2 关于x的方程lgx 3 x的唯一解在区间 k k 1 k Z 内 则k 答案 2 1 2 3 4 5
13、 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析分别画出函数y lgx和y 3 x的图象 图略 记f x lgx x 3 则f x 单调递增 可证f 2 f 3 0 故k 2 解析 3 函数f x 2x a的一个零点在区间 1 2 内 则实数a的取值范围是 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 0 3 解析因为f x 在 0 上是增函数 则由题意得f 1 f 2 0 a 3 a 0 解得0 a 3 解析 4 已知函数f x 则使方程x f x m有解的实数m的取值范围是 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1
14、2 13 14 15 16 1 2 解析当x 0时 x f x m 即x 1 m 解得m 1 当x 0时 x f x m 即x m 解得m 2 即实数m的取值范围是 1 2 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 0 1 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 分两种情形 1 当0 m 1时 1 如图 当x 0 1 时 f x 与g x 的图象有一个交点 符合题意 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 当m 1时 0 1 如图 要使f x 与g x 的图象在
15、0 1 上只有一个交点 只需g 1 f 1 即1 m m 1 2 解得m 3或m 0 舍去 综上所述 m 0 1 3 6 已知f x 则函数g x f x ex的零点个数为 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析函数g x f x ex的零点个数即为函数y f x 与y ex的图象的交点个数 作出函数图象可知有2个交点 即函数g x f x ex有2个零点 答案 2 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7 若函数f x x2 ax b的两个零点是 2和3 则不等式af 2x 0的解集是 解析
16、 f x x2 ax b的两个零点是 2 3 2 3是方程x2 ax b 0的两根 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 f x x2 x 6 不等式af 2x 0 即 4x2 2x 6 0 即2x2 x 3 0 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8 已知函数f x 若存在实数b 使函数g x f x b有两个零点 则a的取值范围是 0 1 解析令 x x3 x a h x x2 x a 函数g x f x b有两个零点 即函数y f x 的图象与直线y b有两个交点 结合图象 图略 可得ah a 即aa2 解得a1 故a 0 1 解析 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9 定义在R上的奇函数f x 满足 当x 0时 f x 2015x log2015x 则在R上 函数f x 零点的个数为 答案 3 解析因为函数f x 为R上的奇函数 因此在 0 内有且仅有一个零点 根据对称性可知函数在 0 内有且仅有一个零点 从而函数f x 在R上的零点个数为3
