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1、函数的导数运算法则【一】选择题1.函数y=(x+1)2(x-1)在x=1处的导数等于()A.1 B.2C.3 D.4【答案】D【解析】y′=(x+1)2′(x-1)+(x+1)2(x-1)′=2(x+1)•(x-1)+(x+1)2=3x2+2x-1，∴y′|x=1=4.2.假设对任意x∈R，f′(x)=4x3，f(1)=-1，那么f(x)=()A.x4 B.x4-2C.4x3-5 D.x4+2【答案】B【解析】f′(x)=4x3.∴f(x)=x4+c，又f(1)=-1&the
2、re4;1+c=-1，∴c=-2，∴f(x)=x4-2.3.设函数f(x)=xm+ax的导数为f′(x)=2x+1，那么数列1f(n)(n∈N*)的前n项和是()A.nn+1 B.n+2n+1C.nn-1 D.n+1n【答案】A【解析】f(x)=xm+ax的导数为f′(x)=2x+1，∴m=2，a=1，∴f(x)=x2+x，即f(n)=n2+n=n(n+1)，∴数列1f(n)(n∈N*)的前n项和为：Sn=11×2+12×3+13×4+1n(n+
3、1)=1-12+12-13+1n-1n+1=1-1n+1=nn+1，应选A.4.二次函数y=f(x)的图象过原点，且它的导函数y=f′(x)的图象是过第【一】【二】三象限的一条直线，那么函数y=f(x)的图象的顶点在()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【答案】C【解析】由题意可设f(x)=ax2+bx，f′(x)=2ax+b，由于f′(x)的图象是过第【一】【二】三象限的一条直线，故2a>0，b>0，那么f(x)=ax+b2a2-b24a，顶点-b2a，-b24a在第三象限，应选C.5.函数y=(2+x3)2的导数为()A.6
4、x5+12x2 B.4+2x3C.2(2+x3)2 D.2(2+x3)•3x【答案】A【解析】y=(2+x3)2=4+4x3+x6，∴y′=6x5+12x2.6.(2019•江西文，4)假设函数f(x)=ax4+bx2+c满足f′(1)=2，那么f′(-1)=()A.-1 B.-2C.2 D.0【答案】B【解析】此题考查函数知识，求导运算及整体代换的思想，f′(x)=4ax3+2bx，f′(-1)=-4a-2b=-(4a+2b)，f′(1)=4a+2b，∴f′(-
5、1)=-f′(1)=-2要善于观察，应选B.7.设函数f(x)=(1-2x3)10，那么f′(1)=()A.0 B.-1C.-60 D.60【答案】D【解析】f′(x)=10(1-2x3)9(1-2x3)′=10(1-2x3)9•(-6x2)=-60x2(1-2x3)9，∴f′(1)=60.8.函数y=sin2x-cos2x的导数是()A.22cos2x-π4 B.cos2x-sin2xC.sin2x+cos2x D.22cos2x+π4【答案】A【解析】y′=(sin2x-cos2x)
6、′=(sin2x)′-(cos2x)′=2cos2x+2sin2x=22cos2x-π4.9.(2019•高二潍坊检测)曲线y=x24-3lnx的一条切线的斜率为12，那么切点的横坐标为()A.3 B.2C.1 D.12【答案】A【解析】由f′(x)=x2-3x=12得x=3.10.设函数f(x)是R上以5为周期的可导偶函数，那么曲线y=f(x)在x=5处的切线的斜率为()A.-15 B.0C.15 D.5【答案】B【解析】由题设可知f(x+5)=f(x)∴f′(x+5)=f′(x)，&the
7、re4;f′(5)=f′(0)又f(-x)=f(x)，∴f′(-x)(-1)=f′(x)即f′(-x)=-f′(x)，∴f′(0)=0故f′(5)=f′(0)=0.故应选B.【二】填空题11.假设f(x)=x，φ(x)=1+sin2x，那么fφ(x)=_，φf(x)=_.【答案】2sinx+π4，1+sin2x【解析】fφ(x)=1+sin2x=(sinx+cosx)2=|sinx+cosx|=2sinx+π4.&p
