《河南省初高中数学衔接知识点的专题强化训练:专题五 二次函数 Word版含答案》由会员分享,可在线阅读,更多相关《河南省初高中数学衔接知识点的专题强化训练:专题五 二次函数 Word版含答案(9页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、 专题五 二次函数【要点回顾】1 二次函数yax2bxc的图像和性质问题1 函数yax2与yx2的图象之间存在怎样的关系?问题2 函数ya(xh)2k与yax2的图象之间存在怎样的关系?由上面的结论,我们可以得到研究二次函数yax2bxc(a0)的图象的方法:由于yax2bxca(x2)ca(x2)c, 所以,yax2bxc(a0)的图象可以看作是将函数yax2的图象作左右平移、上下平移得到的,二次函数yax2bxc(a0)具有下列性质:1当a0时,函数yax2bxc图象开口方向 ;顶点坐标为 ,对称轴为直线 ;当 时,y随着x的增大而 ;当 时,y随着x的增大而 ;当 时,函数取最小值 2当
2、a0时,函数yax2bxc图象开口方向 ;顶点坐标为 ,对称轴为直线 ;当 时,y随着x的增大而 ;当 时,y随着x的增大而 ;当 时,函数取最大值 上述二次函数的性质可以分别通过上图直观地表示出来因此,在今后解决二次函数问题时,可以借助于函数图像、利用数形结合的思想方法来解决问题2二次函数的三种表示方式1二次函数的三种表示方式:(1)一般式: ;(2)顶点式: ;(3)交点式: 说明:确定二此函数的关系式的一般方法是待定系数法,在选择把二次函数的关系式设成什么形式时,可根据题目中的条件灵活选择,以简单为原则二次函数的关系式可设如下三种形式:给出三点坐标可利用一般式来求;给出两点,且其中一点为
3、顶点时可利用顶点式来求给出三点,其中两点为与x轴的两个交点.时可利用交点式来求3分段函数一般地,如果自变量在不同取值范围内时,函数由不同的解析式给出,这种函数,叫作分段函数【例题选讲】例1 求二次函数y3x26x1图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大值(或最小值),并指出当x取何值时,y随x的增大而增大(或减小)?并画出该函数的图象例2 某种产品的成本是120元/件,试销阶段每件产品的售价x(元)与产品的日销售量y(件)之间关系如下表所示:x /元130150165y/件705035若日销售量y是销售价x的一次函数,那么,要使每天所获得最大的利润,每件产品的销售价应定为多少元?此时每天的销售
4、利润是多少? 例3 已知函数,其中,求该函数的最大值与最小值,并求出函数取最大值和最小值时所对应的自变量x的值 例4 根据下列条件,分别求出对应的二次函数的关系式(1)已知某二次函数的最大值为2,图像的顶点在直线yx1上,并且图象经过点(3,1);(2)已知二次函数的图象过点(3,0),(1,0),且顶点到x轴的距离等于2;(3)已知二次函数的图象过点(1,22),(0,8),(2,8) 例5 在国内投递外埠平信,每封信不超过20g付邮资80分,超过20g不超过40g付邮资160分,超过40g不超过60g付邮资240分,依此类推,每封xg(0x100)的信应付多少邮资(单位:分)?写出函数表达
5、式,作出函数图象分析:由于当自变量x在各个不同的范围内时,应付邮资的数量是不同的所以,可以用分段函数给出其对应的函数解析式在解题时,需要注意的是,当x在各个小范围内(如20x40)变化时,它所对应的函数值(邮资)并不变化(都是160分)解:设每封信的邮资为y(单位:分),则y是x的函数这个函数的解析式为 由上述的函数解析式,可以得到其图象如图所示【巩固练习】1选择题:(1)把函数y(x1)24的图象的顶点坐标是 ( ) (A)(1,4) (B)(1,4) (C)(1,4) (D)(1,4)(2)函数yx24x6的最值情况是 ( ) (A)有最大值6 (B)有最小值6 (C)有最大值10 (D)
6、有最大值2(3)函数y2x24x5中,当3x2时,则y值的取值范围是 ( ) (A)3y1 (B)7y1 (C)7y11 (D)7y11 2填空:(1)已知某二次函数的图象与x轴交于A(2,0),B(1,0),且过点C(2,4),则该二次函数的表达式为 (2)已知某二次函数的图象过点(1,0),(0,3),(1,4),则该函数的表达式为 3根据下列条件,分别求出对应的二次函数的关系式(1)已知二次函数的图象经过点A(0,),B(1,0),C(,2);(2)已知抛物线的顶点为(1,),且与y轴交于点(0,1);(3)已知抛物线与x轴交于点M(,0),(5,0),且与y轴交于点(0,);(4)已知
