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1、3.2.2 几种特殊的三角形等腰三角形底边上三线(角平分线、中线、高线)合一.因而在等腰三角形ABC中,三角形的内心I、重心G、垂心H必然在一条直线上.例5 在中,求(1)的面积及边上的高;(2)的内切圆的半径;(3)的外接圆的半径.图3.2-10解 (1)如图,作于.为的中点,图3.2-11又解得.(2)如图,为内心,则到三边的距离均为,连, ,即,图3.2-12解得.(3)是等腰三角形,外心在上,连,则中,解得图3.2-13在直角三角形ABC中,为直角,垂心为直角顶点A, 外心O为斜边BC的中点,内心I在三角形的内部,且内切圆的半径为(其中分别为三角形的三边BC,CA,AB的长),为什么?
2、 该直角三角形的三边长满足勾股定理:.图3.2-14例6 如图,在中,AB=AC,P为BC上任意一点.求证:.证明:过A作于D.在中,.在中,.图3.2-15正三角形三条边长相等,三个角相等,且四心(内心、重心、垂心、外心)合一,该点称为正三角形的中心.例7 已知等边三角形ABC和点P,设点P到三边AB,AC,BC的距离分别为,三角形ABC的高为,“若点P在一边BC上,此时,可得结论:.”请直接应用以上信息解决下列问题:当(1)点P在内(如图b),(2)点在外(如图c),这两种情况时,上述结论是否还成立?若成立,请给予证明;若不成立,与之间有什么样的关系,请给出你的猜想(不必证明).图3.2-
3、16解 (1)当点P在内时,法一 如图,过P作分别交于,由题设知,而,故,即.法二 如图,连结,图3.2-17,又,即.(2)当点P在外如图位置时,不成立,猜想:.图3.2-18注意:当点P在外的其它位置时,还有可能得到其它的结论,如,(如图3.2-18,想一想为什么?)等.在解决上述问题时,“法一”中运用了化归的数学思想方法,“法二”中灵活地运用了面积的方法.练习21 直角三角形的三边长为3,4,,则_.2 等腰三角形有两个内角的和是100,则它的顶角的大小是_.3 满足下列条件的,不是直角三角形的是( )A B C D 4 已知直角三角形的周长为,斜边上的中线的长为1,求这个三角形的面积.5 证明:等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和为一个常量.练习215或 2.或 3.C 4设两直角边长为,斜边长为2,则,且,解得,. 5.可利用面积证.