《知名机构高中讲义 【研究院】[人教版][高三数学一轮复习][第19讲 计数原理] 演练方阵（教师版） (3).docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《知名机构高中讲义 【研究院】[人教版][高三数学一轮复习][第19讲 计数原理] 演练方阵（教师版） (3).docx（15页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、演练方阵第19讲 计数原理两个基本的计数原理类型一:分类加法原理和分步乘法原理考点说明：这部分主要考察分类讨论思想、转化与化归思想、补集思想和逻辑思维能力。【易】1.为防止部分学生考试时用搜题软件作弊，命题组指派5名教师对数学卷的选择题、填空题和解答题这3种题型进行改编，则每种题型至少指派一名教师的不同分派方法种数为（）A150B180C200D280【答案】 A 【解析】 人数分配上有两种方式即1，2，2与1，1，3若是1，1，3，则有C53A33=60种，若是1，2，2，则有C52C32A22A33=90种所以共有150种不同的方法【易】2.某企业有4个分厂，新培训了一批6名技术人员，将这
2、6名技术人员分配到各分厂，要求每个分厂至少1人，则不同的分配方案种数为（）A1080B480C1560D300【答案】C【解析】先把6名技术人员分成4组，每组至少一人若4个组的人数按3、1、1、1分配，则不同的分配方案有C63=20种不同的方法若4个组的人数为2、2、1、1，则不同的分配方案有C62C422!C212!=45种不同的方法故所有的分组方法共有20+45=65种再把4个组的人分给4个分厂，不同的方法有65A44=1560种.【易】3.三个学校分别有1名、2名、3名学生获奖，这6名学生排成一排合影，要求同校的任意两名学生不能相邻，那么不同的排法共有（）A36种B72种C108种D12
3、0种【答案】D【解析】设三个学校分别为A，B，C，对应的学生为1，2，3名，分两类：第一类是A、B两个学校的三个学生分别被C学校的三个学生分别隔开有2A33A33=72种；第二类是A、B两个学校中其中一名学生相邻有A33C21A22A22=48根据分类计数计数原理得共有72+48=120种【易】4.设a，b，c1，2，3，4，5，6，若以a，b，c为三条边的长可以构成一个等腰（含等边）三角形，则这样的三角形有_个【答案】27【解析】由题意知以a、b、c为三条边的长可以构成一个等腰（含等边）三角形，先考虑等边三角形情况则a=b=c=1，2，3，4，5，6，此时n有6个再考虑等腰三角形情况，若a，
4、b是腰，则a=b当a=b=1时，ca+b=2，则c=1，与等边三角形情况重复；当a=b=2时，c4，则c=1，3（c=2的情况等边三角形已经讨论了），此时n有2个；当a=b=3时，c6，则c=1，2，4，5，此时n有4个；当a=b=4时，c8，则c=1，2，3，5，6，有5个；当a=b=5时，c10，有c=1，2，3，4，6，有5个；当a=b=6时，c12，有c=1，2，3，4，5，有5个；由加法原理知n有2+4+5+5+5+6=27个。【中】5. n=abc表示一个三位数，记f（n）=（a+b+c）+（ab+bc+ac）+abc，如f（123）=（1+2+3）+（12+13+23）+123=
5、23，则满足f（n）=n的三位数共有_个【答案】9【解析】由题意，a+b+c+ab+bc+ac+abc=100a+10b+c，（ab+a+b）（c+1）=10（10a+b）c+1=10，ab+a+b=10a+b，b=9，a取1到9，共9个【中】6.带有编号1、2、3、4、5的五个球（1）全部投入4个不同的盒子里；（2）放进不同的4个盒子里，每盒一个；（3）将其中的4个球投入4个盒子里的一个（另一个球不投入）；（4）全部投入4个不同的盒子里，没有空盒；各有多少种不同的放法？【答案】（1）45；（2）5种；（3）20种；（4）240种【解析】（1）由分步计数原理，五个球全部投入4个不同的盒子里共有
6、45种放法（2）由排列数公式，五个不同的球放进不同的4个盒子里（每盒一个）共有A54种放法（3）将其中的4个球投入一个盒子里共有C54C41=20种放法（4）全部投入4个不同的盒子里（没有空盒）共有：C52A44种不同的放法【难】7.已知集合M=1，2，3，N=1，2，3，4，定义函数f：MN若点A（1，f（1）、B（2，f（2）、C（3，f（3），ABC的外接圆圆心为D，且DA+DC=DB(R)，则满足条件的函数f（x）有（）A6个B10个C12个D16个【答案】C【解析】由DA+DC=DB(R)，说明ABC是等腰三角形，且BA=BC，必有f（1）=f（3），f（1）f（2）；点A（1，f（
7、1）、当f（1）=1=f（3）时f（2）=2、3、4，三种情况f（1）=f（3）=2；f（2）=1、3、4，有三种f（1）=f（3）=3；f（2）=2、1、4，有三种f（1）=f（3）=4；f（2）=2、3、1，有三种因而满足条件的函数f（x）有12种类型二:涂色问题、集合问题、几何问题【易】1.有六种不同颜色，给如图的六个区域涂色，要求相邻区域不同色，不同的涂色方法共有（）A4320B2880C1440D720【答案】A【解析】从左向右涂色，有654343=4320【易】2.已知集合A=（0，1），B=6，7，8，从集合A和集合B分别取一个元素，作为直角坐标系中的点的横坐标和纵坐标，则可确定
