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1、小波分析入门 傅里叶分析 FourierAnalysis 傅里叶分析是目前信号分析的基石傅里叶分析将信号分解为不同频率的正弦分量从 变换 的观点看 傅里叶分析是时域与频域转换的桥梁 由于了解信号的频率成分非常重要 傅里叶分析是非常有用的工具 为什么我们还需要如小波分析等的其它技术 傅里叶分析的缺点 在变换到频域后 信号的时间信息丢失 从傅里叶频谱中无法得到信号在某一时刻发生的情况 若信号在整个时间历程上属于平稳信号 其统计参数变化不大 傅里叶分析的这些缺点并不显注 但在我们所处的世界中却经常会遇到繁多的非平稳信号 漂移 趋势 突变 事件的开始和结束等 该类信号往往是信号最主要的特征 而显然不满
2、足傅立叶分析的平稳性要求 短时傅里叶分析 Short TimeFourierAnalysis 为解决傅里叶分析的缺点 DennisGabor 1946 提出用加窗提取信号的一小段进行傅里叶分析的观点 即所谓的Short TimeFourierAnalysis STFT 将信号映射为时间和频率的函数 短时傅里叶分析提供了一个信号的时间和频率表示的折中 可反映信号在何时和什么频率发生 然而在精度上却比较粗糟 由窗口决定 STFT在信号的时间和频率表示上的折中是有用的 其缺点是一但你选择了某一长度的窗后 它将对所有频率成分都有效 而许多信号要求能有比较柔性的窗 我们可以调整窗长以取得比较精确的时间和
3、频率 小波分析 WaveletAnalysis 小波分析代表了另一种信号分析方式 一种具有变化区域的加窗技术 小波分析允许使用长时间间隔 在需要获得比较精确的低频信息时 和使用短的区域 在需要获得高频信息时 下图为从时域 频域 STFT 和小波分析观察信号的示意 注意 小波分析没有使用时间 频率坐标 而是使用时间 尺度坐标 小波分析可以做什么 小波分析的一个主要优点是其可以做信号的局部分析 小波分析能反映其它一些信号分析手段不能很好反映的信号信息 例如趋势 断点 不连续性等 进一步 小波分析提供了与传统方法不同的视角 目前小波分析在压缩或降噪方面有广泛的应用 什么是小波分析 一个小波是在有限区
4、间内存在 且均值为零的波形 相比之下 傅里叶分析的基函数为正弦信号 且在无限区间内存在 正弦信号为光滑且可预测 而小波通常为不规则波形 且非对称 傅里叶分析将信号分解为不同频率的正弦波 与此类似 小波分析将信号分解为不同尺度 平移的小波 连续小波变换 CWT 从数学的观点看傅里叶变换 与此类似 小波分析变换公式为 为母小波 C为小波系数 为尺度与位置的函数 小波系数C乘以与位移和尺度化后的小波 得到原信号的小波分量 尺度化 比例缩放 Scaling 前面谈到了小波将信号映射到时间 尺度域 下面对尺度化和时移进行解释 小波的尺度化意味着将小波进行拉伸和压缩 a为尺度因子 下面是正弦波的尺度变化示
5、例 小波的尺度变化与正弦波的变化类似 尺度因子越小 信号越被压缩 注意 频率与尺度有密切联系 平移 Shifting 小波的平移意味着小波起始位置的变化 在数学上若原信号为f t 则其时移表示为f t k 连续小波变换的5个基本步骤 1 选取一个小波 将其与原始信号的开始一段进行比较 2 计算小波系数C 其值的大小取决于小波与选取信号段的相似程度 越相似其值越大 更精确的是若信号与小波能量都等于1 则C可解释为互相关系数 注意 系数的大小与所选择小波的形状有关 3 从左到右平移小波逐段重复步骤1 2的比较 直到完成整个信号的比较 4 小波伸缩 尺度化 重复步骤1 3 5 重复1 4步得到所有尺