7、抛物线的顶点为(3,),且与x轴两交点间的距离为44如图,某农民要用12m的竹篱笆在墙边围出一块一面为墙、另三面为篱笆的矩形地供他圈养小鸡已知墙的长度为6m,问怎样围才能使得该矩形面积最大?5如图所示,在边长为2的正方形ABCD的边上有一个动点P,从点A出发沿折线ABCD移动一周后,回到A点设点A移动的路程为x,PAC的面积为y(1)求函数y的解析式;(2)画出函数y的图像; (3)求函数y的取值范围专题五二次函数参考答案例1 解:y3x26x13(x1)24,函数图象的开口向下;对称轴是直线x1;顶点坐标为(1,4);当x1时,函数y取最大值y4;当x1时,y随着x的增大而增大;当x1时,y
8、随着x的增大而减小;采用描点法画图,选顶点A(1,4),与x轴交于点B和C,与y轴的交点为D(0,1),过这五点画出图象(如图25所示)说明:从这个例题可以看出,根据配方后得到的性质画函数的图象,可以直接选出关键点,减少了选点的盲目性,使画图更简便、图象更精确例2 分析:由于每天的利润日销售量y(销售价x120),日销售量y又是销售价x的一次函数,所以,欲求每天所获得的利润最大值,首先需要求出每天的利润与销售价x之间的函数关系,然后,再由它们之间的函数关系求出每天利润的最大值解:由于y是x的一次函数,于是,设ykx(B),将x130,y70;x150,y50代入方程,有 解得 k1,b200
9、yx200设每天的利润为z(元),则z(x+200)(x120)x2320x24000(x160)21600,当x160时,z取最大值1600答:当售价为160元/件时,每天的利润最大,为1600元例3 分析:本例中函数自变量的范围是一个变化的范围,需要对a的取值进行讨论 解:(1)当a2时,函数yx2的图象仅仅对应着一个点(2,4),所以,函数的最大值和最小值都是4,此时x2; (2)当2a0时,由图226可知,当x2时,函数取最大值y4;当xa时,函数取最小值ya2;(3)当0a2时,由图226可知,当x2时,函数取最大值y4;当x0时,函数取最小值y0;(4)当a2时,由图226可知,当
10、xa时,函数取最大值ya2;当x0时,函数取最小值y0说明:在本例中,利用了分类讨论的方法,对a的所有可能情形进行讨论此外,本例中所研究的二次函数的自变量的取值不是取任意的实数,而是取部分实数来研究,在解决这一类问题时,通常需要借助于函数图象来直观地解决问题例4(1)分析:在解本例时,要充分利用题目中所给出的条件最大值、顶点位置,从而可以将二次函数设成顶点式,再由函数图象过定点来求解出系数a解:二次函数的最大值为2,而最大值一定是其顶点的纵坐标,顶点的纵坐标为2又顶点在直线yx1上,所以,2x1,x1顶点坐标是(1,2)设该二次函数的解析式为,二次函数的图像经过点(3,1),解得a2二次函数的
11、解析式为,即y2x28x7 说明:在解题时,由最大值确定出顶点的纵坐标,再利用顶点的位置求出顶点坐标,然后设出二次函数的顶点式,最终解决了问题因此,在解题时,要充分挖掘题目所给的条件,并巧妙地利用条件简捷地解决问题(2) 分析一:由于题目所给的条件中,二次函数的图象所过的两点实际上就是二次函数的图象与x轴的交点坐标,于是可以将函数的表达式设成交点式解法一:二次函数的图象过点(3,0),(1,0),可设二次函数为ya(x3) (x1) (a0),展开,得 yax22ax3a, 顶点的纵坐标为 ,由于二次函数图象的顶点到x轴的距离2,|4a|2,即a所以,二次函数的表达式为y,或y分析二:由于二次
12、函数的图象过点(3,0),(1,0),所以,对称轴为直线x1,又由顶点到x轴的距离为2,可知顶点的纵坐标为2,或2,于是,又可以将二次函数的表达式设成顶点式来解,然后再利用图象过点(3,0),或(1,0),就可以求得函数的表达式解法二:二次函数的图象过点(3,0),(1,0),对称轴为直线x1又顶点到x轴的距离为2,顶点的纵坐标为2,或2于是可设二次函数为ya(x1)22,或ya(x1)22,由于函数图象过点(1,0),0a(11)22,或0a(11)22a,或a所以,所求的二次函数为y(x1)22,或y(x1)22说明:上述两种解法分别从与x轴的交点坐标及顶点的坐标这两个不同角度,利用交点式和顶点式来解题,在今后的解题过程中,要善于利用条件,选择恰当的方法来解决问题(3)解:设该二次函数为yax2bxc(a0)由函数图象过点(1,22),(0,8),(2,8),可得 解得 a2,b12,c8所以,所求的二次函数为y2x212x8 【巩固练习】1(1)D (2)C (3)D 2(1)yx2x2 (2)yx22x33(1)(2) (3)(4)4当长为6m,宽为3m时,矩形的面积最大5(1)函数f(x)的解析式为 (2)函数y的图像如图所示(3)由函数图像可知,函数y的取值范围是0y2