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1、 高一数学 2017 秋季 第 1 页 演练方阵 第 5 讲 圆幂定理 类型一类型一 三角形三角形五五心心 考点说明 区别三角形五心的基本概念 中 1 ABC中 C 30 O是外心 I是内心 边AC上的D点与边BC上的E点使得AD BE AB 求证 OI 丄 DE OI DE 答案 见解析 解析 作 DAO 平分线交 BC 于 K 易证 AID AIB EIB AID AIB EIB 利用 内心张角公式 有 AIB 90 1 2 C 105 DIE 360 105 3 45 AKB 30 1 2 DAO 30 1 2 BAC BAO 30 1 2 BAC 60 1 2 BAC BAI BEI
2、AK IE 由等腰 AOD 可知 DO 丄 AK DO 丄 IE 即 DF 是 DIE 的一条高 同理 EO 是 DIE 之垂心 OI 丄 DE 由 DIE IDO 易知 OI DE 中 2 在直角三角形中 求证 r ra rb rc 2p 式中r ra rb rc分别表示内切圆半径及 与a b c相切的旁切圆半径 p表示半周 答案 见解析 解析 设 Rt ABC 中 c 为斜边 先来证明一个特性 p p c p a p b p p c 2 1 a b c 2 1 a b c 4 1 a b 2 c2 2 1 ab p a p b 2 1 a b c 2 1 a b c 4 1 c2 a b
3、2 2 1 ab p p c p a p b 三角形五心 K r r r r O O O 2 1 3 A O E C B a b c 高一数学 2017 秋季 第 2 页 观察图形 可得 ra AF AC p b rb BG BC p a rc CK p 而 r 2 1 a b c p c r ra rb rc p c p b p a p 4p a b c 2p 由 及图形易证 中 3 设 ABC 的 A 60 求证 1 AO AH 2 ABC 的外心 O 内心 I 垂心 H 及点 B C 五点在同一个圆上 答案 见解析 解析 1 因为 O 是外心 CE BC 又 H 是垂心 故 AH BC
4、从而 AH CE 同理 CH AE 于是 AHCE 为平行四边形 AH CE 又 BEC A 60 从而 EBC 30 所 以 1 2 CEBEOA 故 AH CE OA 2 作 O 关于 BC 的对称点 O 连接 BO BI BH BO CO CI CH CO 由三角形外心 内心 垂心的张角公式可知 BOC 2 A 120 1 90120 2 BICA BHC 180 A 120 则 B C H I O 五点共圆 中 4 在 ABC 的边 AB BC CA 上分别取点 P Q S 证明以 APS BQP CSQ 的 外心为顶点的三角形与 ABC 相似 答案 见解析 解析 设 O1 O2 O3
5、是 APS BQP CSQ 的外心 作出六边形 O1PO2QO3S 后再由 外心性质可知 PO1S 2 A QO2P 2 SO3Q 2 C PO1S QO2P SO3Q 360 从而又知 O1PO2 O2QO3 O3SO1 360 将 O2QO3绕着 O3点旋转到 KSO3 易判断 KSO1 O2PO1 同时可得 O1O2O3 O1KO3 O2O1O3 KO1O3 1 2 O2O1K 1 2 O2O1S SO1K 1 2 O2O1S PO1O2 1 2 PO1S A 同理有 O1O2O3 B 故 O1O2O3 ABC 类型一类型一 圆的切线的判定圆的切线的判定 考点说明 利用圆的切线的判定定理