8、hi;f(x)=1+sin2x.12.设函数f(x)=cos(3x+φ)(0<φ<π)，假设f(x)+f′(x)是奇函数，那么φ=_.【答案】π6【解析】f′(x)=-3sin(3x+φ)，f(x)+f′(x)=cos(3x+φ)-3sin(3x+φ)=2sin3x+φ+5π6.假设f(x)+f′(x)为奇函数，那么f(0)+f′(0)=0，即0=2sinφ+5π6，∴φ+5π6=kπ(k∈Z
9、).又φ∈(0，π)，∴φ=π6.13.函数y=(1+2x2)8的导数为_.【答案】32x(1+2x2)7【解析】令u=1+2x2，那么y=u8，∴y′x=y′u•u′x=8u7•4x=8(1+2x2)7•4x=32x(1+2x2)7.14.函数y=x1+x2的导数为_.【答案】(1+2x2)1+x21+x2【解析】y′=(x1+x2)′=x′1+x2+x(1+x2)′=1+x2+x21+x2=(1+2x2)1+x2
10、1+x2.【三】解答题15.求以下函数的导数：(1)y=xsin2x;(2)y=ln(x+1+x2);(3)y=ex+1ex-1;(4)y=x+cosxx+sinx.【解析】(1)y′=(x)′sin2x+x(sin2x)′=sin2x+x•2sinx•(sinx)′=sin2x+xsin2x.(2)y′=1x+1+x2•(x+1+x2)′=1x+1+x2(1+x1+x2)=11+x2 .(3)y′=(ex+1)′(ex-1)-(ex+1)(ex-1)′(e
11、x-1)2=-2ex(ex-1)2 .(4)y′=(x+cosx)′(x+sinx)-(x+cosx)(x+sinx)′(x+sinx)2=(1-sinx)(x+sinx)-(x+cosx)(1+cosx)(x+sinx)2=-xcosx-xsinx+sinx-cosx-1(x+sinx)2.16.求以下函数的导数：(1)y=cos2(x2-x); (2)y=cosx•sin3x;(3)y=xloga(x2+x-1);(4)y=log2x-1x+1.【解析】(1)y′=cos2(x2-x)′=2cos(x2-x)cos(x2
12、-x)′=2cos(x2-x)-sin(x2-x)(x2-x)′=2cos(x2-x)-sin(x2-x)(2x-1)=(1-2x)sin2(x2-x).(2)y′=(cosx•sin3x)′=(cosx)′sin3x+cosx(sin3x)′=-sinxsin3x+3cosxcos3x=3cosxcos3x-sinxsin3x.(3)y′=loga(x2+x-1)+x•1x2+x-1logae(x2+x-1)′=loga(x2+x-1)+2x2+xx2+x-1logae.(4)
13、y′=x+1x-1x-1x+1′log2e=x+1x-1log2ex+1-x+1(x+1)2=2log2ex2-1.17.设f(x)=2sinx1+x2，如果f′(x)=2(1+x2)2•g(x)，求g(x).【解析】f′(x)=2cosx(1+x2)-2sinx•2x(1+x2)2=2(1+x2)2(1+x2)cosx-2x•sinx，又f′(x)=2(1+x2)2•g(x).∴g(x)=(1+x2)cosx-2xsinx.18.求以下函数的导数：(其中f(x)是可导函数)(1)y=f1x;(2)y=f(x2+1).【解析】(1)解法1：设y=f(u)，u=1x，那么y′x=y′u•u′x=f′(u)•-1x2=-1x2f′1x.解法2：y′=f1x′=f′1x•1x′=-1x2f′1x.教书先生恐怕是市井百姓最为熟悉的一种称呼，从最初的门馆、私塾到晚清的学堂，教书先生那一行当怎么说也算是让国人景仰甚或敬畏的一种社会职业。只是更早的先生概念并非源于