6、度下的小波系数 三维显示 小波分析得到的时间 尺度图谱 不同于时间 频率图谱 尺度与频率不同 但并非没有联系 尺度与频率 小尺度a 压缩小波 变化剧烈 高频 大尺度a 扩展小波 变化平缓 低频 自然界中的尺度 提供尺度而非频率信息并非小波的缺点 连续小波变换的连续含义 区别于离散小波变换 其尺度和平移可以比较自由 离散小波变换 连续小波变换的计算量非常大 费时1988年Mallat提出二进离散小波变换的快速算法 滤波算法 第一部滤波 逼近和细节 对大多数信号 其低频分量比较重要 高频包含大多数的冲击和噪声 在小波分析中称为逼近和细节 逼近成分对应大尺度低频分量 细节成分对应小尺度高频分量 下图
7、为小波分析滤波示意 原始信号S通过两个互补的滤波器得到两个信号A和D 在数字信号处理中S将被使用两次 设S具有1000个采样点 则D和A也将分别具有1000采样点 在离散小波分析中采用二取一的 降采样技术 得到分别具有500点的小波系数cD和cA 下面以一单级离散小波分解举例说明以上过程 使用的原信号为一叠加有高频噪声的实正弦信号 其分解原理图如下 Matlab语句如下s sin 20 linspace 0 pi 1000 0 5 rand 1 1000 cA cD dwt s db2 db2为选用小波名 不难发现 细节信号系数cD包含有主要的噪声成分 逼近信号cA比原信号包含较少的噪声 le
8、ngth cA length cD ans 501501小波系数cD和cA的长度比原始信号长度的一半多一 离散小波多级分解 Multiple LevelDecomposition 小波分解树 waveletdecompositiontree 分解时对逼近系数进行反复分解 分解多少级 信号的小波分解 小波重构 小波分解是小波分析的一半 与此相对的另一半是信号的小波重构 reconstruction 或综合 synthesis 无信息丢失 在数学上称为小波逆变换 IDWT 下图为信号的小波重构示意图 由小波分解得到的小波系数重构信号 信号的小波重构涉及滤波和上采样 上采样 小波重构中的上采样是在两
9、原数据点间插入零值 重构滤波器 重构滤波器的选择是非常苛刻的 出来需要满足很好的重构原信号外 还要解决滤波产生的 混叠 引起的相位失真 分解滤波器与重构滤波器有密切联系 但不相同 在小波分析中很好的选择滤波器可有效消除 混叠 的影响 逼近信号和细节信号的重构 前面所述的是由小波分解系数重构原始信号 与此类似 我们也可由小波分解系数重构某一级的逼近和细节信号 单级重构 多级重构 滤波器与小波形状的联系 重构滤波器与小波的选择有密切联系 在实际使用小波中 很少直接从构造一个小波开始 而是设计适合的镜像滤波器 进而设计出波形 下面以一个例子来说明 构造适合db2小波的低通重构滤波器L 滤波器系数可由
10、Matlab中的dbaux命令得到 若反转该滤波器系数向量 并且每一偶数样本乘以 1 则可得到高通重构滤波器H 的系数 H 上采样 H 系数间隔插零 上采样向量与原始低通滤波器卷乘 若重复该过程几次 即上采样并将结果滤波器向量与原始低通滤波器系数卷乘 则可得到以下图案 不难看出滤波器形状越来越接近db2小波 这表明小波的形状完全由重构滤波器决定 二者的重要联系说明 我们不能任意选择一个形状称之为小波并进行小波分析 至少当需要对信号进行精确重构时 我们不能选择任意的小波形状 我们必须选取由积分镜像分解滤波器所决定的形状作为小波 尺度函数 ScalingFunction 上面我们看到了小波与镜像积
11、分滤波器的内部联系 小波函数 由高通滤波器决定 高通滤波器也产生小波分解的细节信号 另一与小波函数有一些联系的函数就是所谓的尺度函数 尺度函数相似于小波函数 决定于低通镜像积分滤波器 该滤波器与小波分解的逼近信号相关 同样 通过重复上采样并与高通滤波器进行卷积可得到小波函数 重复上采样并与低通滤波器进行卷积可得到尺度函数的近似形状 多级分解和重构 小波的多级分解和重构可表示为 这一过程包括两个方面 信号分解得到小波系数 由小波系数重构原信号 前面我们已讨论过信号的小波分解和重构 在应用中当然无需将一个信号分解后又重构其本身 在进行重构前通常我们要改变小波系数 获得我们所需要的重构信号 进行小波分析的目的在于获得信号的小波系数 然后进行信号去噪和压缩等应用 许多应用仍等待我们去发现