6、解决问题 易 1 如图 EB EC 是 O 的两条切线 B C 是切点 A D 是 O 上两点 如果 E 46 DCF 32 则 A 的大小为 圆的切线 高一数学 2017 秋季 第 3 页 A 70 B 80 C 90 D 99 答案 D 解析 EB EC 是 O 的切线 EB EC 又 E 46 ECB EBC 67 BCD 180 BCE DCF 180 99 81 四边形 ADCB 内接于 O A BCD 180 A 180 81 99 故选 D 易 2 如图 圆 O 与等腰直角三角形 ABC 的两直角边相切 交斜边 BC 于 F G 两点 且 BF FG 3 则圆 O 的半径等于 答
7、案 1 解析 设圆的半径为 r BD x 则 2 x r 3 2 x2 2 2 2 r 1 x 2 故答案为 1 易 3 如图 PA 与圆 O 相切于点 A 割线 PO 与圆 O 交于 C D 两点 DE 垂直直径 AB 于 E 且 2OE OB 1 则 PC 等于 答案 1 解析 由题意 DE 垂直直径 AB 于 E 且 2OE OD 1 D 30 P 30 AP 3 由 切割线定理可得 PA2 PC PD 3 PC PC 2 PC 1 故答案为 1 高一数学 2017 秋季 第 4 页 中 4 如图 AB 为圆 O 的直径 E 为 AB 的延长线上一点 过 E 作圆 O 的切线 切点 为
8、C 过 A 作直线 EC 的垂线 垂足为 D 若 AB 4 CE 2 3 则 AD 答案 3 解析 连接 OC 则 OC DE AD DE AD OC OC AD OE AE 由切割线定理可得 CE2 BE AE 12 BE BE 4 BE 2 OE 4 2 AD 4 6 AD 3 故答案为 3 中 5 过圆外一点 P 作圆的切线 PA A 为切点 再作割线 PBC 依次交圆于 B C 若 PA 6 AC 8 BC 9 则 AB 答案 4 解析 由题意 PAB C APB CPA PAB PCA PA PC PB PA AB CA PA 6 AC 8 BC 9 6 PB 9 PB 6 AB 8
9、 PB 3 AB 4 故答案为 4 中 6 如图所示 O 的两条切线 PA 和 PB 相交于点 P 与 O 相切于 A B 两点 C 是 O 上的一点 若 P 70 则 ACB 答案 55 解析 连接 OA OB PA PB 与圆 O 分别相切于点 A B OA AP OB PB OAP OBP 90 又 P 70 AOB 360 90 90 70 110 又 ACB 和 AOB 分别是AB 所对的圆周角和圆心角 ACB 1 2 AOB 1 2 110 55 故答案为 55 高一数学 2017 秋季 第 5 页 中 7 如图 锐角 ABC 内接于圆 0 过圆心 0 且垂直于半径 0A 的直线分
10、别交边 AB AC 于点 E F 设圆 0 在 B C 两点处的切线相交于点 P 求证 直线 AP 平分线段 EF 答案 见解析 解析 过P 作EF的平行线 MN 分别交AB AC 的延长线于点 M N 则 PMB AEO 90 OAE O 是 ABC 的 外 心 OAE 1 2 180 AOB 90 ACB PMB ACB PB 是圆 O的切线 PBM ACB PMB PBM PM PB 同 理 PN PC PB PC PM PN AP 平分线段 MN EF MN 直线 AP 平分线段 EF 中 8 如图 已知 O 的弦 AB 垂直于直径 CD 垂足为 F 点 E 在 AB 上 且 EA E
11、C 1 求证 AC2 AE AB 高一数学 2017 秋季 第 6 页 2 延长 EC 到点 P 连接 PB 若 PB PE 试判断 PB 与 O 的位置关系 并说明理由 答案 见解析 解析 1 连接 BC AB CD CD 为 O 的直径 BC AC 1 2 又 AE CE 1 3 AEC ACB AC AB AE AC 即 AC 2 AB AE 2 PB 与 O 相切 连接 OB PB PE PBE PEB 1 2 3 PEB 1 3 2 1 PBE 2 PBC OBC OCB Rt BCF 中 OCB 90 2 90 1 OBC 90 1 OBP OBC PBC 1 90 1 90 PB
