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1、第4讲 概率1.了解随机事件、概率的概念以及事件的关系与运算2.理解古典概型及其概率的计算3.理解几何概型及其概率的计算1.随机事件发生频率的稳定性与概率的意义以及频率与概率的区别2.列基本事件空间，计算互斥事件、对立事件的概率3.古典概型与几何概型的理解及其概率的计算随机事件与随机试验一、确定事件和随机事件的概念1.必然事件：我们把在条件S下，一定会发生的事件，叫做相对于条件S的必然事件，简称必然事件。2.不可能事件：在条件S下，一定不会发生的事件，叫做相对于条件S的不可能事件，简称不可能事件。3.确定事件：必然事件与不可能事件统称为相对于条件S的确定事件，简称确定事件。4.随机事件：在条件
2、S下可能发生也可能不发生的事件，叫做相对于条件S的随机事件，简称随机事件。（：确定事件和随机事件我们一般用大写字母A、B、C表示。）二、随机试验对于随机事件，我们最重要的就是了解它发生的可能性的大小，而了解这种可能性的大小最直接的方法就是试验。一个随机试验需要满足下列条件：1、试验可以在相同的情形下重复进行2、试验的所有结果是明确可知的，但不止一个3、每次试验总是出现这些结果中的一个，但在一次试验之前却不能确定这次试验会出现哪个结果三、基本事件与基本事件空间在一次试验中，我们常常要关心的是所有可能发生的基本结果，它们是试验中不能再分的最简单的随机事件，其他事件可以用它们来描绘，这样的事件称为基
3、本事件，所有基本事件构成的集合称为基本事件空间，基本事件空间常用大写希腊字母表示.四、随机事件的概率1、频数与频率：相同条件下，重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数，称事件A出现的比例为事件A出现的概率.：由于A发生的次数至少为0，至多为n，因此，频率总在0与1之间，即.2、概率及其记法：对于给定的随机事件A，如果随着试验的次数增加，事件A发生的频率稳定在某个常数上，把这个常数记作，称为事件A的概率，简称为A的概率.例1.下列事件是随机事件的是（）当x10时，lgx1当xR，x21=0有解当aR，关于x的方程x2+a=0在实数集内有解当sin
4、sin时，ABCD【答案】C【解析】当x10时，lgx1，属于确定事件，当xR，x21=0有解，解得x=1，属于确定事件当aR，关于x的方程x2+a=0在实数集内有解，需要根据a的值确定解得个数，属于随机事件，当sinsin时，属于随机事件，练习1.将一根长为a的铁丝随意截成三段，构成一个三角形，此事件是（）A必然事件B不可能事件C随机事件D不能判定【答案】C【解析】将一根长为a的铁丝随意截成三段，构成一个三角形，这个事件是可能发生的事件，但不是必然事件所以事件是随机事件练习2.下列事件中，是随机事件的是（）从10个玻璃杯（其中8个正品，2个次品）中任取3个，3个都是正品；某人给其朋友打电话，
5、却忘记了朋友电话号码的最后一个数字，就随意在键盘上按了一个数字，恰巧是朋友的电话号码；异性电荷，相互吸引；某人购买体育彩票中一等奖ABCD【答案】B【解析】由随机事件的意义知，本题所给的4个事件中，只有是一个必然事件，其他的事件都是随机事件.事件是在S下发生的，因此在提及事件的时候，一定要注明事件发生的条件，脱离了条件的事件是毫无意义的.判断一个事件是哪类事件要看两点：一是看条件，二是看结果发生与否.例2.先后抛掷2枚均匀的一分、二分的硬币，观察落地后硬币的正、反面情况，则下列事件包含3个基本事件的是（）A“至少一枚硬币正面向上”B“只有一枚硬币正面向上”C“两枚硬币都是正面向上”D“两枚硬币
6、一枚正面向上，另一枚反面向上”【答案】A【解析】先后抛掷2枚均匀的一分、二分的硬币的基本事件有正，正、正，反、反，正、反，反，故“至少一枚硬币正面向上”的目标事件有正，正、正，反、反，正.练习1.某家庭有两个小孩，则基本事件空间是（）A（男，女），（男，男），（女，女）B（男，女），（女，男）C（男，男），（女，女）D（男，女），（男，男），（女，男）（女，女）【答案】D【解析】家庭有两个小孩，可能是一男一女，也可能是两男，也可能是两女，基本事件在一个实验过程中出现的概率是相等的，基本事件空间=（男，女），（男，男），（女，男）（女，女）练习2.做试验“从0，1，2这3个数字中，不放回地取两次
7、，每次取一个，构成有序数对（x，y），x为第1次取到的数字，y为第2次取到的数字”：（1）写出这个试验的基本事件空间；（2）求这个试验基本的总数；（3）写出“第1次取出的数字是2”这一事件【答案】见解析【解析】（1）连续取两次，基本事件空间为=（0，1），（1，0），（0，2），（2，0），（1，2），（2，1），（2）这个试验基本的总数为6个，（3）“第1次取出的数字是2”这一事件为（2，0），（2，1）建立基本事件空间时，要注意以下几个要点：1、基本事件：不可再分的随机事件；2、所有基本事件组成的集合。基本事件必须找全，缺一不可。例3.下列说法正确的是（）A某厂一批产品的次品率为，则任意抽
