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1、第4讲 三角函数与平面向量本讲模块高考考点高考要求了解理解掌握三角函数的图像与性质三角函数的概念A同角三角函数的基本关系式C诱导公式B三角函数的图像B三角函数的性质C三角恒等变换两角和正弦、余弦、正切公式C二倍角的正弦、余弦、正切公式C简单的恒等变换B平面向量的相关概念A平面向量向量的线性运算B平面向量基本定理及坐标表示A平面向量的数量积C向量的应用B1. 三角函数的难点在细节。三角函数线、弧度制等概念要深度复习；2. 三角函数及解三角形的重点是和差角公式、图像、正余弦定理；3. 平面向量的概念是难点。数量积及坐标运算是重点。三角函数的图像与性质一、 三角函数定义1 定义：在直角坐标系中，设是
2、一个任意角，终边上任意一点（除了原点）的坐标为， 它与原点的距离为，那么（1） 比值叫做的正弦，记作，即；（2） 比值叫做的余弦，记作，即；（3） 比值叫做的正切，记作，即；2 符号：由三角函数的定义，以及各象限内点的坐标的符号，我们可以得知：（1） 正弦值对于第一、二象限为正（），对于第三、四象限为负（）；（2） 余弦值对于第一、四象限为正（），对于第二、三象限为负（）；（3） 正切值对于第一、三象限为正（同号），对于第二、四象限为负（异号）3 特殊角的三角函数：角不存在不存在【教师备案】1.考点：利用三角函数的基本概念去解决一些问题。 2.意图与目的：本部分核心在于准确把握角的概念、弧度制
3、以及三角函数的概念，并能结合这些基础知识去解决一些简单问题。 3.重难点：（1）角的概念的准确理解、终边相同角的表示。（2）三角函数的概念、象限界角三角函数值以及象限角的三角函数符号。 4.知识层面：属于A难度的基础知识二、 同角三角函数基本关系：三、 诱导公式1 各角与角终边的关系角（）图示与角终边关系相同关于原点对称关于轴对称角图示与角终边关系关于轴对称关于对称2 诱导公式（1） 角与的三角函数间的关系；，;（2） 角与的三角函数间的关系；，;（3） 角与的三角函数间的关系；，;（4） 角与的三角函数间的关系,，【教师备案】1.考点：利用同角三角函数基本关系以及诱导公式去进行化简与求值。
4、2.意图与目的：本部分核心在于准确把握同角三角函数基本关系以及诱导公式，并能结合这些公式去解决一些化简与求值等简单问题。 3.重难点：（1）同角三角函数基本关系。（2）诱导公式。四、三角函数的图像和性质1 正弦函数图像和性质（1）图像：（2）定义域： （3）值域：（4）单调性：（）增函数 （）减函数（5）奇偶性：奇函数（6）最小正周期：（7）对称性：对称轴；对称中心2 余弦函数图像和性质（1）图像（2）定义域： （3）值域：（4）单调性：（）增函数 （）减函数（5）奇偶性：偶函数（6）最小正周期：（7）对称性：对称轴；对称中心3 正切函数图像和性质（1）定义域： （2）值域：（3）单调性：在（
5、）增函数（4）奇偶性：奇函数（5）最小正周期：（6）对称性：对称中心【教师备案】1.考点：掌握三种基本三角函数的图像与性质。 2.意图与目的：本部分核心在于准确把握正弦函数、余弦函数以及正切函数的图像与性质，并能结合这些基础知识去处理一些问题。 3.重难点：（1）三种基本三角函数的图像与性质。（2）结合正弦函数、余弦函数以及正切函数的图像与性质区处理一些综合性问题。 4.知识层面：属于A难度的基础知识五、三角函数的图像变换1 三角函数的几种常见变换（1） 平移变换函数的图像可以看做将函数的图像上的所有的点向左（当时）或向右（当时）平移个单位而得到（2） 周期变换函数（且）的图像可以看做是把的图
6、像上所有的点的横坐标缩短为（当时）或伸长（当时）到原来的倍（纵坐标不变）而得到（3） 振幅变换函数（且）的图像可以看做是将的图像上所有的点的纵坐标伸长（当时）或缩短（当时）到原来的倍（横坐标不变）而得到2 函数的性质【教师备案】1.考点：掌握三种最基本的图像变换。 2.意图与目的：本部分核心在于准确把握好三种基本图像变换并能够结合这三种图像变换去处理更复杂的问题。 3.重难点：理解图像变换的本质，并能够灵活处理对应的问题。 4.知识层面：属于A难度的基础知识例1.若，且，则角是（ ）A第一象限角 B第二象限角 C第三象限角 D第四象限角【答案】C【解析】由已知可得与同号，且与异号，所以可得为第