12、 OB 即 PB 为 O 的切线 中 9 如图 AB 为 O 的直径 D 为 O 上一点且 CD AB 于 C E F 分别为圆上的 点满足 ACF BCE 直线 FE AB 交于 P 求证 PD 为 O 的切线 答案 见解析 解 析 延 长 FC交 圆 与 G 连 接 GB OD 如 图 POF 2 OAF 而 PEC PEB BEC PAF BGC PAF PAF 2 PAF POF PEC 又根据圆 的 对 称 性 得 PGC PEC 在 PGC 和 FOC 中 1 2 PGC PEC PGC FOC PC OC GC FC 又CD2 GC FC PC OC CD2 PDC DOC PD
13、C DOC DOC ODC 90 高一数学 2017 秋季 第 7 页 PDC ODC 90 PD 是 O 的切线 类型二类型二 圆的切线的性质圆的切线的性质 考点说明 利用圆的切线的性质 解决线段求解等问题 易 1 如图 AB 是的直径 PB PE 分别切 O 于 B C ACE 40 则 P A 60 B 70 C 80 D 90 答案 C 解析 连接 BC AB 是 O 的直径 ACB 90 又 ACE 40 且 PB PC PCB PBC 50 P 180 50 50 80 故选 C 易 2 如图 PA 是 O 的切线 A 为切点 PC 是 O 的割线 且 PB 1 2 BC 则PA
14、PB 等 于 A 2 B 1 2 C 1 D 3 答案 D 解析 设 PB x 则 BC 2x PC PB BC 3x 根据圆的切割线定理 得到 PA2 PB PC 即 PA2 x 3x 3x2 PA 3x PA PB 3 故选 D 中 3 如图 PA 切 O 于 A PB 切 O 于 B OP 交 O 于 C 下列结论中 错误的是 高一数学 2017 秋季 第 8 页 A 1 2 B PA PB C AB OP D PA2 PC PO 答案 D 解析 由切线长定理可得 1 2 PA OB 从而 AB OP 因此 A B C 都正确 由 切割线定理可得 PC2 PC PC 2R 可知 D 是错
15、误的 综上可知 只有 D 是错误的 故 选 D 中 4 已知 AB 是 O 的切线 在下列条件中 能判定 AB CD 的是 A AB 与 O 相切于点 C CD 为 O 的一条弦 B CD 过圆心 O C AB 与 O 相切于点 C CD 过圆心 D CD 也是 O 的切线 答案 C 解析 AB 是 O 的切线 AB 与 O 相切于点 C CD 为 O 的一条弦 当且仅当 CD 过圆心时 AB CD 当 CD 不过圆心时 不能判定 AB CD 故 A 不正确 AB 是 O 的切线 CD 过圆心 O 当且仅当 CD 过 AB 与圆的切点时 AB CD 当 CD 不 过 AB 与圆的切点时 不能判
16、定 AB CD 故 B 不正确 AB 是 O 的切线 AB 与 O 相切于点 C CD 过圆心 由圆的切线的性质定理得到 AB CD 故 C 正确 AB 是 O 的切线 CD 也是 O 的切线 AB 与 CD 相交或平行 不能判定 AB CD 故 D 不正确 故 选 C 中 5 如图 O 的直径 AB 6cm P 是 AB 延长线上的一点 过 P 点作 O 的切线 切点为 C 连接 AC 若 CPA 30 PB 的长为 cm 高一数学 2017 秋季 第 9 页 A 3 3 B 2 3 C 4 D 3 答案 D 解析 连接 OC CP 与 O 相切于点 C OC CP OC 3 CPA 30 OP OC SIN30 3 1 3 6 PB OP OB 6 3 3 故选 D 中 6 如图 过 O 外一点 P 作一条直线与 O 交于 A B 两点 已知 PA 2 点 P 到 O 的切线长 PT 4 则弦 AB 的长为 A 4 B 6 C 8 D 10 答案 D 解析 根据切割线定理 PT2 PA PB PB PT 2 PA 16 2 8 AB PB PA 8 2 6 故选 B 中 7 如图
