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1、第6讲 积分1. 掌握积分的概念及意义.2. 能够熟练掌握积分的计算的方法.3. 了解积分的综合应用.1. 积分的概念及计算是重点；2.积分的综合应用是难点.微积分基本定理 如果是区间上的连续函数，并且，那么。这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿莱布尼兹公式。为了方便，常把记成，即：。我们称是的一个原函数。微积分基本定理表明，计算定积分的关键是找到满足的函数例1. (2016湖南省考试院调研) (sinx1)dx的值为()A0 B2 C22cos1 D22cos1【答案】B【解析】练习1. sinxdx=【答案】2【解析】练习2.（2016海淀区期中） 【答案】【解析】例2. （2016天津
2、月考）定积分值的符号为 （ ）大于零 小于零 等于零 不能确定【答案】【解析】练习1. （2015河北期中）根据定积分的几何意义， 【答案】12【解析】练习2.定积分= ；【答案】1【解析】了解微积分定理的概念并会应用求解相关的题.积分的应用定积分公式（1），其中是常数； （2），其中是常数，且（3），； （4），其中且（5）； （6）例3. （2016河北期中）估计积分的值：【答案】2【解析】设，先求在上的最大、最小值， 由得内驻点，由知由定积分性质得 练习1.【答案】见解析【解析】原式=练习2. 【答案】1【解析】原式=例4.（2016山东期中） 【答案】见解析【解析】原式练习1.【答案】
3、见解析【解析】原式练习2. （2016年河北期中）已知函数连续，且，求函数.【答案】见解析【解析】设，则，于是，得，所以.定积分的计算及性质公式熟练掌握，运用公式解决相关的题.积分综合从几何上看，如果在区间上函数连续且恒有，那么定积分表示由直线和曲线所围成的曲边梯形的面积，这就是定积分的几何意义。即：如右图所示。 当时，被积函数的曲线在轴的下方，那么定积分表示由直线和曲线所围成的曲边梯形的面积的相反数，即； 当被积分函数在积分区间上有正、有负时，定积分就是轴之上的正的面积与轴之下的负的面积的代数和。例5. （2016香河一中月考）函数f(x)的图象与x轴所围成的封闭图形的面积为()A. B2C
4、3 D4【答案】D【解析】画出分段函数的图象，如图所示，则该图象与x轴所围成的封闭图形的面积为2202cos xdx22sin x4.练习1. （2015海淀期中）由直线y2x及曲线y3x2围成的封闭图形的面积为()A2 B92C. D.【答案】D【解析】注意到直线y2x与曲线y3x2的交点A，B的坐标分别是(3，6)，(1,2)，因此结合图形可知，由直线y2x与曲线y3x2围成的封闭图形的面积为(3x22x)dx311312，选D.练习2. （2016衡水中学月考）函数f(x)sin(x)的导函数yf(x)的部分图象如图所示，其中，P为图象与y轴的交点，A，C为图象与x轴的两个交点，B为图象
5、的最低点若在曲线段与x轴所围成的区域内随机取一点，则该点在ABC内的概率为_【答案】.【解析】设A(x0,0)，则x0，x0.又ycos(x)的周期为，|AC|，C.依题意曲线段与x轴围成的面积为Scos(x)dx2.|AC|，|yB|，SABC.满足条件的概率为.例6. （2016福建）如图所示，在边长为1的正方形OABC中任取一点P，则点P恰好取自阴影部分的概率为（）ABCD【答案】C【解析】根据题意，正方形OABC的面积为11=1，而阴影部分由函数y=x与y=围成，其面积为01（x）dx=（）|01=，则正方形OABC中任取一点P，点P取自阴影部分的概率为；故选C 练习1.如图求由两条曲线yx2，yx2及直线y1所围成的图形的面积【答案】.【解析】由得交点A(1，1)，B(1，1)由得交点C(2，1)，D(2，1)所求面积S.练习2.求在上，由轴及正弦曲线围成的图形的面积.【答案】4【解析】y作出在上的图象如右0x 与轴交于0、，所2求积充分理解积分的几何意义，将积分与面积的求解结合类型题掌握方法.掌握积分的概念及积分的计算性质，会利用积分的求解解决实际问题，尤其是掌握面积的求解及应用.