8、取其中10件产品一定会发现一件次品B气象部门预报明天下雨的概率是90%，说明明天该地区90%的地方要下雨，其余10%的地方不会下雨C某医院治疗一种疾病的治愈率为10%，那么前9个病人都没有治愈，第10个人就一定能治愈D掷一枚硬币，连续出现5次正面向上，第六次出现反面向上的概率与正面向上的概率仍然都为0.5【答案】D【解析】某厂一批产品的次品率为110，则任意抽取其中10件产品一定会发现一件次品说法是错误的，故A不能选气象部门预报明天下雨的概率，是说明有多大的把握有雨，而不是具体的什么地方有雨，故B不正确，某医院治疗一种疾病的治愈率为10%，那么前9个病人都没有治愈，第10个人就一定能治愈说法是
9、错误的，治愈率为10%是说明来的所有病人中有10%的被治愈，故C不正确，掷一枚硬币，连续出现5次正面向上，第六次出现反面向上的概率与正面向上的概率仍然都为0.5，概率是一个固定的值，不随第几次试验有关，故D正确例4.下列说法正确的是（）A任何事件的概率总是在（0，1）之间B频率是客观存在的，与试验次数无关C概率是随机的，在试验前不能确定D随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率【答案】D【解析】大量重复试验事件发生的频率逐渐稳定到某个常数附近，可以用这个常数估计这个事件发生的概率，D选项说法正确例5.随着互联网的普及，网上购物已逐渐成为消费时尚，为了解消费者对网上购物的满意情况，某公司随机
10、对4500名网上购物消费者进行了调查（每名消费者限选一种情况回答），统计结果如表：满意情况不满意比较满意满意非常满意人数200n21001000根据表中数据，估计在网上购物的消费者群体中对网上购物“比较满意”或“满意”的概率是（）ABCD【答案】C【解析】由题意，n=450020021001000=1200，所以对网上购物“比较满意”或“满意”的人数为1200+2100=3300，由古典概型公式可得对网上购物“比较满意”或“满意”的概率为.练习1.下列说法正确的是（）A任何事件的概率总是在（0，1之间B频率是客观存在的，与试验次数无关C随着试验次数的增加，事件发生的频率一般会稳定于概率D概率是
11、随机的，在试验前不能确定【答案】C【解析】在A中，任何事件的概率总是在0，1之间，故A错误；在B中，频率是客观存在的，与试验次数有关，试验次数越多，频率越稳定，故B错误；在C中，由频率的性质知：随着试验次数的增加，事件发生的频率一般会稳定于概率，故C正确；在D中，概率是客观的，在试验前能确定，故D错误练习2.下列说法正确的是（）A某事件发生的概率为P（A）=1.1B不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1C小概率事件就是不可能发生的事件，大概率事件就是必然要发生的事件D某事件发生的概率是随着试验次数的变化而变化的【答案】B【解析】事件发生的概率0P（A）1，A项错；必然事件是一定发生的事件，不
12、可能的事件是一定不发生的事件，不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1，B项正确小概率事件是指这个事件发生的可能性很小，几乎不发生大概率事件发生的可能性较大，但并不是一定发生，C项错；某事件发生的概率为一个常数，不随试验的次数变化而变化，D项错.练习3.某活动小组为了估计装有5个白球和若干个红球（每个球除颜色外都相同）的袋中红球接近多少个，在不将袋中球倒出来的情况下，分小组进行摸球试验，两人一组，共20组进行摸球实验其中一位学生摸球，另一位学生记录所摸球的颜色，并将球放回袋中摇匀，每一组做400次试验，汇兑起来后，摸到红球次数为6000次（1）估计从袋中任意摸出一个球，恰好是红球的概率是_；（
13、2）请你估计袋中红球接近_个【答案】（1）；（2）15【解析】（1）20400=8000，摸到红球的概率为：60008000=0.75，因为试验次数很大，大量试验时，频率接近于理论概率，所以估计从袋中任意摸出一个球，恰好是红球的概率是；（2）设袋中红球有x个，根据题意得：xx+5=0.75，解得x=15，经检验x=15是原方程的解估计袋中红球接近15个就统计定义而言，必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，而随机事件的概率满足（0,1）在用试验法计算随机事件概率时，当试验次数足够多时，频率接近于理论概率。事件的关系及概率的性质一、互斥事件与对立事件1.互斥事件：不可能同时发生的两个事件叫做互
14、斥事件(或称互不相容事件).2.对立事件：不能同时发生且必有一个发生的两个事件叫做互为对立事件.二、概率的基本性质1、(1)概率的取值范围为0,1.(2)必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0.(3)互斥事件的概率加法公式假定A、B是互斥事件，则P(AB)P（A）+P（B）.一般地，如果事件A1，A2，An两两互斥(彼此互斥)，那么事件“A1A2An”发生(是指事件A1，A2，An中至少有一个发生)的概率，等于这n个事件分别发生的概率和，即P(A1A2An)P(A1)P(A2)P(An).(4)对立事件的概率公式事件A的对立事件记作.由于A与是互斥事件，所以P()P(A)P(A)P()，又由是必然事件，得到P()1.所以P(A)P()1，即P()1-P(A).三、注意：对立事件是针对两个事件来说的，而互斥事件可以是对多个事件来说的。两个互斥事件有可能都不发生，也可能有一个发生，但不可能两个都发生；而两个对立事件必有一个发生，但是不可能两个事件同时发生，也不可能两个事件同时不