8、的不同点的个数为（）A5B6C10D12【答案】B【解析】由题意知本题是一个分步计数问题，首先从A集合中选出一个数字共有2种选法，再从B集合中选出一个数字共有3种结果，取出的两个数字可以作为横标，也可以作为纵标，共还有一个排列，共有C21C31A22=6。【易】3.如图所示为某旅游区各景点的分布图，图中一支箭头表示一段有方向的路，试计算顺着箭头方向，从A到H有几条不同的旅游路线可走（）A15B16C17D18【答案】C【解析】要到H点，需从F、E、G走过来，F、E、G各点又可由哪些点走过来这样一步步倒推，最后归结到A，然后再反推过去得到如下的计算法：A至B、C、D的路数记在B、C、D圆圈内，B
9、、C、D分别到F、E、G的路数亦记在F、E、G圆圈内，最后F、E、G各个路数之和，即得至H的总路数如下图所示，易得有17条不同的线路；故选C【易】4.如图所示的五个区域中，中心区域是一幅图画，现要求在其余四个区域中涂色，有四种颜色可供选择要求每个区域只涂一种颜色，相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法种数为（）A84B72C64D56【答案】A【解析】分两种情况：（1）A、C不同色（注意：B、D可同色、也可不同色，D只要不与A、C同色，所以D可以从剩余的2中颜色中任意取一色）：有4322=48种；（2）A、C同色（注意：B、D可同色、也可不同色，D只要不与A、C同色，所以D可以从剩余的3中颜色
10、中任意取一色）：有4313=36种共有84种。【易】5.用红、黄、蓝、白、黑五种颜色涂在“田”字形的4个小方格内，每格涂一种颜色，相邻两格（有公共变边）涂不同的颜色，如果颜色可以反复使用，则所有涂色方法的种数为（）A120B240C260D360【答案】C【解析】当1与4的颜色相同时，先排1，有5种结果，再排2，有4种结果，4与1相同，最后排3，有3种结果，共有C51C41C41=80种结果当1与4的颜色不同时，有C51C41C31C31=180种结果，根据分类计数原理知共有80+180=260。【中】6.三边长均为正整数，且最大边长为11的三角形的个数为（）A25B26C36D37【答案】C
11、【解析】由题意知本题是一个分类计数问题，另外两边长用x，y表示，且不妨设1xy11，要构成三角形，必须x+y12当y取值11时，x=1，2，3，11，可有11个三角形；当y取值10时，x=2，3，10，可有9个三角形；当y取值分别为9，8，7，6时，x取值个数分别是7，5，3，1，根据分类计数原理知所求三角形的个数为11+9+7+5+3+1=36【难】7.已知集合A=x|x=a0+a13+a232+a333，其中ai1，2，3（i=0，1，2，3且a30，则A中所有元素之和等于（）A3240B3120C2997D2889【答案】D【解析】由题意可知，a0，a1，a2各有3种取法（均可取0，1，
12、2），a3有2种取法（可取1，2），由分步计数原理可得共有3332种方法，当a0取0，1，2时，a1，a2各有3种取法，a3有2种取法，共有332=18种方法，即集合A中含有a0项的所有数的和为（0+1+2）18；同理可得集合A中含有a1项的所有数的和为（30+31+32）18；集合A中含有a2项的所有数的和为（320+321+322）18；集合A中含有a3项的所有数的和为（331+332）27；由分类计数原理得集合A中所有元素之和：S=（0+1+2）18+（30+31+32）18+（320+321+322）18+（331+332）27=18（3+9+27）+8127=702+2 187=28
13、89排列组合类型一:排列与组合的计算考点说明：熟练掌握排列与组合的含义与计算公式，这部分单独考察较少。 【易】1.若排列数A6m=654，则m=_【答案】3 【解析】排列数P6m=654，由排列数公式得P63=654，m=3【易】2.若An3=6Cn4，则n的值为_【答案】7【解析】由若An3=6Cn4，得n!(n-3)!=6n!4!(n-4)!，整理得，n（n1）（n2）=14n(n-1)(n-2)(n-3)，解得n=7【易】3.已知C203x=C20x+4，则x=_【答案】2或4【解析】C203x=C20x+4，则3x=x+4，或3x+x+4=20，解得x=2或4故答案为：2或4【中】4.
14、 1-12Cn1+13Cn2-+(-1)n1n+1Cnn=_【答案】1n+1【解析】1mCnm1=1mn!(m-1)!(n-m+1)!=1n+1(n+1)!m!(n-m+1)!=1n+1Cn+1m，则1=1n+1Cn+11，12Cn1=Cn+12，1n+1Cnn=1n+1Cn+1n+1，则1-12Cn1+13Cn2-+(-1)n1n+1Cnn=1n+1（1）0Cn+11+（1）1Cn+11+（1）2Cn+13+（1）nCn+1n+1=1n+1（1）1Cn+11+（1）2Cn+12+（1）3Cn+13+（1）n+1Cn+1n+1=1n+1（11）n1=1n+1【中】5.化简：Cmm+2Cm+1m+3Cm+2m+nCm+n-1mCm+nm+1=_（用m、n表示）
