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1、第9讲 逆变换与逆矩阵1.通过具体变换,了解逆变换的定义,理解逆矩阵的意义;通过具体的投影变换,体会逆矩阵可能不存在. 2.会证明逆矩阵的唯一性和(AB)-1=B-1A-1等简单性质,并了解其在变换中的意义.3.会求逆矩阵,并能用其性质解决简单的问题.4.能用变换与映射的观点认识解线性方程组的意义.5.会用系数矩阵的逆矩阵解方程组.6.会通过具体的系数矩阵,从几何上说明线性方程组解的存在性和唯一性.1.逆矩阵与逆变换的意义是重点2.求逆矩阵的计算方法是重点.3.会求逆矩阵,并能用其性质解决简单的问题.4.会用系数矩阵的逆矩阵解方程组是重点以及难点.5.通过系数矩阵求解的个数是难点._逆变换逆矩
2、阵及其性质1.逆变换设是一个线性变换,如果存在线性变换,使得,则称变换,并且称是的_.2.逆矩阵 (1)逆矩阵的有关概念：对于二阶矩阵A，B，若有_，则称A是可逆的，B称为A的若二阶矩阵A存在逆矩阵B，则逆矩阵是唯一的，通常记A的逆矩阵为A1，A1B.(2)逆矩阵的求法：一般地，对于二阶可逆矩阵A(detAadbc0)，它的逆矩阵为A1_3.逆变换与逆矩阵的关系设A是一个二阶可逆矩阵,对应的线性变换为,由矩阵与线性变换的对应关系可以看出,A的逆矩阵就是的_所对应的矩阵.4.逆矩阵的性质性质1设A是一个二阶矩阵,如果A是可逆的,则A的逆矩阵是_.把A的逆矩阵记为_,读作或_,例1.用几何变换的观
3、点判断下列矩阵是否存在逆矩阵,若存在,请把它求出来;若不存在,请说明理由.练习1.利用几何变换的观点求出的逆矩阵。练习2.已知二阶矩阵可逆,证明：矩阵也可逆,且=例2.已知A=1123,B=2345,求(AB)-1.练习1.已知A=10k1(k0),则A-1等于 ()A.11k01 B.1-k01C.10-k1 D.不存在练习2.已知A=1110,B=0120,求(AB)-1._二阶行列式的定义及逆矩阵1.行列式如果矩阵A=abcd是可逆的,则ad-bc0,表达式ad-bc称为,记作abcd,即abcd=ad-bc,abcd也称为二阶矩阵A=abcd的行列式,记为detA或_.2.定理二阶矩阵
4、A=abcd可逆,当且仅当_.当矩阵A=abcd可逆时,A-1=ddetAbdetA-cdetAadetA.数ad-bc对于判断矩阵A=abcd是否可逆以及求其逆矩阵具有特别的重要性,这是我们把它定义为矩阵A的行列式detA的重要原因.要计算A-1,可以先求出行列式_,再写出A-1.例3.计算下列行列式:(1)32-15;(2)7-984.练习1.行列式1-120的值为()A.-2B.2C.0D.-1例4.判断下列矩阵是否有逆矩阵,若有,求出逆矩阵.(1)A=2143;(2)B=a311.练习1.求下列矩阵的逆矩阵.(1)A=1573;(2)B=2684._逆矩阵与二元一次方程组1.二元一次方
5、程组的矩阵形式一般地,关于变量x,y的二元一次方程组ax+by=e,cx+dy=f其中a,b,c,d均为常数的矩阵形式为abcdxy=ef,其中矩阵A=abcd是把二元一次方程组中未知数x,y的系数按原来的顺序写出来得到的,称为二元一次方程组的系数矩阵.2.定理如果关于变量x,y的二元一次方程组(线性方程组)ax+by=e,cx+dy=f的系数矩阵A=abcd可逆,那么该方程组有唯一解,xy=abcd-1ef.3.推论关于变量x,y的二元一次方程组ax+by=0,cx+dy=0(其中a,b,c,d是不全为零的常数),有非零解的充分必要条件是系数矩阵的行列式abcd=0.（常数项都为零的线性方程组为齐次线性方程组,显然00是其一个解,称为_例5.利用逆矩阵解下列二元一次方程组:(1)3x-3y=1,-x+4y=3;,练习1.求方程组的解x+2y+1=0,3x+4y-1=0.练习2.二元一次方程组3x+2y=5,5x-3y=9的矩阵形式为.例6.试写出齐次线性方程组2x-y=0,4x+ay=0的矩阵形式,并判断有无非零解.练习1.当m为何值时,二元一次方程组3-21-4xy=mxy有非零解?_