7、三象限角。练习1.已知，计算下列各式的值： （1）；（2）；（3）【答案】（1） ；（2） ；（3）。【解析】 （1）原式；（2）原式；（3） 原式练习2.已知函数，且的最小正周期为.（）若，求的值；（）求函数的单调增区间.【答案】（）因为的最小正周期为， 所以，解得由，得， 即，所以，. 因为，所以. （）函数 ， 由，解得 所以函数的单调增区间为.【解析】已知三角函数值求角以及三角函数的单调性问题的处理。三角函数线的判断和三角恒等变形是三角函数的基础例2.将函数图象所有的点向右移动个单位长度，再将所得各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），所得图象的函数解析式为（ ）A B C D【答案
8、】C【解析】掌握基本图像变换。2014二模丰台文3练习1.要得到函数的图像，只需将函数的图像沿轴（ ）A向左平移个单位 B向左平移个单位C向右平移个单位 D向右平移个单位【答案】A【解析】，只需将函数的图像沿轴向左平移个单位，可得练习2.函数的部分图象如图所示（I）写出的最小正周期及图中、的值；（II）求在区间上的最大值和最小值【答案】（I）的最小正周期为，（II）因为，所以于是当，即时，取得最大值；当，即时，取得最小值【解析】正弦型函数的图像与性质的基本应用。2014高考北京卷文科第16题利用函数的图像及其变换解决对称性、单调性、最值问题三角函数的恒等变换一、三角恒等变换1 两角和与差的正弦
9、、余弦、正切公式（1） ;（2） ;（3） ();变形式2 二倍角公式（1） ;变形式（2） ;变形式；（3） 3 辅助角公式，其中所在的象限由、的符号确定，角的值由确定4 化简中常用1的技巧“1”的代换；，【教师备案】1.考点：掌握和角、差角、倍角、升幂与降幂公式、辅助角公式。 2.意图与目的：本部分核心在于准确把握和角、差角、倍角、升幂与降幂公式、辅助角公式以及相应的变形形式，并能熟练利用上述公式进行化简与求值。 3.重难点：掌握和角、差角、倍角、升幂与降幂公式、辅助角公式以及相应的变形形式，并能熟练利用上述公式进行化简与求值。 4.知识层面：属于A难度的基础知识二、三角形当中的角与角之间
10、的关系：1 2 3 4 三、正弦定理5 正弦定理：；（为三角形外接圆半径）6 正弦定理变形式：（1） ；：（2）7 正弦定理的应用 （1） 已知两角和任意一边，求另一角和其它的两条边（2） 已知两边和其中一边的对角，求另一边和其中的对角四、 余弦定理8 余弦定理：；9 余弦定理变形式：；10 余弦定理的应用（1） 已知三边，求各角（2） 已知两边和它们的夹角，求第三个边和其它的两个角（3） 已知两边和其中一边的对角，求其它的角和边五、 面积公式（1） (、分别表示a、b、c上的高)；（2） ；（3） ；（4） （为三角形内切圆半径）【教师备案】1.考点：掌握三角形当中的诱导公式、正弦定理、余弦
11、定理以及三角形面积计算公式。 2.意图与目的：本部分核心在于准确把握三角形当中的诱导公式、正弦定理、余弦定理以及三角形面积计算公式，并能利用这些公式解决三角形当中的问题。 3.重难点：掌握三角形当中的诱导公式、正弦定理、余弦定理以及三角形面积计算公式，并能熟练利用上述公式进行三角形的求解问题。 4.知识层面：属于A难度的基础知识例3.（1）若，则_（2）的值为_【答案】（1）8；（2）【解析】（1）（2）练习1.已知函数（）求函数的定义域；（）若，求的值【解析】（）由题意，所以，所以，函数的定义域为 （） 因为，所以 所以练习2.函数的部分图像（1） 求的最小正周期及解析式；（2） 设，求函数在区间上的最大值和最小值【答案】（1）由题图可得， ，所以所以当时，可得，因为，所以所以的解析式为(2)当，即时，有最大值，最大值为1；当，即时，有最小值，最小值为【解析】详见答案三角恒等变换的基本应用就是熟练掌握正余弦的和与差的的公式和正切的和差角公式。例4.在中，角，的对边分别是，且，的面积为（）
